Exercice n° 1 Soit v la vitesse du tapis roulant en m/mn et u celle du

Seconde Corrigé du devoir maison
Exercice n° 1
Soit v la vitesse du tapis roulant en m/mn et u celle du piéton.
A l'aller, le piéton marche dans le sens du tapis roulant donc sa vitesse par rapport au sol est
u + v.
Le tapis roulant a 300 m de long donc le temps de parcours est
t1=300
uv
A l'aller, il met 1 minute et 30 secondes donc
300
uv=1,5
Au retour, le piéton marche à contresens donc sa vitesse par rapport au sol est u - v.
Le tapis roulant a 300 m de long donc le temps de parcours est
t2=300
u−v
Au retour il met 4 minutes et 30 secondes donc
300
u−v=4,5
On résout le système :
{
300
uv= 1,5
300
u−v= 4,5
{
200
uv= 1
200
u−v= 3
{
200 = uv
200 = 3 u−v
L1
L2
{
uv= 200
3u−3v= 200
3L1L2
3L1−L2
{
6u= 800
6v= 400
{
u=400
3
v=200
3
Vérification :
à l'aller, la vitesse est 200, la distance 300 donc le temps est 1,5 mn ;
Thierry Vedel www.amemath.net

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au retour, la vitesse est
200
3,
la distance 300 donc le temps est 4,5 mn.
On peut exprimer les vitesses en km/h :
u1=0,400×60
3=8
et
v1=4
Le piéton marche à 8 km/h et le tapis avance à 4 km/h.
Exercice n° 2.
Le code d'une carte de crédit est un nombre de quatre chiffres qui ne commence pas par
zéro, notons n ce nombre.
En ajoutant au code le numéro de la Charente Maritime, 17, on obtient le carré parfait d'un
nombre a donc
n17=a2
En ajoutant au code le numéro de la Vienne, 86, on obtient le carré parfait d'un nombre b
donc
n86=b2
Donc il faut résoudre dans
ℕ
le système de 2 équations à 3 inconnues :
L1
L2
{
n17 = a2
n86 = b2
Ce système a une infinité de solutions réelles mais combien dans
ℕ
?
On ne s'est pas servi d'une hypothèse.
Le code est un nombre de quatre chiffres donc
a2
a quatre chiffres ou cinq ( très peu
probable ) et a a 2 ou 3 chiffres. De même b.
Supprimons n :
L2−L1
donne
b2−a2=69
Second degré, on factorise :
b−a ba=69
On travaille dans
ℕ
donc
b−a et ba
sont des diviseurs de 69.
b + a est un nombre de deux chiffres ( 3 est impossible).
Les couples candidats sont :
1 ; 69 et 3 ; 23
Il suffit de tester.
Premier cas :
L1
L2
{
b−a= 1
ba= 69
donc a = 34 et b = 35
a2−17=1139
et
b2−86=1139
donc n est 1 139.
Premier cas :
L1
L2
{
b−a= 3
ba= 23
donc a = 10 et b = 23
Thierry Vedel www.amemath.net

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a2−17
a deux chiffres donc ce cas ne convient pas.
Le code est 1 139.
Exercice n° 3.
Un marchand de glace, heureux propriétaire d'un perroquet, vend des glaces à la vanille 2 F
pièce et des glaces au chocolat 3 F pièce.
Soit x le nombre de glaces à la vanille vendues dans la journée et y celui de glaces au
chocolat, le chiffre d'affaire journalier est
2x3y
a_ Le premier jour.
Le chiffre d'affaire est 433 F donc
2x3y=433
« Si j'avais vendu les glaces à la vanille 3 F et les glaces au chocolat 2 F, j'aurais la même
recette , 433 F. » Donc
3x2y=433
En faisant la somme membre à membre des deux équations :
5x5y=866
5xy=866
x et y sont des entiers donc la 5 devrait diviser 866. L'affirmation est fausse. Le perroquet a
raison de dire que c'est impossible.
Autre façon de raisonner, sans calculer.
Si j'intervertis les prix et que la recette ne change pas alors le commerçant a vendu autant de
glaces à la vanille que de glaces au chocolat et la recette est 5x, un multiple de 5. 433 n'est pas un
multiple de 5. Le perroquet a raison de dire que c'est impossible.
b_ Le lendemain.
Les prix n'ont pas changé et la recette est 287 F donc
2x3y=287
« La recette du jour est 287 F. Si j'avais vendu les glaces à la vanille 3 F et les glaces au
chocolat 2 F, j'aurais la même recette qu'hier. » Donc
3x2y=433
Il faut résoudre dans
ℕ
le système :
L1
L2
{
2x3y= 287
3x2y= 433
3L1−2L2
L2
{
5y=−5
3x2y= 433
y
est positif donc le système n'a pas de solution.
« Impossible ! » répond le perroquet et il a raison.
Thierry Vedel www.amemath.net