Exercice n° 1 Soit v la vitesse du tapis roulant en m/mn et u celle du

Seconde
Corrigé du devoir maison
Exercice n° 1
Soit v la vitesse du tapis roulant en m/mn et u celle du piéton.
A l'aller, le piéton marche dans le sens du tapis roulant donc sa vitesse par rapport au sol est
u + v.
Le tapis roulant a 300 m de long donc le temps de parcours est t 1=
A l'aller, il met 1 minute et 30 secondes donc
300
uv
300
=1,5
uv
Au retour, le piéton marche à contresens donc sa vitesse par rapport au sol est u - v.
300
Le tapis roulant a 300 m de long donc le temps de parcours est t 2=
u−v
300
=4,5
Au retour il met 4 minutes et 30 secondes donc
u−v
On résout le système :
{
{
300
uv
300
u−v
200
uv
200
u−v
= 1,5
=
4,5
= 1
= 3
{
200 =
uv
200 = 3 u−v 
{
L 1 uv
= 200
L 2 3 u−3 v = 200
{
3 L1 L2 6 u = 800
3 L1− L2 6 v = 400
{
u =
v =
400
3
200
3
Vérification :
à l'aller, la vitesse est 200, la distance 300 donc le temps est 1,5 mn ;
Thierry Vedel
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200
, la distance 300 donc le temps est 4,5 mn.
3
On peut exprimer les vitesses en km/h :
au retour, la vitesse est
u1=
0,400×60
=8 et v 1=4
3
Le piéton marche à 8 km/h et le tapis avance à 4 km/h.
Exercice n° 2.
Le code d'une carte de crédit est un nombre de quatre chiffres qui ne commence pas par
zéro, notons n ce nombre.
En ajoutant au code le numéro de la Charente Maritime, 17, on obtient le carré parfait d'un
nombre a donc n17=a 2
En ajoutant au code le numéro de la Vienne, 86, on obtient le carré parfait d'un nombre b
donc n86=b 2
Donc il faut résoudre dans ℕ le système de 2 équations à 3 inconnues :
2
L 1 n17 = a
2
L 2 n86 = b
Ce système a une infinité de solutions réelles mais combien dans ℕ ?
{
On ne s'est pas servi d'une hypothèse.
Le code est un nombre de quatre chiffres donc a 2 a quatre chiffres ou cinq ( très peu
probable ) et a a 2 ou 3 chiffres. De même b.
Supprimons n :
L 2−L 1 donne b 2−a2 =69
Second degré, on factorise :
b−a  ba=69
On travaille dans ℕ donc b−a  et ba sont des diviseurs de 69.
b + a est un nombre de deux chiffres ( 3 est impossible).
Les couples candidats sont : 1 ; 69 et 3 ; 23
Il suffit de tester.
Premier cas :
L 1 b−a = 1
donc a = 34 et b = 35
L 2 ba = 69
{
a 2−17=1139 et b 2−86=1139 donc n est 1 139.
Premier cas :
L 1 b−a = 3
donc a = 10 et b = 23
L 2 ba = 23
{
Thierry Vedel
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2
a −17 a deux chiffres donc ce cas ne convient pas.
Le code est 1 139.
Exercice n° 3.
Un marchand de glace, heureux propriétaire d'un perroquet, vend des glaces à la vanille 2 F
pièce et des glaces au chocolat 3 F pièce.
Soit x le nombre de glaces à la vanille vendues dans la journée et y celui de glaces au
chocolat, le chiffre d'affaire journalier est 2 x 3 y
a_ Le premier jour.
Le chiffre d'affaire est 433 F donc 2 x 3 y=433
« Si j'avais vendu les glaces à la vanille 3 F et les glaces au chocolat 2 F, j'aurais la même
recette , 433 F. » Donc 3 x2 y=433
En faisant la somme membre à membre des deux équations :
5 x5 y=866
5 x y=866
x et y sont des entiers donc la 5 devrait diviser 866. L'affirmation est fausse. Le perroquet a
raison de dire que c'est impossible.
Autre façon de raisonner, sans calculer.
Si j'intervertis les prix et que la recette ne change pas alors le commerçant a vendu autant de
glaces à la vanille que de glaces au chocolat et la recette est 5x, un multiple de 5. 433 n'est pas un
multiple de 5. Le perroquet a raison de dire que c'est impossible.
b_ Le lendemain.
Les prix n'ont pas changé et la recette est 287 F donc 2 x 3 y=287
« La recette du jour est 287 F. Si j'avais vendu les glaces à la vanille 3 F et les glaces au
chocolat 2 F, j'aurais la même recette qu'hier. » Donc 3 x2 y=433
Il faut résoudre dans ℕ le système :
L 1 2 x 3 y = 287
L 2 3 x2 y = 433
{
{
3 L1−2 L2
5y
= −5
3 x2 y = 433
L2
y est positif donc le système n'a pas de solution.
« Impossible ! » répond le perroquet et il a raison.
Thierry Vedel
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