PROBLEMATHS 6 février 2006 Problemath 10 Votre calculatrice est

PROBLEMATHS
6 f´evrier 2006
Problemath 10
Votre calculatrice est d´efectueuse : elle ne peut plus faire le produit de deux nombres r´eels (la
touche correspondant `a la multiplication est coinc´ee). Les seules op´erations qu’elle peut encore
faire sont : additionner deux nombres r´eels, les soustraire, et calculer l’inverse de tout r´eel non
nul.
Pouvez-vous n´eanmoins utiliser cette calculatrice pour multiplier deux nombres r´eels quelcon-
ques? Autrement dit, peut-on exprimer la multiplication `a l’aide d’un nombre fini d’additions,
de soustractions et de passages `a l’inverse?
Problemath 11
Trois logiciens A,B,C portent chacun un chapeau sur lequel est ´ecrit un nombre entier stricte-
ment positif. Chaque logicien peut voir les nombres ´ecrits sur les chapeaux de ses deux coll`egues,
mais ne peut pas voir ce qui est ´ecrit sur son propre chapeau. On les informe qu’un des nombres
est la somme des deux autres. A, B et C font alors successivement les d´eclarations suivantes :
A:“Je ne peux pas en d´eduire le nombre sur mon chapeau”.
B:“Sachant cela, je ne peux pas en d´eduire le nombre sur mon chapeau”.
C:“Sachant cela, je ne peux pas en d´eduire le nombre sur mon chapeau”.
A:“Maintenant, je peux en d´eduire que mon chapeau porte le nombre 50”.
Quels sont les nombres ´ecrits sur les chapeaux de B et C, sachant qu’avant de parler, chaque
logicien a exploit´e au maximum les informations dont il disposait `a ce moment-l`a?
Les solutions doivent nous parvenir au plus tard le vendredi 24 f´evrier `a 14 heures.
Solution du Problemath 7. Les fonctions constantes v´erifient clairement l’in´egalit´e impos´ee.
On va prouver que ce sont les seules. En effet, pour tout x6=y, on a 0 ≤ |f(x)−f(y)
x−y. | ≤ |x−y|, d’o`u
on d´eduit que limy→xf(x)−f(y)
x−y= 0 pour tout x∈R, autrement dit toute fonction fv´erifiant
l’in´egalit´e impos´ee est d´erivable et sa d´eriv´ee f0(x) est nulle pour tout x∈R. Il en r´esulte que
fest une fonction constante.
Ont fourni une solution correcte : J.GUTT(BA1 maths), C.DIVOY, F.SPINNLER,
E.WOODHEAD(BA1 physique), T.MARQUIS, C.PAUWELS, G.VAN BEVER(BA2 maths),
M.LESSINNES(BA2 polytech), S.MASSON(1`ere lic. physique UCL), C. MANDY(2`eme lic.
maths), A.NAPOV(4`eme ann´ee polytech), G.DEBONGNIE(doctorant UCL),
F.DOIGNIE(ing´enieur civil), Th.BRUSS(prof. au D´ept de maths), FANTOMATH et le Grand
Schtroumpf.
Solution du Problemath 8 Appelons quintuplet tout ensemble de 5 savants choisis parmi
les 11. Associons `a chaque quintuplet une serrure que les 5 savants du quintuplet ne pourront
pas ouvrir en r´eunissant leurs cl´es (une telle serrure existe par hypoth`ese). Les serrures associ´ees
`a deux quintuplets diff´erents sont n´ecessairement diff´erentes, sinon la r´eunion des deux quintu-
plets (qui comprend au moins 6 savants) ne pourrait pas ouvrir une des serrures, contrairement
`a l’hypoth`ese. Comme il y a (11
5) quintuplets, il faut donc au moins (11 5) =462 serrures pour
satisfaire aux conditions impos´ees.
Montrons `a pr´esent que 462 serrures suffisent. Avec ce nombre de serrures, l’application asso-
ciant `a chaque quintuplet une serrure que ce quintuplet ne peut pas ouvrir, est une bijection
de l’ensemble des quintuplets sur l’ensemble des serrures. Pour chacun des 11 savants, il y a
exactement (10
5) = 252 quintuplets dont il ne fait pas partie; si on lui donne les cl´es des 252
serrures associ´ees `a ces quintuplets et si on proc`ede de mˆeme pour chacun des 11 savants, on
obtient une solution du probl`eme. En effet, par construction, aucun quintuplet ne pourra ouvrir
toutes les serrures et, dans tout ensemble de 6 savants, une seule serrure ne pourra pas ˆetre
ouverte par les 5 premiers et une seule (autre!) serrure ne pourra pas ˆetre ouverte par les 5
derniers, de sorte que les 6 savants seront capables d’ouvrir toutes les serrures.
On fourni une solution correcte : C.DIVOY, E.WOODHEAD(BA1 physique), T.MARQUIS,
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C.PAUWELS, G.VAN BEVER(BA2 maths), M.LESSINNES(BA2 polytech), S.MASSON(1`ere
lic. physique UCL), A.NAPOV(4`eme ann´ee polytech), F.DOIGNIE(ing´enieur civil),
G.DEBONGNIE(doctorant UCL), FANTOMATH et le Grand Schtroumpf.
Solution du Problemath 9
On va prouver que le chien rejoint le lapin `a l’instant pr´ecis o`u ce dernier a parcouru 1
4du
p´erim`etre de l’ar`ene. Sans restreindre la g´en´eralit´e, on peut supposer que l’ar`ene est de rayon
1. D´ecrivons les trajectoires en coordonn´ees polaires (rl(t),θl(t))pour le lapin et (rc(t), θc(t))
pour le chien, avec θl(0) = 0 et rc(0) = 0.
Comme le chien se trouve `a tout instant tsur le rayon joignant le centre de l’ar`ene au lapin, on
adθl/dt =dθc/dt. Comme les deux animaux ont `a tout instant la mˆeme vitesse,
(drc
dt )2+r2
c(dθc
dt )2= (dθl dt )2
d’o`u on tire dθl
drc=1
√1−r2
c
c’est-`a-dire arcsin rc=θl+C
Les conditions initiales θl(0) = 0 et rc(0) = 0 entraˆınent C= 0, donc rc=sinθl. Le chien
rejoint le lapin lorsque rc= 1, c’est-`a-dire θl=π
2. Notons aussi que l’´equation rc(t) = sinθl(t)
montre que la trajectoire du chien est un demi-cercle de rayon 1
2, ayant pour extr´emit´es le centre
de l’ar`ene et le point de rencontre avec le lapin.
Ont fourni une solution correcte : J.GUTT(BA1 maths), C.DIVOY, F.SPINNLER, E.WOODHEAD
(BA1 physique), M.LESSINNES(BA2 polytech), S.MASSON(1`ere lic. physique UCL),
C.MANDY(2`eme lic. maths), A.NAPOV(4`eme ann´ee polytech), G.DEBONGNIE(doctorant
UCL), Th.BRUSS(prof. au D´ept de maths), FANTOMATH et le Grand Schtroumpf.
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