PROBLEMATHS 6 février 2006 Problemath 10 Votre calculatrice est

PROBLEMATHS
6 février 2006
Problemath 10
Votre calculatrice est défectueuse : elle ne peut plus faire le produit de deux nombres réels (la
touche correspondant à la multiplication est coincée). Les seules opérations qu’elle peut encore
faire sont : additionner deux nombres réels, les soustraire, et calculer l’inverse de tout réel non
nul.
Pouvez-vous néanmoins utiliser cette calculatrice pour multiplier deux nombres réels quelconques? Autrement dit, peut-on exprimer la multiplication à l’aide d’un nombre fini d’additions,
de soustractions et de passages à l’inverse?
Problemath 11
Trois logiciens A,B,C portent chacun un chapeau sur lequel est écrit un nombre entier strictement positif. Chaque logicien peut voir les nombres écrits sur les chapeaux de ses deux collègues,
mais ne peut pas voir ce qui est écrit sur son propre chapeau. On les informe qu’un des nombres
est la somme des deux autres. A, B et C font alors successivement les déclarations suivantes :
A:“Je ne peux pas en déduire le nombre sur mon chapeau”.
B:“Sachant cela, je ne peux pas en déduire le nombre sur mon chapeau”.
C:“Sachant cela, je ne peux pas en déduire le nombre sur mon chapeau”.
A:“Maintenant, je peux en déduire que mon chapeau porte le nombre 50”.
Quels sont les nombres écrits sur les chapeaux de B et C, sachant qu’avant de parler, chaque
logicien a exploité au maximum les informations dont il disposait à ce moment-là?
Les solutions doivent nous parvenir au plus tard le vendredi 24 février à 14 heures.
Solution du Problemath 7. Les fonctions constantes vérifient clairement l’inégalité imposée.
(y)
On va prouver que ce sont les seules. En effet, pour tout x 6= y, on a 0 ≤ | f (x)−f
x−y. | ≤ |x−y|, d’où
(y)
on déduit que limy→x f (x)−f
= 0 pour tout x ∈ R, autrement dit toute fonction f vérifiant
x−y
l’inégalité imposée est dérivable et sa dérivée f 0 (x) est nulle pour tout x ∈ R. Il en résulte que
f est une fonction constante.
Ont fourni une solution correcte : J.GUTT(BA1 maths), C.DIVOY, F.SPINNLER,
E.WOODHEAD(BA1 physique), T.MARQUIS, C.PAUWELS, G.VAN BEVER(BA2 maths),
M.LESSINNES(BA2 polytech), S.MASSON(1ère lic. physique UCL), C. MANDY(2ème lic.
maths), A.NAPOV(4ème année polytech), G.DEBONGNIE(doctorant UCL),
F.DOIGNIE(ingénieur civil), Th.BRUSS(prof. au Dépt de maths), FANTOMATH et le Grand
Schtroumpf.
Solution du Problemath 8 Appelons quintuplet tout ensemble de 5 savants choisis parmi
les 11. Associons à chaque quintuplet une serrure que les 5 savants du quintuplet ne pourront
pas ouvrir en réunissant leurs clés (une telle serrure existe par hypothèse). Les serrures associées
à deux quintuplets différents sont nécessairement différentes, sinon la réunion des deux quintuplets (qui comprend au moins 6 savants) ne pourrait pas ouvrir une des serrures, contrairement
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à l’hypothèse. Comme il y a (11
5 ) quintuplets, il faut donc au moins (5 ) =462 serrures pour
satisfaire aux conditions imposées.
Montrons à présent que 462 serrures suffisent. Avec ce nombre de serrures, l’application associant à chaque quintuplet une serrure que ce quintuplet ne peut pas ouvrir, est une bijection
de l’ensemble des quintuplets sur l’ensemble des serrures. Pour chacun des 11 savants, il y a
exactement (10
5 ) = 252 quintuplets dont il ne fait pas partie; si on lui donne les clés des 252
serrures associées à ces quintuplets et si on procède de même pour chacun des 11 savants, on
obtient une solution du problème. En effet, par construction, aucun quintuplet ne pourra ouvrir
toutes les serrures et, dans tout ensemble de 6 savants, une seule serrure ne pourra pas être
ouverte par les 5 premiers et une seule (autre!) serrure ne pourra pas être ouverte par les 5
derniers, de sorte que les 6 savants seront capables d’ouvrir toutes les serrures.
On fourni une solution correcte : C.DIVOY, E.WOODHEAD(BA1 physique), T.MARQUIS,
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C.PAUWELS, G.VAN BEVER(BA2 maths), M.LESSINNES(BA2 polytech), S.MASSON(1ère
lic. physique UCL), A.NAPOV(4ème année polytech), F.DOIGNIE(ingénieur civil),
G.DEBONGNIE(doctorant UCL), FANTOMATH et le Grand Schtroumpf.
Solution du Problemath 9
On va prouver que le chien rejoint le lapin à l’instant précis où ce dernier a parcouru 14 du
périmètre de l’arène. Sans restreindre la généralité, on peut supposer que l’arène est de rayon
1. Décrivons les trajectoires en coordonnées polaires (rl (t),θl (t))pour le lapin et (rc (t) , θc (t))
pour le chien, avec θl (0) = 0 et rc (0) = 0.
Comme le chien se trouve à tout instant t sur le rayon joignant le centre de l’arène au lapin, on
a dθl /dt = dθc /dt. Comme les deux animaux ont à tout instant la même vitesse,
dθl 2
2 dθc 2
c 2
( dr
dt ) + rc ( dt ) = ( dt )
d’où on tire
dθl
drc
= √1
1−rc2
c’est-à-dire arcsin rc = θl + C
Les conditions initiales θl (0) = 0 et rc (0) = 0 entraı̂nent C = 0, donc rc = sinθl . Le chien
rejoint le lapin lorsque rc = 1, c’est-à-dire θl = π2 . Notons aussi que l’équation rc (t) = sinθl (t)
montre que la trajectoire du chien est un demi-cercle de rayon 21 , ayant pour extrémités le centre
de l’arène et le point de rencontre avec le lapin.
Ont fourni une solution correcte : J.GUTT(BA1 maths), C.DIVOY, F.SPINNLER, E.WOODHEAD
(BA1 physique), M.LESSINNES(BA2 polytech), S.MASSON(1ère lic. physique UCL),
C.MANDY(2ème lic. maths), A.NAPOV(4ème année polytech), G.DEBONGNIE(doctorant
UCL), Th.BRUSS(prof. au Dépt de maths), FANTOMATH et le Grand Schtroumpf.
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