Mathématiques Bac Blanc TS du mercredi 2 mars 2011 (4 heures)

Mathématiques Bac Blanc TS du mercredi 2 mars 2011 (4 heures)
Chaque exercice sera rédigé sur une copie différente
Les calculatrices sont autorisées (mais aucun formulaire personnel).
La qualité de la rédaction, la clarté de la copie et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l’appréciation des copies.
Exercice 1 : sur 4 points
1. La suite ( un) est définie par
010u
et pour tout
entier naturel n ,
117
22
nn
u u n
a. Vérifier que u1 =
17
2
et calculer u2
b. Démontrer que pour tout entier n , un > 0
c. Démontrer pour tout entier n , un > n+
5
2
d. En déduire la limite de la suite ( un).
2. On définit la suite (vn) par
4 8 12
nn
v u n  
a. Calculer v0 et vérifier que v1 = 14
b. Démontrer que (vn) est une suite géométrique de
raison
1
2
c. Exprimer vn en fonction de n
d. Montrer que la suite ( vn) est décroissante.
e. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que
vn < 7.10-3
Exercice 2 : sur 5 points
Pour chaque question, répondre sur votre copie par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse
1. Dans une urne il y a 14 boules numérotées de 1 à 14. On en tire 4 selon le protocole suivant : on tire une boule, on
note son numéro, on la remet dans l’urne et on recommence. Le nombre de tirages possibles est : 414
2. Une urne contient trois boules blanches et sept boules noires. On en tire simultanément quatre.
La probabilité d’obtenir exactement une boule blanche est :
1
2
3. On dispose de dix jetons marqués A, B, C, D, E, F, G, H, I et J. On en tire trois successivement mais sans remise.
La probabilité d’obtenir les lettres B, A, C dans n’importe quel ordre est :
3
3
10 9 8
4. A et B sont deux événements tels que : p(A) = 0.4, p(B) = 0.5, p(A  B) = 0.65. Alors A et B sont incompatibles
5. Un tireur sur cible s’entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles
concentriques, de rayons respectifs 10, 20, et 30 centimètres. On admet que la probabilité d’atteindre une zone est
proportionnelle à l’aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible. La probabilité d’atteindre la zone la
plus éloignée du centre est égale à
1
3
Exercice 3 : sur 6 points
Question de cours : l’objet de cette question est de démontrer que
lim x
x
e
x
On suppose connus les résultats suivants :
 la fonction exponentielle est dérivable sur  et égale à sa dérivée
 e0 = 1
 Pour tout réel x,
x
ex
 Soient deux fonctions  et  définies sur [0 ; + [.
Si, pour tout x de [0 ; +[, on a (x)   et si
lim
x
 = + alors
lim
x
(x) = + 

On considère la fonction u définie sur [0 ; +[ par
²
() 2
xx
u x e
. Montrer que pour tout x de [0 ;+[ on a
( ) 0ux
En déduire que
lim x
x
e
x
Partie A Soit f la fonction définie sur  par
1
( ) ² 1
2
x
f x e x x
.
1. Déterminer la limite de f en – 
2. Déterminer la limite de f en + 
3. Montrer que
1
'( ) ²
2x
f x x e
4. Etudier les variations de f sur 
5. Le plan rapporté à un repère orthogonal
,,O i j
.
On note C la courbe représentative de f et  celle de la fonction définie sur par h(x) =
x
e
a. Étudier les positions relatives de C et .
b. La courbe  est tracée ci-dessous. Tracer la courbe C sur le même graphique.
Partie B
1. Résoudre l’équation différentielle : y′ + y = 0 (E), dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable sur .
2. On considère l’équation différentielle : y′ + y =
x
e
(x +1) (E′)
a. Vérifier que la fonction f définie dans la partie A est solution de (E′).
b. Soit g une fonction définie et dérivable sur . Montrer que g est solution de l’équation (E′) si et seulement si g − f
est solution de l’équation (E)
c. Résoudre l’équation (E′).
i
j
O

Exercice 4 : sur 5 points Elèves ayant suivi la spécialité Physique ou SVT
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O,
,uv
). On prendra pour unité graphique 2cm.
Soit A, B et C les points d’affixe respectives :
3 , 1 3 , 1a i b i c i     
.
1) a. Placer ces points sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure.
b. Quelle est la nature du triangle ABC ?
c. Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle de centre O, dont on calculera le rayon.
2) Soit M un point quelconque du plan d’affixe notée m et N le point d’affixe notée n, image de A dans la rotation r de
centre M et d’angle
2
.
Déterminer une expression de n en fonction de m.
3) On appelle Q le milieu du segment [AN] et q son affixe. Montrer que :
(1 ) 2
2
im
qi
.
4) Dans cette question, M est un point du cercle .
a. Justifier l’existence d’un réel  tel que :
10 i me
.
b. Calculer
2qi
. Quel est l’ensemble ’des points Q lorsque M décrit le cercle ?
Exercice 4 : sur 5 points Elèves ayant suivi la spécialité Mathématiques
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O,
,uv
). On prendra pour unité graphique 2cm.
Soit A et B les points d’affixes respectives zA = i et zB = 1 + 2i.
1) Justifier qu’il existe une unique similitude directe S telle que S(O) = A et S(A) = B.
2) Montrer que l’écriture complexe de S est :
' (1 )z i z i  
.
Préciser les éléments caractéristiques de S. On notera
le centre de S et  son affixe.
3) On considère la suite de points (An) telle que :
 A0 est l’origine du repère et,
 Pour tout entier naturel n, An+1 = S(An).
On note zn l’affixe de An. (On a donc A0 = O, A1 = A et A2 = B).
a. Démontrer que pour tout entier naturel n,
1 (1 )n
n
zi  
.
b. Calculer le nombre complexe
1nn
n
zz
qz
. En déduire la nature du triangle
1
AA
nn
c. En déduire une construction du point An+1 connaissant le point An. Construire les points A3 et A4.
4) Quels sont les points de la suite (An) appartenant à la droite ( B) ?

Corrigé : exercice 1
1. a)
1 0 2 1
1 7 7 17 1 7 17 9 35
0 5 1
2 2 2 2 2 2 4 2 4
u u u u           
b) Montrons par récurrence la propriété : pour tout entier naturel n
Initialisation :
00
10 10 0 donc u 0u et  
Hérédité : supposons que pour un entier naturel p quelconque on ait up >0 alors
1
1 7 1 7
0 et en ajoutant p >0 et >0 on a 0 c'est à dire u 0
2 2 2 2
p p p
u u p 
La propriété est héréditaire
Conclusion : la propriété est vraie pour tout entier naturel n
c) Une méthode : pour n entier naturel quelconque, un>0 donc
1 7 1 7 7
0 en ajoutant n+ aux deux membres on a
2 2 2 2 2
nn
u u n n    
c'est-à-dire un+1 > n+
7
2
ou encore un+1 > n+1+ 5/2 d’où un > n+
5
2
Une autre méthode : par récurrence
c) Limite ? D’après la question précédente :
5.
2
n
u n n   
5
lim Par théorème de comparaison , on déduit que
2
nn
lim n
nu
2. a)
0 0 1 1 17
4 8 0 12 28 4 8 1 12 4 8 12 14
2
v u v u             
b) Pour tout entier naturel n,
11 1 7 1 1
4 8( 1) 12 4( ) 8 20 2 4 14 8 20 (4 8 12)
2 2 2 2
n n n n n n
v u n u n n u n n u n v
Donc la suite ( vn) est géométrique de raison q= 0.5
c) Pour tout entier naturel n, on sait vn= v0qn donc vn = 28×0.5n
Pour tout entier naturel n, v n+1 – vn = 28×0.5n+1–28×0.5n=28×0.5n×(0.5-1)= –14×0.5n
Expression négative ce qui permet de déduire que la suite ( vn) est décroissante.
e) On doit chercher le plus petit entier naturel n tel que vn < 7.10-3
vn < 7.10-3
28×0.5n < 7 ×10-3
0.5n < 0.25×10-3 (en appliquant la fonction logarithme croissante sur ]0 ; + ∞[
Cela équivaut à ln( 0.5n) < ln( 0.25×10-3) n ln(0.5) < ln( 0.25×10-3) n >
3
ln(0.25 10 )
ln(0.5)
3
ln(0.25 10 ) 11.97
ln(0.5)
donc à partir de n = 12 on a vn < 7.10-3 (remarque : u 11 0.01367188 et u 12 0.00683594 )

Exercice 2 :
1.
Il s’agit d’un tirage successif avec remise. Il y a 14 choix pour la première boule, 14 choix pour la seconde, 14 choix pour
la troisième et 14 choix pour la dernière. Le nombre de tirages est donc : 144 Réponse : FAUX
2. Il s’agit d’un tirage simultané, on utilise des combinaisons pour dénombrer.
Nombre de cas possibles :
10 210
4
.On veut une boule blanche et donc trois noires.
Nombre de cas favorables :
37
105
13
La probabilité est donc
105 1
210 2
Réponse : VRAI
3. p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B)
p(A  B) = p(A  B) – p(A) – p(B) = 0.4 + 0.5 - 0.65 = 0,25
Or A et B incompatibles p(A  B)=0 donc Réponse : FAUX
4. Il s’agit d’un tirage successif sans remise. Il y a 10 choix pour le premier, 9 pour le second et 8 pour le dernier. Le
nombre de cas possibles est donc : 10  9  8 = 720.
Pour dénombrer les cas favorables, on cherche tous les tirages utilisant les lettres A, B et C : on a 3 choix pour la
première, 2 choix pour la 2ème et 1 pour la dernière donc 6 en tout ( On peut aussi dire qu’il y a 3! façons
d’obtenir les lettres A, B et C dans tous les ordres possibles : il s’agit du nombre de permutations de 3 éléments).
La probabilité cherchée est donc
6
10 9 8
alors que
3
31
10 9 8 10 9 8
Réponse : FAUX
5.
L’aire de la cible est égale à
30² 900
L’aire de la couronne la plus éloignée est
30² 20² 500
La probabilité d’atteindre la zone la plus éloignée du centre est donc égale à
500 5
900 9
Réponse : FAUX
La cible est formée d’un disque central et de deux couronnes : sans calcul, il est impossible de dire que les trois zones
n’ont pas la même aire ou que la zone la plus éloignée a l’aire la plus grande.
Corrigé de l’exercice 3
Question de cours
²
() 2
xx
u x e
La fonction u est dérivable sur [0 ,+[ comme somme de fonctions dérivables sur  et
'( ) x u x e x
On nous dit que pour tout réel x ex > x donc pour tout réel x ex – x > 0 : u’(x) > 0 sur [0 ; +[ donc u est strictement
croissante sur . Or, u(0) = e0 – 0 = 1. On a donc pour tout x de [0 ; +[ u(x)  u(0)  0
On vient de démontrer que, pour tout x positif :
²0
2
xx
e
ce qui équivaut à
²
2
xx
e
d’où en divisant par x, pour
tout x strictement positif :
2
x
ex
x
.
Or,
lim 2
x
x
donc
lim x
x
e
x
Partie A
1
( ) ² 1
2
x
f x e x x
1°)
1
lim ² 1 (fonction polynôme)
2 par produit lim ( )
lim donc lim
x
x
x
xx
xx fx
xe