Exercices de géométrie affine et euclidienne
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Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Execices de géométrie Isométries planes Isométries de l’espace affine et euclidienne Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Jean-Marc Decauwert Aide version du 22 décembre 2006 Précédente Suivante Plein écran Quitter [email protected] Géométrie affine Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter • • • • • • • • • • • • • • • • • Quadrilatère Composition de symétries centrales Composition d’homothéties Le trapèze Polygone des milieux Le tourniquet dans le triangle Un problème de construction Deux triangles Un cas particulier du théorème de Desargues Une droite et son image Transformations cycliques Affinités et transvections Desargues dans l’espace Projection centrale, rapport et birapport Coordonnées barycentriques et déterminants Aire algébrique d’un polygone Action du groupe affine sur les triplets de droites Convexité Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter • • • • • • • • • • • • • Demi-espaces Régionnement du plan par un repère affine Cônes convexes Quadrilatères Diagonales d’un polygone convexe Milieux Une propriété des triangles Le théorème de Carathéodory Projection sur un convexe fermé Séparation de convexes Hyperplans d’appui Génération par les demi-espaces Domaines de Voronoı̈ Géométrie euclidienne Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter • • • • • • • • • • • • • • • Distances aux points d’un repère affine Fonction scalaire de Leibniz Cercles d’Apollonius Triangle orthique Bissectrices et cercle circonscrit Le pivot Cercles tangents Trois cercles Le théorème des trois tangentes Rayons des cercles inscrit et exinscrits Un problème de maximisation Le problème de Fermat Trisection Un problème de recouvrement Disque de rayon minimal contenant un compact Isométries planes Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter • • • • • • • • • • • • • Composition de réflexions (1) Composition de réflexions (2) Composition de réflexions (3) Symétrie glissée Composition de rotations Composition de symétries glissées Le tourniquet dans le cercle Polygone régulier Deux carrés (ou trois) Billard polygonal Plus court chemin Le problème de Fagnano Sous-groupes finis d’isométries Isométries de l’espace Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter • • • • • • • Composée de trois réflexions Caractérisation de l’axe d’un vissage Tétraèdres équifaciaux Isométries du tétraèdre régulier Isométries du cube Cube, tétraèdres et octaèdre Isométries de l’hélice circulaire Coniques Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter • • • • • Tangentes menées d’un point à la parabole Un problème de lieu géométrique Diamètres conjugués de l’ellipse Ellipse de Steiner d’un triangle Construction de l’hyperbole Géométrie analytique Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter • • • • • • • • • • • Projection et affinités Transformation affine du plan Position relative de deux cercles Perpendiculaire commune Equation normale d’une droite, bissectrices Réflexion Isométrie de l’espace (1) Isométrie de l’espace (2) Isométries du cube et du tétraèdre Equation d’une conique Une construction de l’ellipse Complexes Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter • • • • • • • • Paramétrisation du cercle Orthocentre Deux carrés (ou trois) Un triangle et son image Configuration de Vecten Triangles de Napoléon Le théorème de Ptolémée Projection orthogonale d’un cube Homographies Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter • • • • z − a Lignes de niveau de z − b Matrices et homographies Points fixes d’une homographie Invariant anallagmatique de deux cercles Quadrilatère Accueil Géométrie affine Convexité Soit, dans le plan affine, ABCD un quadrilatère, I, J, K, L les milieux respectifs des segments AB, BC, CD et DA. Montrer que IK et JL ont même milieu. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Que peut-on dire de l’isobarycentre des quatre points A, B, C, D ? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution L’isobarycentre des quatre points A, B, C, D est, par associativité, l’isobarycentre de I et K, i.e. le milieu du segment IK. C’est aussi, pour la même raison, celui de JL. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Autre solution Table Accueil Géométrie affine − → −−→ 1 −→ Le quadrilatère IJKL est un parallélogramme, puisque IJ = LK = AC (considérez 2 les triangles ABC et ACD). Ses diagonales IK et JL se coupent donc en leurs milieux. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Composition de symétries centrales Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit ABC un triangle, A0 , B 0 , C 0 les milieux respectifs de BC, CA et AB, sA0 , sB 0 , sC 0 les symétries centrales par rapport à ces points. Déterminer la nature géométrique des transformations f = sB 0 ◦ sA0 et g = sC 0 ◦ sB 0 ◦ sA0 . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Déterminez les parties linéaires f~ et ~g de f et g, puis les images f (B) et g(B) du point B par ces deux transformations. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne La partie linéaire d’une symétrie centrale est l’homothétie vectorielle de rapport -1. La composée de deux symétries centrales a pour partie linéaire l’identité, c’est donc une translation. La composée de trois symétries centrales a pour partie linéaire l’homothétie vectorielle de rapport -1, c’est donc une symétrie centrale. Comme −→ f (B) = A et g(B) = B, f est la translation de vecteur BA et g la symétrie centrale de centre B. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Composition d’homotheties Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soient, dans le plan affine E, h1 et h2 deux homothéties de centres respectifs O1 et O2 et de même rapport λ 6= 0. Déterminer la nature géométrique de la transformation f = h2 ◦ h−1 1 . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne La partie linéaire d’une homothétie affine de rapport λ est l’homothétie vectorielle → − de rapport λ. La partie linéaire de f = h2 ◦h−1 1 est donc l’identité de E . Il en résulte que f est une translation. L’image f (O1 ) = h2 (O1 ) de O1 par cette translation −−−−−→ −−−−−→ −−−→ −−−−−→ −−−→ −−−→ vérifie O2 f (O1 ) = λO2 O1 , d’où O1 f (O1 ) = O1 O2 + O2 f (O1 = (1 − λ)O1 O2 : f est −−−→ donc la translation de vecteur (1 − λ)O1 O2 . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Soit F une partie non vide de E, F1 = h1 (F ) son image par h1 , F2 = h2 (F ) son image par h2 . Montrer que F2 est l’image de F1 par une translation dont on précisera le vecteur. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution −−−→ F2 est l’image de F1 par la translation f de vecteur (1 − λ)O1 O2 . Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Le trapèze Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Soit ABCD un trapèze de bases AB et CD. On note K et L les milieux de AB et CD et on suppose que les droites AD et BC se coupent en un point I et les droites AC et BD en un point J. Montrer que les points I, J, K, L sont alignés et que : IK JL = −1 . IL JK Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Considérez des homothéties de centres I et J qui transforment la droite AB en la droite CD. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Il existe une unique homothétie h de centre I transformant D en A. Cette homothétie transforme la droite CD en une droite parallèle passant par A, i.e. en la droite AB. Elle transforme donc C en B, et le milieu L de CD en le milieu K de AB. Les points I, K et L sont donc alignés et le rapport de h est égal à IK . De IL 0 même l’unique homothétie h de centre J transformant A en C transforme B en D et le milieu K de AB en le milieu L de CD. Les points J, K et L sont donc JL alignés et le rapport de h0 est égal à JK . La composée h0 ◦h de ces deux homothéties transforme D en C, C en D, et laisse fixe L. C’est donc la symétrie par rapport à L, i.e. l’homothétie de centre L et de rapport −1. Mais son rapport est aussi le JL des rapports de ces deux homothéties. produit IK IL JK Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Table Quitter Polygone des milieux (1) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit ABC un triangle. Montrer qu’il existe un triangle A0 B 0 C 0 et un seul tel que A soit le milieu de B 0 C 0 , B le milieu de C 0 A0 , et C le milieu de A0 B 0 . Indiquer une construction géométrique de ce triangle. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Polygone des milieux (2) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit A0 B 0 C 0 D0 un quadrilatère. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un quadrilatère ABCD tel que A0 soit le milieu de AB, B 0 le milieu de BC, C 0 le milieu de CD, et D0 le milieu de DA. Ce quadrilatère, s’il existe, est-il unique? Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace −−→ Si ABCD existe, les égalités A0 B 0 = −−0 →0 1 −→ D C = AC montrent que A0 B 0 C 0 D0 2 est un parallélogramme. Cette condition est donc nécessaire pour qu’il existe une solution. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Si elle est vérifiée, soit A un point quelconque du plan, B son symétrique par rapport à A0 , C le symétrique de B par rapport à B 0 , D le symétrique de C par rapport à C 0 ; D0 est alors le milieu de DA, ce qui montre que ABCD est solution. Il y a donc dans ce cas une infinité de solutions : l’un des points ABCD peut être choisi arbitrairement, les autres sont alors uniquement déterminés. Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Polygone des milieux (3) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Etant donnés n points B1 , . . . ,Bn du plan affine E, peut-on toujours trouver n points A1 , . . . ,An de E tels que Bi soit, pour tout i = 1, . . . ,n, le milieu de Ai Ai+1 (avec la convention An+1 = A1 )? Donner une construction géométrique des points Ai à partir des points Bi lorsque la solution existe. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Le polygone des milieux est-il quelconque? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Indication Accueil Géométrie affine On pourra considérer la composée des symétries de centres B1 , B2 , . . . ,Bn . Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Solution Accueil Géométrie affine Convexité Il suffit naturellement de considérer le triangle obtenu en traçant les parallèles aux côtés menées par les sommets opposés. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Si le problème admet une solution A1 , . . . , An , la composée f = sBn ◦ · · · ◦ sB1 des symétries de centres B1 , B2 , . . . ,Bn laisse fixe le point A1 . Or cette composée est : • une symétrie centrale si n est impair ; −−−→ −−−−−→ • la translation de vecteur ~v = 2(B1 B2 + · · · + Bn−1 Bn ) si n est pair. Si n est impair, le problème admet donc une solution et une seule : A1 est le centre de f , A2 = sB1 (A1 ), . . . . Si n est pair, soit ~v = ~0 : f est alors l’identité et le problème admet une infinité de solutions (A1 quelconque, A2 = sB1 (A1 ), . . . ), soit ~v 6= ~0 : f n’a dans ce cas pas de point fixe et le problème n’admet pas de solution. Aide Précédente Comment construisez-vous la solution si n est impair? Suivante Plein écran Quitter Autre solution Solution Solution Accueil Géométrie affine Convexité Il suffit de partir d’un point quelconque M et de construire son image f (M ) : le centre de f est le milieu de M f (M ), qui est donc le point A1 . Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Table Autre solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Si a1 , . . . ,an sont les affixes des points Ak et b1 , . . . ,bn les affixes des points Bk , le problème équivaut à résoudre le système: a1 + a2 a2 + a3 ... an−1 + an a1 + an = = = = = 2b1 2b2 ... 2bn−1 2bn Homographies Aide Précédente Suivante Le déterminant de ce système se calcule en développant par rapport à la première colonnne : 1 1 0 . . . 0 1 1 0 . . . . . . . . . n+1 . = 1 + (−1) . . . . . . . . . . 0 1 1 1 0 . . 0 1 Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine Convexité Si n est impair, le système est de Cramer : il admet donc une solution et une seule quels que soient les points Bk . Si n est pair, le déterminant est nul (ce qu’on pouvait voir directement en remarquant que la somme des lignes d’indice pair est égale à la somme des lignes d’indice impair) et le sytème est de rang n − 1. Si la condition Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes a1 + a3 + · · · + an−1 = a2 + a4 + · · · + an est vérifiée, le système admet une infinité de solutions (on peut choisir arbitrairement a1 et les autres points sont alors uniquement déterminés) ; sinon le sytème n’admet pas de solution. Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Table Le tourniquet dans le triangle Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Par un point D du côté AB d’un triangle ABC on trace la parallèle à BC qui coupe AC en E ; par E on trace la parallèle à AB qui coupe CB en F ; par F on trace la parallèle à CA qui coupe BA en G ; par G on trace la parallèle à BC qui coupe AC en H ; par H on trace la parallèle à AB qui coupe CB en I ; par I on trace la parallèle à CA qui coupe BA en J. Montrer que J = D. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Remarquez que l’application de la droite AB dans elle-même qui au point D associe le point G est affine. Quelles sont les images des points A et B par cette application? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine L’application f de la droite AB dans elle-même qui au point D associe le point G est affine, puisque composée de trois projections. Elle échange les points A et B et est donc involutive, puisque (A,B) est un repère affine de cette droite. L’image J de D par f ◦ f est donc égale à D. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Remarque : L’application f est donc la symétrie par rapport au milieu de AB. En appliquant trois fois le théorème de Thalès, on pouvait d’ailleurs montrer que DA GB = , et en déduire que D et G étaient symétriques par rapport à ce milieu. DB GA Table Quitter Un problème de construction Accueil Géométrie affine Convexité Soit, dans un plan affine E, ABCD un parallélogramme dont on suppose les sommets A et B fixés. Déterminer le lieu de D quand C décrit une droite ∆ de E. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite −→ Le point D se déduit de C par la translation de vecteur BA. Il décrit donc, quand C décrit la droite ∆, la droite ∆1 image de ∆ par cette translation. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine En déduire une construction d’un parallélogramme ABCD dont les sommets A et B sont fixés, les sommets C et D devant appartenir respectivement à deux droites ∆ et ∆0 données de E (on discutera l’existence et l’unicité de la solution selon la position de ces droites). Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Le point D s’obtient comme intersection de ∆0 et de la droite ∆1 déduite de ∆ par −→ la translation de vecteur BA. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Deux triangles (1) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit, dans le plan affine, ABC un triangle non aplati, A1 le symétrique de B par rapport à C, B1 le symétrique de C par rapport à A, C1 le symétrique de A par rapport à B. Comparer les aires des triangles ABC et A1 B1 C1 . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution −−−→ −−−→ −→ −−→ Comparez par exemple les déterminants det(A1 B1 ,A1 C1 ) et det(CA,CB). Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution On a : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace −−−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ det(A1 B1 ,A1 C1 ) = det(A1 C + CB1 ,A1 B + BC1 ) −−→ −→ −−→ −→ = det(CB + 2CA,2CB − BA) −−→ −→ −−→ −→ = det(CB + 2CA,3CB − CA) −→ −−→ = 7 det(CA,CB) Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente L’aire du triangle A1 B1 C1 est donc 7 fois celle du triangle ABC. Suivante Plein écran Quitter Remarque Suite On pouvait aussi remarquer que les aires de chacun des triangles A1 BC1 , B1 CA1 et C1 AB1 étaient égales au double de celle du triangle ABC. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Deux triangles (2) Accueil Géométrie affine Reconstruire le triangle ABC à partir du triangle A1 B1 C1 . Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Accueil Géométrie affine Soient A2 , B2 , C2 les points d’intersection des droites BC, CA et AB avec les droites B1 C1 , C1 A1 et A1 B1 . Ecrire les coordonnées barycentriques des points A1 , B1 et C1 dans le repère affine (A,B,C). En déduire les coordonnées barycentriques des points A, B, C, puis celles des points A2 , B2 , C2 dans le repère affine (A1 ,B1 ,C1 ). Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Soient A2 , B2 , C2 les points d’intersection des droites BC, CA et AB avec les droites B1 C1 , C1 A1 et A1 B1 . On a : Accueil A1 = 2C − B Géométrie affine Convexité B1 = 2A − C Géométrie euclidienne Isométries planes C1 = 2B − A Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente L’égalité d’où : 2 A = A1 + 7 1 B = A1 + 7 4 C = A1 + 7 4 B1 + 7 2 B1 + 7 1 B1 + 7 1 C1 7 4 C1 7 2 C1 7 ! 4 1 6 1 2 1 2 A1 + B1 + C1 A = A1 + B1 + C1 = 7 7 7 7 3 3 7 1 2 montre que C2 = A1 + B1 , puisque ce dernier point appartient aux deux droites 3 3 A1 B1 et AC1 . C2 est donc situé au tiers du segment B1 A1 à partir de B1 . La droite AB s’en déduit, puisque les points C1 et C2 lui appartiennent. Les autres côtés du triangle ABC s’obtiennent de la même manière. Suivante Plein écran Quitter Retour Table Un cas particulier du théorème de Desargues Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Montrer que deux triangles non aplatis du plan affine se déduisent l’un de l’autre par une homothétie ou une translation si et seulement si leurs côtés sont deux à deux parallèles. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution −−→ −→ Si A0 B 0 = λAB, il existe une et une seule homothétie ou translation f qui transforme A en A0 et B en B 0 (démonstration). Que peut-on dire de f (C)? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne −−→ −→ −−→ −−→ Si A0 B 0 = AB, le quadrilatère ABB 0 A0 est un parallélogramme et AA0 = BB 0 : la −−→ translation de vecteur AA0 transforme donc A en A0 et B en B 0 . −−→ −→ Si A0 B 0 = λAB, avec λ 6= 1, 0, il existe une homothétie et une seule de rapport λ qui transforme A en A0 et B en B 0 . Son centre O est déterminé par la relation −−→0 −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ OA = λOA, qui s’écrit encore OA + AA0 = λOA, ou (1 − λ)AO = AA0 . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Une homothétie ou une translation conserve le parallélisme : la condition est donc nécessaire. Réciproquement, les droites AB et A0 B 0 étant parallèles, il existe une homothétie ou une translation f qui transforme A en A0 et B en B 0 . L’image f (C) de C par f appartient à la parallèle à AC passant par A0 , i.e. à la droite A0 C 0 et à la parallèle à BC passant par B 0 , i.e. à la droite B 0 C 0 : c’est donc le point C 0 . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Application Accueil Géométrie affine Soient D1 et D2 deux droites sécantes du plan affine E et M un point de E n’appartenant à aucune de ces droites. On suppose que le point O d’intersection de D1 et D2 est situé hors du cadre de la figure. Donner une construction de la droite OM . Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Soient P1 un point de D1 et P2 un point de D2 tels que la droite P1 P2 ne passe pas par M . Une parallèle à P1 P2 coupe D1 en P10 et D2 en P20 . Les parallèles à P1 M (resp. P2 M ) menées par P10 (resp. P20 ) se coupent en M 0 . La droite M M 0 passe par O. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Une droite et son image Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit f une transformation affine d’un espace affine E et D une droite de E. Montrer que l’ensemble des milieux des segments M f (M ) pour M ∈ D est une droite ou un point. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Soient A et B deux points distincts de D. Exprimez M (resp. f (M )) comme barycentre de A et B (resp. f (A) et f (B)). Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Soient A et B deux points distincts de D. Tout point M de E s’écrit de manière unique comme barycentre αA + (1 − α)B (α ∈ R) de A et B. La transformation f étant affine, elle conserve les barycentres : f (M ) = αf (A) + (1 − α)f (B). Le α 1−α milieu g(M ) de M f (M ) est le barycentre du système pondéré (A, ), (B, ), 2 2 α 1−α (f (A), ), (f (B), ), ou encore du système (g(A), α), (g(B), 1 − α), où g(A) 2 2 est le milieu de Af (A) et g(B) le milieu de Bf (B). Si g(A) = g(B), on a g(M ) = g(A) = g(B) pour tout point M de D. Sinon le point g(M ) = αg(A) + (1 − α)g(B) décrit la droite g(A)g(B) quand α décrit R. Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Autre solution Table Isométries planes On peut aussi remarquer que l’application g qui à M associe le milieu g(M ) de → f~ + id− E . En effet si M et N sont M f (M ) est affine, d’application linéaire associée 2 deux points de E, on vérifie facilement que −−→ −−−−−−−→ −−→ −−→ −−−−−−−→ M N + f (M )f (N ) M N + f~(M N ) g(M )g(N ) = = . 2 2 Isométries de l’espace Il en résulte que l’image g(D) de la droite D par g est une droite ou un point. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Transformations cycliques Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soient A, B, C, D quatre points du plan affine P tels que trois d’entre eux ne soient jamais alignés. Donner une condition nécessaire et suffisante sur le quadrilatère ABCD pour qu’il existe une transformation affine f de P vérifiant f (A) = B, f (B) = C, f (C) = D, f (D) = A. Montrer qu’une telle transformation, si elle existe, est un élément d’ordre 4 du groupe affine de P . Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Les points A, B, C constituent un repère affine de P . Soit D = αA + βB + γC, avec α + β + γ = 1, l’écriture de D dans ce repère. Si une telle transformation f existe, elle vérifie : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes f (D) = αf (A) + βf (B) + γf (C) = αB + βC + γ(αA + βB + γC) = αγA + (α + γβ)B + (β + γ 2 )C . Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante L’égalité f (D) = A se traduit alors par le système αγ = 1, α + γβ = 0, β + γ 2 = 0. On en déduit β = −γ 2 , α = γ 3 , γ 4 = 1, d’où γ = ±1. Si γ = −1, on a α = β = γ = −1, ce qui est impossible, puisque α + β + γ = 1. On a donc α = γ = 1, β = −1, ce qui signifie que ABCD est un parallélogramme. Réciproquement, si ABCD est un parallélogramme, l’unique transformation affine de P vérifiant f (A) = B, f (B) = C, f (C) = D vérifie aussi f (D) = f (A−B+C) = B − C + D = A. Les deux transformations affines f 4 et idP coı̈ncident sur le repère affine A, B, C ; elles sont donc égales. Par contre f 2 6= idP (f 2 est la symétrie centrale par rapport au centre du parallélogramme) : f est donc d’ordre 4 dans GA(P ). Plein écran Quitter Retour Table Affinités et transvections (1) Accueil Géométrie affine Convexité Soit (A0 , . . . ,An ) un repère affine d’un espace affine E de dimension n et A00 un point de E n’appartenant pas à l’hyperplan affine H engendré par A1 , . . . , An . Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Montrer qu’il existe une transformation affine f de E et une seule qui laisse fixe tout point de H et transforme A0 en A00 . Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite On sait qu’il existe une et une seule transformation affine f transformant le repère affine (A0 ,A1 , . . . ,An ) en la famille (A00 ,A1 , . . . ,An ) : f (A0 ) = A00 , f (Ai ) = Ai pour tout i = 1, . . . ,n. Cette transformation affine laisse invariant tout point de H. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Affinités et transvections (2) Accueil Géométrie affine Convexité On suppose que A00 n’appartient pas à l’hyperplan affine H 0 parallèle à H passant par A0 . Montrer que f est une affinité de base H dont on précisera la direction. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Accueil Géométrie affine Soit A le point d’intersection de la droite A0 A00 avec H. L’affinité de base H, de diAA00 rection (A0 A00 ) et de rapport et f sont deux applications affines qui coı̈ncident AA0 sur le repère affine (A0 , . . . ,An ). Elles sont donc égales. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Affinités et transvections (3) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne On suppose maintenant que A00 appartient à l’hyperplan affine H 0 parallèle à H passant par A0 . Montrer qu’il existe une fonction affine ϕ sur E nulle sur H telle −−−−−→ −−−→ que M f (M ) = ϕ(M )A0 A00 pour tout point M de E. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Tout point M du plan s’écrit M = α0 A0 + α1 A1 + · · · + αn An avec n X αi = 1. Son i=0 Accueil image f (M ) par l’application affine f s’écrit Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique f (M ) = α0 f (A0 ) + α1 f (A1 ) + · · · + αn f (An ) = α0 A00 + α1 A1 + · · · + αn An . −−−−−→ −−−→ −−−→ On en déduit M f (M ) = α0 A0 A00 = ϕ(M )A0 A00 , où ϕ est la forme affine qui associe à tout point de E sa coordonnée suivant A0 dans le repère affine (A0 ,A1 , . . . ,An ), i.e. l’unique application affine de E dans R vérifiant ϕ(A0 ) = 1, ϕ(Ai ) = 0 pour tout i = 1, . . . ,n. Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Affinités et transvections (4) Accueil Géométrie affine Convexité On suppose que E est un plan. Donner une construction géométrique de l’image M 0 = f (M ) d’un point M de E par f . Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Table Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Si M n’appartient pas à H 0 , l’image par f de la droite A0 M est la droite A00 m, où m est l’intersection de la droite A0 M avec H, puisque m est fixe par f . Le point M 0 = f (M ) est donc l’intersection de la droite A00 m avec la parallèle à H −−−−−→ −−−→ menée par M , puisque M f (M ) est proportionnel à A0 A00 . Si M appartient à H 0 , on commence par construire l’image par f d’un point n’appartenant pas à H 0 et on fait une construction analogue à partir de ce point et de son image (on peut −−−−−→ −−−→ aussi remarquer que dans ce cas M f (M ) = A0 A00 ). Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Table Quitter Le théorème de Desargues Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit, dans l’espace affine de dimension 3, OABC un tétraèdre et Π un plan coupant les trois arêtes OA, OB et OC en A0 , B 0 et C 0 . On suppose les droites BC et B 0 C 0 (resp. CA et C 0 A0 , AB et A0 B 0 ) sécantes en des points α, β et γ. Montrer que les trois points α, β et γ sont alignés. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Considérez l’intersection des plans ABC et Π. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Les plans ABC et Π se coupent suivant une droite ∆ et les points α, β et γ appartiennent tous trois à ∆. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Remarque Accueil Géométrie affine Convexité On en déduit, en considérant la figure plane ci-dessous comme la projection sur le plan ABC d’une figure de l’espace, que si deux triangles ABC et A0 B 0 C 0 d’un même plan sont tels que les droites AA0 , BB 0 et CC 0 soient concourantes, alors les points d’intersection des côtés BC et B 0 C 0 , CA et C 0 A0 , AB et A0 B 0 (s’ils existent) sont alignés. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Cas particulier Table Si les côtés BC et B 0 C 0 sont parallèles, et les côtés CA et C 0 A0 , AB et A0 B 0 sécants en des points β et γ, alors la droite βγ est parallèle aux droites BC et B 0 C 0 . Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Si les côtés BC et B 0 C 0 , ainsi que les côtés CA et C 0 A0 , sont parallèles, alors les côtés AB et A0 B 0 le sont aussi (pourquoi?). On retrouve alors le cas particulier du théorème de Desargues considéré précédemment. Table Projection centrale, rapport et birapport Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit ∆ et ∆0 deux droites sécantes en O. Deux droites D et D0 coupent ∆ et ∆0 en A, B, A0 , B 0 . On suppose les milieux I et I 0 des segments AB et A0 B 0 alignés avec O. Montrer que les droites D et D0 sont parallèles. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Soit D00 l’image de D par l’homothétie de centre O qui transforme I en I 0 , A00 et B 00 ses points d’intersection avec ∆ et ∆0 . Que peut-on dire du quadrilatère A00 B 0 B 00 A0 ? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Soit D00 l’image de D par l’homothétie de centre O qui transforme I en I 0 , A00 et B 00 ses points d’intersection avec ∆ et ∆0 . Les diagonales du quadrilatère A00 B 0 B 00 A0 se coupent en leurs milieux. Si ce quadrilatère n’était pas aplati, ce serait un parallélogramme et les droites ∆ et ∆0 seraient parallèles, ce qui n’est pas. On a donc D00 = D0 , ce qui montre que D et D0 sont parallèles. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Cet exercice montre en particulier que la projection centrale de centre O qui à un point M du plan associe le point d’intersection de la droite OM avec une droite fixée D0 n’est pas affine (elle ne conserve pas les milieux). On peut d’ailleurs remarquer que cette application n’est pas définie sur un espace affine, puisque l’image d’un point de la parallèle à D0 passant par O n’est pas définie. La restriction de cette application à une droite D ne passant pas par O est bien définie et est une application affine dans le seul cas où D et D0 sont parallèles (c’est alors la restriction à D de l’unique homothétie de centre O qui transforme D en D0 ). Coniques Géométrie analytique Complexes La suite de l’exercice va montrer que la projection centrale conserve cependant le birapport de quatre points. Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Projection centrale et birapport Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit A, B, C, D quatre points distincts d’une droite ∆ du plan affine P et O un point de P n’appartenant pas à ∆. Montrer que −→ −→ det(OA,OC) AC = −→ −−→ . AD det(OA,OD) Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne → − −−→ Soit ~v un vecteur directeur de ∆, de sorte que M N = M N~v pour tout couple (M,N ) de points de ∆. L’égalité cherchée résulte immédiatement des deux égalités : −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ det(OA,OC) = det(OA,OA + AC) = det(OA,AC) = AC det(OA,~v ) −→ −−→ −→ −→ −−→ −→ −−→ −→ det(OA,OD) = det(OA,OA + AD) = det(OA,AD) = AD det(OA,~v ) . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite En déduire que si une autre droite ∆0 de P ne passant pas par O coupe les quatre droites OA, OB, OC et OD en des points A0 , B 0 , C 0 et D0 , on a : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne AC BD A0 C 0 B 0 D 0 · = 0 0· 0 0 AD BC AD BC (conservation du birapport par les projections centrales). Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution −−→ −→ −−→ −−→ Il existe des réels α, β, γ, δ non nuls tels que OA0 = αOA, OB 0 = β OB, −−→0 −→ −−→ −−→ OC = γ OC, OD0 = δ OD. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide −−→ −→ Les points O, A et A0 étant alignés, il existe un réel α non nul tel que OA0 = αOA. −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ De même, il existe β, γ, δ non nuls tels que OB 0 = β OB, OC 0 = γ OC, OD0 = δ OD. On en déduit : −−→ −−→ −−→ −−→ A0 C 0 B 0 D 0 det(OA0 ,OC 0 ) det(OB 0 ,OD0 ) · = −−→ −−→ · −−→ −−→ A0 D 0 B 0 C 0 det(OA0 ,OD0 ) det(OB 0 ,OC 0 ) −→ −→ −−→ −−→ det(αOA,γ OC) det(β OB,δ OD) = −→ −−→ · −−→ −→ det(αOA,δ OD) det(β OB,γ OC) −→ −→ −−→ −−→ det(OA,OC) det(OB,OD) = −→ −−→ · −−→ −→ det(OA,OD) det(OB,OC) AC BD · . = AD BC On en déduit qu’une projection centrale conserve le birapport de quatre points. Précédente Suivante Plein écran Quitter Remarque Table Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique AC s’interprète alors Supposons le plan muni d’un produit scalaire. Le quotient AD comme le rapport des aires des triangles OAC et OAD, puisque ces deux triangles × OC sin AOC ont même hauteur. Il est donc encore égal au rapport . La valeur × OD sin AOD Ø × AC BD sin BOD sin AOC absolue et ne dépend · du birapport est donc égale à × × AD BC sin AOD sin BOC donc que des droites OA, OB, OC et OD, et non de la sécante ∆. Les égalités établies précédemment ne font que refléter ces dernières sans avoir à se placer dans le cadre euclidien. Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Table Quitter Coordonnées barycentriques et déterminants Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit ABC un triangle non aplati du plan affine E. Montrer que les aires algébriques −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ ∆(M B,M C), ∆(M C,M A), ∆(M A,M B) des triangles M BC, M CA et M AB constituent un système de coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine (A,B,C). Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Il suffit de montrer que : −−→ −−→ −→ −→ det(M B,M C) = α det(AB,AC) −−→ −−→ −→ −→ det(M C,M A) = β det(AB,AC) −−→ −−→ −→ −→ det(M A,M B) = α det(AB,AC) Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies si (α,β,γ) sont les coordonnées barycentriques réduites de M dans le repère ABC, −−→ −→ −→ −−→ ce qui se vérifie immédiatement en remarquant que AM = β AB + γ AC, BM = −→ −−→ −−→ −→ −−→ αBA + γ BC, CM = αCA + β CB, et en développant les déterminants. Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Aire algébrique d’un polygone : cas du triangle Accueil Géométrie affine Convexité − → Soit E un plan affine et (~i,~j) une base de E . On note ∆(~u,~v ) le déterminant de deux vecteurs ~u et → − ~v de E dans cette base. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soit ABC un triangle de E. Montrer que la somme −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ ∆(M A,M B) + ∆(M B,M C) + ∆(M C,M A) Coniques Géométrie analytique Complexes ne dépend pas du point M de E et l’exprimer en fonction de l’aire algébrique −→ −→ ∆(AB,AC) du triangle ABC. Homographies Aide On remarquera que le signe de l’aire algébrique d’un triangle dépend de l’orientation de ce triangle, c’est-à-dire de l’ordre dans lequel sont écrits les sommets. Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Solution Accueil Pour tout couple M,N de points de E : Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ ∆(M A,M B) + ∆(M B,M C) + ∆(M C,M A) −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ = ∆(M N + N A,M N + N B) + ∆(M N + N B,M N + N C) + ∆(M N + N C,M N + N A) −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ = ∆(N A,N B) + ∆(N B,N C) + ∆(N C,N A) −−→ −−→ −−→ + ∆(M N ,N B − N A) −−→ −−→ −−→ + ∆(M N ,N C − N B) −−→ −−→ −−→ + ∆(M N ,N A − N C) −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ = ∆(N A,N B) + ∆(N B,N C) + ∆(N C,N A) . En particulier, pour N = A, on obtient : Aide −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ ∆(M A,M B) + ∆(M B,M C) + ∆(M C,M A) = ∆(AB,AC) . Précédente Cette relation exprime simplement que l’aire algébrique du triangle ABC est la somme des aires Suivante algébriques des triangles M AB, M BC et M CA. Ces aires constituent également un système de coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine (A,B,C). Plein écran Quitter Retour Suite Aire algébrique d’un polygone Accueil Géométrie affine Convexité Soit n un entier ≥ 2 et A1 , . . . An n points de E. Montrer que la somme −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−−→ −−−→ −−−→ −−−→ ∆(M A1 ,M A2 ) + ∆(M A2 ,M A3 ) + · · · + ∆(M An−1 ,M An ) + ∆(M An ,M A1 ) Géométrie euclidienne Isométries planes ne dépend pas du point M de E. Isométries de l’espace Coniques On appellera cette somme aire algébrique du polygone A1 . . . An . Géométrie analytique On peut aisément vérifier que si le polygone est convexe, et si M est intérieur au polygone, ces Complexes aires sont toutes de même signe et donc que l’aire géométrique du polygone (i.e. la valeur absolue Homographies de l’aire algébrique) est la somme des aires géométriques des triangles M Ai Ai+1 et représente donc l’aire du polygone au sens usuel. Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Table Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Pour tout couple M,N de points de E : −−→ −−−−→ −−→ −−→ −−→ −−−−→ ∆(M Ai ,M Ai+1 ) = ∆(M N + N Ai ,M N + N Ai+1 ) −−→ −−−−→ −−→ −−−−→ −−→ = ∆(N Ai ,N Ai+1 ) + ∆(M N ,N Ai+1 − N Ai ) −−→ −−−−→ −−→ −−−−→ = ∆(N Ai ,N Ai+1 ) + ∆(M N ,Ai Ai+1 ) , d’où, en faisant la somme et en posant An+1 = A1 : Complexes n X Homographies i=1 −−→ −−−−→ ∆(M Ai ,M Ai+1 ) = = Aide = Précédente = Suivante n X i=1 n X i=1 n X i=1 n X n X −−→ −−−−→ −−→ −−−−→ ∆(N Ai ,N Ai+1 ) + ∆(M N ,Ai Ai+1 ) i=1 n − −−−→ −−→ −−−−→ −−→ X ∆(N Ai ,N Ai+1 ) + ∆(M N , Ai Ai+1 ) i=1 −−→ −−−−→ −−→ − → ∆(N Ai ,N Ai+1 ) + ∆(M N , 0 ) −−→ −−−−→ ∆(N Ai ,N Ai+1 ) . i=1 Plein écran Quitter Retour Table Aire d’un polygone convexe Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Le polygone A1 . . . An est convexe si pour tout entier i = 1, . . . ,n, il est situé tout entier d’un même côté de la droite Ai Ai+1 . Si le point M est intérieur au polygone, ses coordonnées barycentriques réduites (αi ,βi ,γi ) dans le repère (Ai−1 ,Ai ,Ai+1 ) vérifient αi > 0, βi < 0, γi > 0. Il en résulte que les aires algébriques des triangles orientés M Ai−1 Ai et M Ai Ai+1 sont de même signe. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Action du groupe affine sur les triplets de droites (1) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient ∆1 , ∆2 , ∆3 (resp. ∆01 , ∆02 , ∆03 ) trois droites d’un plan affine P en position générale (i.e. deux à deux sécantes et d’intersections distinctes). Montrer qu’il existe une transformation affine f de P dans P et une seule qui vérifie f (∆i ) = ∆0i pour i = 1,2,3. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Que peut-on dire de l’image des points A, B et C ? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Soient A, B et C les points d’intersection de ces droites deux à deux. Une transformation affine f transforme ∆1 en ∆01 , ∆2 en ∆02 et ∆3 en ∆03 si et seulement si f (A) = A0 , f (B) = B 0 , f (C) = C 0 . Or (A,B,C) est un repère affine du plan : il existe donc une application affine f et une seule qui vérifie ces conditions et elle est bijective. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Action du groupe affine sur les triplets de droites (2) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne On suppose maintenant ∆1 , ∆2 et ∆3 , concourantes en un point A. Existe-t-il toujours une transformation affine f qui vérifie f (∆i ) = ∆0i pour i = 1,2,3 ? Si oui, est-elle unique? Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Observez la figure... Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Soient B et C (resp. B 0 et C 0 ) les points d’intersection d’une parallèle à ∆1 avec ∆2 et ∆3 (resp. ∆02 et ∆03 ). Il existe une transformation affine f et une seule qui transforme le repère affine (A,B,C) en le repère affine (A0 ,B 0 ,C 0 ). Cette application transforme les droites ∆2 et ∆3 en les droites ∆02 et ∆03 . Comme toute transformation affine conserve le parallélisme, elle transforme la droite ∆1 en une droite parallèle à la droite B 0 C 0 passant par A0 , c’est-à-dire en la droite ∆01 . Mais une transformation qui vérifie f (∆i ) = ∆0i pour i = 1,2,3 n’est pas unique : toute transformation affine h ◦ f , où h est une homothétie quelconque de centre A0 , possède aussi cette propriété. Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Action du groupe affine sur les triplets de droites (3) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient ∆1 , ∆2 , ∆3 (resp. ∆01 , ∆02 , ∆03 ) trois droites de l’espace affine S de dimension 3. On suppose que deux quelconques de ces droites ne sont jamais coplanaires. Montrer qu’il existe une transformation affine f de S dans S et une seule qui vérifie f (∆i ) = ∆0i pour i = 1,2,3. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Montrez qu’il existe un parallélépipède ABCDEF GH et un seul qui s’appuie sur ces trois droites (voir figure). Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Montrons qu’il existe un parallélépipède ABCDEF GH et un seul qui s’appuie sur ∆1 , ∆2 , ∆3 (voir figure). En effet le point A est obtenu comme intersection de ∆1 et du plan passant par ∆3 dont la direction contient celle de ∆2 . Il est donc uniquement déterminé. De même pour les autres points. Soit A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 G0 H 0 un parallélépipède s’appuyant de même sur ∆01 , ∆02 , ∆03 . Une transformation affine f de S transforme ∆i en ∆0i pour i = 1,2,3 si et seulement si elle transforme ABCDEF GH en A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 G0 H 0 . Il faut et il suffit pour cela qu’elle transforme le repère affine (A,B,E,D) de S en le repère affine (A0 ,B 0 ,E 0 ,D0 ). Or il existe une et une seule transformation affine qui vérifie cette propriété. Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Table Demi-espaces Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit E un espace affine de dimension n et H un hyperplan affine de E. Montrer que la relation R définie sur E \ H par M R N si et seulement si [M N ] ∩ H = ∅ Isométries planes Isométries de l’espace est une relation d’équivalence qui sépare E \ H en exactement deux classes. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution → − Considérez un repère cartésien (O,~e1 , . . . ,~en ), avec O ∈ H et ~e1 , . . . ,~en−1 ∈ H . Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes → − Soit (O,~e1 , . . . ,~en ) un repère cartésien de E, avec O ∈ H et ~e1 , . . . ,~en−1 ∈ H , (M ) (N ) ) ) x1 , . . . ,x(M (resp. x1 , . . . ,x(N n n ) les coordonnées de M (resp. N ) dans ce repère. ) ) Les points M et N sont en relation si et seulement si x(M et x(N sont de même n n signe. En effet tout point du segment [M N ] s’écrit αM + (1 − α)N avec α ∈ [0,1] et (N ) ) = 0, autrement dit si ce point appartient à H si et seulement si αx(M n + (1 − α)xn (M ) (N ) 0 appartient au segment de R d’extrémités xn et xn . On vérifie sans peine que ) ) la relation “ x(M et x(N sont de même signe ” induit une relation d’équivalence n n sur E \ H. On dit que deux points équivalents sont du même côté de H et les deux classes d’équivalence sont appelées demi-espaces (ouverts) délimités par H. Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Régionnement du plan par un repère affine Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit A, B, C un repère affine du plan. Caractériser en termes de coordonnées barycentriques réduites dans ce repère les sept régions du plan délimitées par les droites AB, BC et CA. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit (α, β, γ) les coordonnées barycentriques réduites d’un point M = αA+βB+γC (α+β +γ = 1) dans le repère affine A, B, C. La droite BC a pour équation α = 0 et partage le plan en deux demi-plans : celui qui contient A est caractérisé par α > 0 et l’autre par α < 0. Les droites AB, BC et CA divisent ainsi le plan en 7 régions ouvertes caractérisées par les 7 triplets de signes possibles pour (α, β, γ) (ces trois nombres ne peuvent être simultanément négatifs, puisque leur somme vaut 1). Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite En combien de régions les plans portant les faces d’un tétraèdre non aplati partagentils l’espace? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Les sommets du tétraèdre constituent un repère affine de l’espace. Chacune des régions délimitées par les plans portant les faces est caractérisée par le quadruplet des signes des coordonnées barycentriques réduites d’un point dans ce repère. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Les sommets du tétraèdre constituent un repère affine de l’espace. Chacune des régions délimitées par les plans portant les faces est caractérisée par le quadruplet des signes des coordonnées barycentriques réduites d’un point dans ce repère. Il y a donc 15 régions, correspondant aux 15 quadruplets de signes possibles (24 − 1, puisqu’ici encore les coordonnées barycentriques réduites ne peuvent être simultanément négatives). (On peut distinguer ainsi 4 types de régions selon le nombre de signes + et de signes - parmi les coordonnées barycentriques : faites une figure et distinguez ces régions). Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Cônes convexes Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit C un convexe d’un espace affine E et O un point de E. Montrer que la réunion Γ des demi-droites fermées d’origine O passant par M , pour M décrivant C, est un convexe. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Soient M et N deux points de Γ et P un point du segment [M N ]. Il existe deux −−→ −−→ réels λ ≥ 0 et µ ≥ 0 et deux points M1 et N1 de C tels que OM = λOM1 et −−→ −−→ ON = µON1 , ainsi qu’un réel α ∈ [0,1] tel que P = αM + (1 − α)N , d’où : −→ −−→ −−→ −−→ −−→ OP = αOM + (1 − α)ON = αλOM1 + (1 − α)µON1 . Si αλ = (1 − α)µ = 0, on a P = O. Sinon le réel ν = αλ + (1 − α)µ est strictement −→ αλ −−→ (1 − α)µ −−→ positif. On peut alors écrire : OP = ν OM1 + ON , soit en posant ν ν −→ −−→ αλ α1 = et P1 = α1 M1 + (1 − α1 )N1 , OP = ν OP1 . Le point P1 appartient à C, ν puisque α1 appartient à [0,1] et C est convexe : il en résulte que P appartient à Γ. Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Table Quitter Quadrilatères Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient A, B, C, D quatre points trois à trois non alignés du plan affine P . Montrer qu’il existe quatre réels non nuls α, β, γ, δ, de somme nulle, tels que le vecteur −→ −−→ −→ −−→ αOA + β OB + γ OC + δ OD soit nul pour tout point O de P , et que ces nombres sont uniques à multiplication près par un même scalaire non nul. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques −→ −−→ −→ −−→ Si α + β + γ + δ = 0, le vecteur αOA + β OB + γ OC + δ OD ne dépend pas du point −→ −→ −−→ O. Il est en particulier égal à β AB + γ AC + δ AD. Les points A, B, C n’étant pas −→ −→ → − alignés, les vecteurs AB et AC forment une base du plan vectoriel P . Il existe donc −−→ −→ −→ deux réels λ et µ tels que AD = λAB + µAC. Ces réels vérifient λ 6= 0 (sinon A, C et D seraient alignés), µ 6= 0 (sinon A, B et D seraient alignés), λ + µ 6= 1 (sinon B, C et D seraient alignés). Le quadruplet (1 − λ − µ, λ, µ, − 1) convient donc et il est unique à multiplication près par un réel non nul, puisque la décomposition −−→ −→ −→ du vecteur AD dans la base (AB,AC) est unique. Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Quadrilatères (suite) Accueil Géométrie affine Convexité En déduire, en examinant les signes de ces nombres, que tout quadrilatère est de l’un des trois types suivants : Géométrie euclidienne Isométries planes A B D Isométries de l’espace D Coniques A Géométrie analytique Complexes Homographies Aide D A C C B C B Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Les nombres α, β, γ et δ étant de somme nulle, ils ne peuvent être tous de même signe. À permutation circulaire et à multiplication par -1 près, il reste donc trois possibilités pour leurs signes: (+, + , + , −), (+, − , + , −), (+, + , − , −). Le premier cas correspond à la première figure (un point à l’intérieur du triangle formé par les trois autres : quadrilatère ni convexe ni croisé), le second à la seconde figure (les diagonales AC et BD se coupent : quadrilatère convexe), et le dernier à la dernière figure (les côtés AB et CD se coupent : quadrilatère croisé). Isométries de l’espace A B Coniques D Géométrie analytique D Complexes A Homographies D Aide A Précédente C C B C B Suivante Plein écran Quitter Table Diagonales d’un polygone convexe Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Déterminer le nombre de points d’intersection des diagonales d’un polygone convexe A1 A2 . . . An intérieurs à ce polygone. On supposera que trois diagonales ne sont jamais concourantes. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Combien de sommets faut-il pour déterminer un tel point d’intersection? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Quatre sommets distincts déterminent un unique quadrilatère convexe et donc un unique point d’intersection intérieur au polygone. Réciproquement tout point d’intersection détermine uniquement 4 sommets distincts (les extrémités des diagonales dont il constitue l’intersection). Il y a doncautant de points que de parties n à 4 éléments dans un ensemble à n éléments, i.e. . 4 Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Ensemble des milieux Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soient C et C 0 deux convexes non vides d’un espace affine E. Montrer que l’ensemble Γ des milieux des segments M M 0 , où M parcourt C et M 0 parcourt C 0 , est un convexe. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Accueil Géométrie affine Convexité Il suffit de montrer que si M1 et M2 (resp. M10 et M20 ) sont deux points de C (resp. C 0 ), le point ! ! 1 1 0 1 0 1 α M1 + M1 + (1 − α) M2 + M2 2 2 2 2 appartient à Γ pour tout α ∈ [0,1]. Mais ce point s’écrit aussi : Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique 1 1 (αM1 + (1 − α)M2 ) + (αM10 + (1 − α)M20 ) 2 2 et αM1 + (1 − α)M2 (resp. αM10 + (1 − α)M20 ) appartient à C (resp. C 0 ) puisque ces ensembles sont convexes. Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Milieux (suite) Accueil Géométrie affine Décrire Γ quand C et C 0 sont deux segments AB et CD. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Les milieux E, F , G, H des segments AC, BC, BD et BC forment un pa−−→ −→ rallélogramme, puisque HG = EF = 1 −→ AB. Ces quatre points, ainsi donc 2 que leur enveloppe convexe Γ0 (le parallélogramme plein) sont donc inclus dans Γ. Pour montrer que tout 1 1 point K = M + M 0 , avec M = 2 2 αA+(1−α)B et M 0 = γC +(1−γ)D (0 ≤ α,γ ≤ 1) appartient à Γ0 , il suffit d’écrire : ! ! 1 0 1 1 0 1 K = α A + M + (1 − α) B + M 2 2 2 2 ! !! 1 1 1 1 = α γ A + C + (1 − γ) A + D 2 2 2 2 ! !! 1 1 1 1 +(1 − α) γ B + C + (1 − γ) B + D 2 2 2 2 = αγE + α(1 − γ)H + (1 − α)γF + (1 − α)(1 − γ)G . Plein écran Quitter Retour Table Une propriété des triangles Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Soit, dans le plan affine E, T un triangle et T 0 un triangle image de T par une translation ou une homothétie de rapport positif. Montrer que l’intersection de T et de T 0 est : • soit vide ; • soit réduite à un point ; • soit un triangle image de T par une translation ou une homothétie de rapport positif. Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution −→ −→ Considérez un repère cartésien (A,AB,AC), où A, B, C sont les sommets du triangle et écrivez des inégalités caractérisant les points de T et de T 0 . Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Soient A, B, C les sommets du triangle. Un point M de coordonnées (x,y) dans −→ −→ le repère cartésien (A,AB,AC) appartient à T si et seulement si x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1. Il existe deux réels réels a et b et un réel c > 0 tels que le triangle T 0 est caractérisé par les inégalités x ≥ a, y ≥ b, (x − a) + (y − b) ≤ c. L’intersection T ∩ T 0 est alors caractérisée par les inégalités x ≥ max(a,0), y ≥ max(b,0), x + y ≤ min(a + b + c,1). Elle est donc : • vide si max(a,0) + max(b,0) > min(a + b + c,1) ; • réduite à un point si max(a,0) + max(b,0) = min(a + b + c,1) ; • un triangle image de T par une translation ou une homothétie de rapport positif si max(a,0) + max(b,0) < min(a + b + c,1). Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Le théorème de Carathéodory (1) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soient A0 , A1 , · · · ,Am m + 1 points affinement dépendants d’un espace affine E. Montrer qu’il existe m + 1 réels α0 , α1 , · · · ,αm de somme nulle, non tous nuls, tels m −−→ P que le vecteur αi OAi soit nul pour tout point O de E. i=0 Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Dire que les points A0 ,A1 , · · · ,Am sont affinement dépendants signifie que le système −−−→ −−−→ (A0 A1 , . . . ,A0 Am ) est lié. Il existe donc m réels α1 , · · · ,αm non tous nuls tels que m m m −−−→ P P P le vecteur αi A0 Ai soit nul. Posons α0 = − αi . Comme αi = 0, le vecteur i=1 i=1 i=0 m −−→ P αi OAi ne dépend pas du point O de E ; en prenant O = A0 , on voit qu’il est i=0 m −−−→ P égal à αi A0 Ai , qui est nul. i=1 Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Le théorème de Carathéodory (2) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne En déduire que tout barycentre à coefficients tous positifs de m+1 points A0 , A1 , · · · ,Am affinement dépendants d’un espace affine E peut s’écrire comme barycentre à coefficients tous positifs de m de ces points. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Soit M un barycentre à coefficients tous positifs des m + 1 points A0 , A1 , · · · ,Am : Accueil m X Géométrie affine i=0 Convexité Géométrie euclidienne −−→ − → λi M Ai = 0 , Coniques λi > 0. i=0 Ces points étant affinement dépendants, il existe m + 1 réels α0 , α1 , · · · , αm de m −−→ P somme nulle, non tous nuls, tels que le vecteur αi M Ai soit nul, d’où : i=0 Isométries planes Isométries de l’espace λi ≥ 0 pour tout i = 1, . . . , m, m X m X −−→ − → (λi − tαi )M Ai = 0 pour tout réel t. i=0 Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Soit I l’ensemble des indices i tels que αi soit strictement positif (cet ensemble n’est λi pas vide, puisque les αi sont de somme nulle et ne sont pas tous nuls) et t = min . i∈I αi P P m m On a alors λi − tαi ≥ 0 pour tout i = 0, . . . ,m, i=0 (λi − tαi ) = i=0 λi > 0 et λj λj − tαj = 0 si t = . Le point M s’écrit donc comme barycentre à coefficients αj tous positifs des points Ai , i 6= j. Suivante Plein écran Quitter Suite Le théorème de Carathéodory (3) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne En déduire le théorème de Carathéodory : tout point de l’enveloppe convexe d’une partie d’un espace affine de dimension n est barycentre à coefficients tous positifs de n + 1 points de cette partie. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes On sait que l’enveloppe convexe d’une partie A de E est l’ensemble des barycentres à coefficients tous positifs de points de A. Tout point M de cette enveloppe convexe s’écrit donc comme barycentre à coefficients tous positifs de m points de A, pour un certain entier m. Comme m points d’un espace affine de dimension n sont affinement dépendants si m > n + 1, un raisonnement par récurrence immédiat permet de montrer que M s’écrit comme barycentre à coefficients tous positifs d’au plus n + 1 de ces points. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Application Application Accueil Géométrie affine Convexité En déduire que l’enveloppe convexe d’un compact non vide d’un espace affine de dimension finie est compacte. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Soit K un compact non vide de E. Notons Accueil n Σn = {(λ0 , . . . , λn ) ∈ [0,1] | et ϕ l’application de K n+1 × Σn dans E définie par Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies λi = 1} i=0 Géométrie affine Convexité m X ϕ(A0 , . . . ,An ,λ0 , . . . ,λn ) = n X λ i Ai . i=0 Le théorème de Carathéodory implique que l’enveloppe convexe de K est l’image de ϕ. Mais ϕ est continue et K n+1 × Σn est compact. L’image d’un compact par une application continue étant compacte, il en résulte que l’enveloppe convexe de K est compacte. Aide Précédente Remarque : L’enveloppe convexe d’un fermé n’est par contre pas nécessairement fermée. Déterminez, pour vous en convaincre, l’enveloppe convexe de la réunion d’une droite D et d’un point O n’appartenant pas à cette droite. Suivante Plein écran Quitter Solution L’enveloppe convexe est la bande du plan comprise entre la droite D et la parallèle à D passant par O, cette dernière droite exclue à l’exception du point O. Cette enveloppe convexe n’est donc pas fermée, alors que la réunion de D et de O l’est. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes 0 Homographies D Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Projection sur un convexe fermé Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit C un convexe fermé non vide d’un espace affine euclidien E. Montrer que pour tout point M de E il existe un unique point P de C réalisant la distance de M à C, i.e. vérifiant M P = d(M,C) = inf{M Q | Q ∈ C}. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Existence : Soit N un point de C et K l’intersection de C et de la boule fermée de centre M et de rayon M N . On a clairement inf{M Q | Q ∈ C} = inf{M Q | Q ∈ K}. Mais K est compact et la fonction Q 7→ M Q est continue. Cette fonction atteint donc sa borne inférieure sur K. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Unicité : Supposons qu’il existe deux points distincts P1 et P2 de C vérifiant M P1 = M P2 = inf{M Q | Q ∈ C}. Le triangle M P1 P2 serait isocèle en M et le milieu I de P1 P2 appartiendrait à C, puisque C est convexe, et vérifierait Complexes Homographies Aide M I 2 = M P12 − IP12 < M P12 , ce qui contredit l’hypothèse. Le point P de C vérifiant M P = d(M,C) = inf{M Q | Q ∈ C} est donc unique. On l’appelle projeté de M sur le convexe C. Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite −−→ −→ Montrer que le projeté P de M sur C est l’unique point de C vérifiant P M · P Q ≤ 0 pour tout point Q de C. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit Q un point de C et R un point du segment [P Q]. Il existe donc ε ∈ [0,1] tel que −→ −→ P R = εP Q. En utilisant l’inégalité M P 2 ≤ M R2 et en faisant varier ε, montrez −−→ −→ que P M · P Q ≤ 0. Pour démontrer l’unicité du point P vérifiant cette relation, −−→ −−→ supposez que P1 et P2 la vérifient et exprimez P1 P22 en fonction de P1 M · P1 P2 et −−→ −−→ P2 M · P2 P1 . Que peut-on dire du signe de ces produits scalaires? Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit Q un point de C et R un point du segment [P Q]. Il existe donc ε ∈ [0,1] tel −→ −→ que P R = εP Q. Comme R appartient à C, on a : −−→ −→ −−→ −→ M P 2 ≤ M R2 = (M P + P R)2 = M P 2 + 2εM P · P Q + ε2 P Q2 , −−→ −→ −−→ −→ d’où 0 ≤ 2εM P · P Q + ε2 P Q2 et, pour ε > 0, 0 ≤ 2M P · P Q + εP Q2 . En faisant −−→ −→ −−→ −→ tendre ε vers 0, on obtient 0 ≤ M P · P Q, i.e. P M · P Q ≤ 0. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies −−→ −−→ −−→ −−→ Soient P1 et P2 deux points de C vérifiant P1 M · P1 Q ≤ 0 (resp. P2 M · P2 Q ≤ 0) pour tout point Q de C. En prenant Q = P2 (resp. Q = P1 ) dans cette inégalité, −−→ −−→ −−→ −−→ on obtient P1 M · P1 P2 ≤ 0 et P2 M · P2 P1 ≤ 0, d’où, en faisant la somme −−→ −−→ −−→ P1 P22 = (P1 M + M P2 ) · P1 P2 ≤ 0 Aide i.e. P1 = P2 . Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Montrer que la projection p sur un convexe fermé C réduit les distances : p(M )p(N ) ≤ M N pour tout couple (M,N ) de points de E. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Donner une condition nécessaire et suffisante sur le convexe C pour que p soit affine. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Soient M1 , M2 deux points de E et P1 , P2 leurs projetés sur C. Les inégalités −−−→ −−→ −−→ −−−→ M1 P1 · P1 P2 ≥ 0 et P1 P2 · P2 M2 ≥ 0 (appliquez la propriété précédente avec Q = P2 et Q = P1 ) montrent que : −−−→ −−→ −−−→ M1 M22 = (M1 P1 + P1 P2 + P2 M2 )2 −−−→ −−−→ ≥ M1 P12 + P1 P22 + P2 M22 + 2M1 P1 · P2 M2 −−−→ −−−→ ≥ (M1 P1 + P2 M2 )2 + P1 P22 ≥ P1 P22 . La projection p diminue donc les distances. Complexes Homographies Aide Précédente Elle est affine si et seulement si C est un sous-espace affine de E : la condition est nécessaire, puisque l’image p(E) de la projection sur C est égale à C et que l’image d’une application affine est un sous-espace affine ; elle est suffisante, puisque si C est un sous-espace affine de E, la projection sur C n’est autre que la projection orthogonale sur ce sous-espace. Suivante Plein écran Quitter Table Séparation de convexes Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient C1 et C2 deux convexes compacts disjoints d’un espace affine euclidien E. Montrer qu’il existe un hyperplan H de E qui sépare strictement C1 de C2 , i.e. tel que C1 soit inclus dans l’un des deux demi-espaces ouverts délimités par H et C2 dans l’autre. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Soient P1 ∈ C1 et P2 ∈ C2 des points réalisant la distance de C1 à C2 : P1 P2 = min{Q1 Q2 | Q1 ∈ C1 , Q2 ∈ C2 } . Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne (On expliquera pourquoi de tels points existent.) Montrer que l’hyperplan médiateur de P1 P2 convient. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution La fonction (Q1 , Q2 ) 7→ Q1 Q2 de C1 × C2 dans [0, + ∞[ est continue. Elle atteint donc son minimum sur le compact C1 × C2 . Soient P1 ∈ C1 et P2 ∈ C2 des points réalisant ce minimum : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace P1 P2 = min{Q1 Q2 | Q1 ∈ C1 , Q2 ∈ C2 } et H1 (resp. H2 ) l’hyperplan orthogonal à P1 P2 passant par P1 (resp. P2 ). P1 (resp. P2 ) est alors le projeté de P2 (resp. de P1 ) sur C1 (resp. C2 ) et C1 (resp. C2 ) est situé tout entier du côté de H1 (resp. H2 ) qui ne contient pas P2 (resp. P1 ). L’hyperplan médiateur H de P1 P2 est parallèle à P1 et P2 et sépare strictement C1 et C2 . Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Hyperplans d’appui Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Montrer que pour tout point M de la frontière d’un convexe fermé C d’un espace affine euclidien E il existe un hyperplan affine H de E vérifiant : • M appartient à H ; • C est situé tout entier d’un même côté de H. Un tel hyperplan est appelé hyperplan d’appui de C en M . Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Accueil Géométrie affine Convexité Considérez une suite (Mn ) de points de E \ C convergeant vers M et leurs projetés −−−→ Pn Mn , Pn sur C. Montrez que si ~u est une valeur d’adhérence de la suite ~un = Pn Mn l’hyperplan passant par M de vecteur normal ~u est un hyperplan d’appui de C en M. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soit (Mn ) une suite de points de E \ C convergeant vers M (une telle suite existe puisque C est fermé et que M appartient à la frontière de C). Soit Pn le projeté de −−−→ Pn M n . La suite Pn converge vers M , puisque M Pn ≤ M Mn (la Mn sur C et ~un = Pn M n −−−→ −−→ projection p sur C diminue les distances et p(M ) = M ) et Pn Mn · Pn Q ≤ 0 pour tout point Q de C, ce qui équivaut à : −−→ ~un · Pn Q ≤ 0 pour tout point Q de C (∗) Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Soit ~u une valeur d’adhérence de la suite (~un ) (cette suite est bornée, puisque tous les vecteurs ~un sont unitaires). En passant à la limite dans la relation (∗), on obtient −−→ ~u · M Q ≤ 0 pour tout point Q de C, ce qui signifie que C se trouve tout entier d’un même côté de l’hyperplan normal à ~u passant par M . Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Remarque Table Remarque : Si dim(E) = 2 et si la frontière de C est une courbe lisse, l’hyperplan d’appui en M est unique : c’est la tangente en M à la frontière de C. Dans le cas général, il peut exister une infinité d’hyperplans d’appui en M . Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Génération par les demi-espaces Accueil Géométrie affine Convexité Montrer que tout convexe fermé d’un espace affine euclidien est l’intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soit C un convexe fermé d’un espace affine euclidien E. L’intersection C 0 des demiespaces fermés contenant C contient évidemment C. Montrons que le complémentaire de C 0 dans E contient le complémentaire de C : l’assertion en résultera. Soit −−→ −→ M ∈ E \ C et P son projeté sur C. L’inégalité P M · P Q ≤ 0 pour tout point −−→ Q de C montre que C est inclus dans le demi-espace fermé de E orthogonal à P M passant par P qui ne contient pas M . Ce demi-espace contient C 0 et M ne lui appartient pas : M appartient donc au complémentaire de C 0 . Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Remarque Table Accueil Géométrie affine Soit C = E, aucun demi-espace de E ne contient C et C 0 = E. La seconde partie de la démonstration montre que si C 6= E, il existe au moins un demi-espace fermé de E contenant C. Tout convexe fermé de E distinct de E est donc inclus dans un demi-espace. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques On peut également remarquer que la propriété démontrée est purement affine : la démonstration donnée ici utilise la structure euclidienne de E, mais tout espace affine de dimension finie peut être muni d’une structure euclidienne et le résultat ne dépend pas du choix de cette structure. Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Domaines de Voronoï Accueil Géométrie affine Convexité Soient A1 , . . . , An n points distincts du plan affine euclidien E. Montrer que les domaines Vi (i = 1, . . . ,n) définis par : Géométrie euclidienne Vi = { M ∈ E | M Ai ≤ M Aj pour tout j = 1, . . . ,n } Isométries planes Isométries de l’espace sont convexes. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Que peut-on dire de l’ensemble des points M vérifiant M Ai ≤ M Aj ? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Pour tout i et tout j, l’ensemble des points M vérifiant M Ai ≤ M Aj est le demiplan fermé délimité par la médiatrice de Ai Aj contenant Ai . Un demi-plan est convexe : Vi est donc convexe comme intersection de convexes. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Distances aux points d’un repère affine Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit E un espace affine euclidien de dimension n et A0 , A1 , . . . ,An un repère affine de E. Montrer qu’un point M de E est entièrement déterminé par ses distances aux points de ce repère : M Ai = N Ai pour tout i = 0, 1, . . . ,n implique M = N . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Supposons qu’il existe deux points distincts M et N de E tels que M Ai = N Ai pour tout i = 0, 1, . . . ,n. Les n + 1 points A0 , . . . ,An appartiendraient tous à l’hyperplan médiateur de M N , ce qui contredirait le fait que A0 , A1 , . . . ,An est un repère affine de E. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Remarque : l’application M 7→ (M A0 , . . . ,M An ) est donc injective, mais elle n’est pas surjective : on ne peut se donner arbitrairement les distances M Ai . Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Fonction scalaire de Leibniz Accueil Géométrie affine Soit (Ai ,λi )i=1,...,n un système de points pondérés d’un espace affine euclidien E de Convexité poids total Géométrie euclidienne n X Isométries planes ϕ(M ) = Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies λi non nul. On définit une fonction ϕ de E dans R par i=1 n X λi M A2i . i=1 Montrer que ϕ(M ) = n X λi M G2 + ϕ(G) i=1 où G est le barycentre du système pondéré (Ai ,λi )i=1,...,n . Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Soit G le barycentre du système pondéré (Ai ,λi )i=1,...,n . On a : Accueil ϕ(M ) = Géométrie affine Convexité = Géométrie euclidienne Isométries planes = Isométries de l’espace i=1 n X i=1 n X λi M A2i −−→ −−→2 λi M G + GAi n n −−→ X −−→ X λi M G2 + 2M G · λi GAi + λi GA2i i=1 n X Coniques = Géométrie analytique i=1 i=1 λi M G2 + ϕ(G) i=1 Complexes Homographies n X puisque n X −−→ − → λi GAi = 0 par définition du barycentre. i=1 Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite En déduire les lignes de niveau de la fonction ϕ : Accueil Lk = {M ∈ E | λi M A2i = k} i=1 Géométrie affine Convexité n X pour tout réel k. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution L’égalité obtenue précédemment montre que ϕ(M ) = k si et seulement si Accueil M G2 = k − ϕ(G) Géométrie affine Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Homographies Aide λi Il en résulte que Lk est : k − ϕ(G) • vide si X < 0; n λi i=1 Géométrie analytique Complexes . i=1 Convexité Géométrie euclidienne n X • réduit au point G si k − ϕ(G) n X = 0; λi i=1 • une sphère de centre G si k − ϕ(G) n X > 0. λi i=1 Précédente Suivante Application : les cercles d’Apollonius. Plein écran Quitter Table Cercles d’Apollonius Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soient A et B deux points distincts du plan affine euclidien E et k un réel strictement positif différent de 1. Déterminer l’ensemble Ck des points M de E dont le rapport des distances à A et B est égal à k : Ck = {M ∈ E | MA = k} . MB Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Première méthode : commencez par montrer qu’il existe exactement deux points K −−→ −−→ et L de la droite AB appartenant à Ck , puis évaluez le produit scalaire M K · M L pour M ∈ Ck . Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Seconde méthode : utilisez le résultat de l’exercice précédent. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace −−→ −−→ MA Si M appartient à la droite AB, l’égalité = k équivaut à M A = k M B MB −−→ −−→ ou M A = −k M B. On obtient ainsi exactement deux points K et L, qui sont les barycentres des systèmes pondérés ((A,1)),(B,k)) et ((A,1),(B, − k)). On a −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ M A − kM B M A + k M B −−→ , ML = , d’où alors, pour tout point M de E, M K = 1+k 1−k −−→ −−→ M A2 − k 2 M B 2 MK · ML = . Il en résulte que M appartient à Ck si et seulement 1 − k2 −−→ −−→ si M K · M L = 0, i.e. si et seulement si M appartient au cercle de diamètre KL. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Autre méthode Quitter Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace MA La relation = k s’écrit aussi ϕ(M ) = 0, où ϕ(M ) = M A2 − k 2 M B 2 . En MB appliquant le résultat de l’exercice précédent, on voit que Ck est un cercle de centre G, où G est le barycentre du système pondéré ((A,1),(B, − k 2 )). Les points K et L appartiennent à Ck et G appartient à la droite AB : Ck est donc le cercle de diamètre KL. On peut vérifier directement que G est le milieu de KL : ! ! 1 −k 2 1 1 k 1 1 −k A + B = A + B + A + B . 1 − k2 1 − k2 2 1+k 1+k 2 1−k 1−k Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Montrer que, pour tout réel k > 0, k 6= 1, le cercle Ck est orthogonal au cercle de diamètre AB. En déduire qu’il est orthogonal à tout cercle passant par A et B. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Soit I le milieu de AB. La puissance de I par rapport au cercle Ck est égale à : −→ − → IK · IL = Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques ! ! → → 1 − k −→ 1 − −k −→ IA + IB · IA + IB 1+k 1+k 1−k 1−k IA2 − k 2 IB 2 = 1 − k2 = IA2 = IB 2 qui est aussi le rayon du cercle de diamètre AB. Ce cercle est donc orthogonal à Ck . Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine Convexité Il en résulte que la puissance du centre G de Ck par rapport au cercle de diamètre AB est égale au rayon de Ck . Mais cette puissance est aussi la puissance de G par −→ −−→ rapport à tout cercle passant par A et B, puisqu’elle est égale à GA · GB. Tous les cercles Ck sont donc orthogonaux à tous les cercles passant par A et B (ces deux familles de cercles constituent des faisceaux orthogonaux). Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Le triangle orthique Accueil Géométrie affine Convexité Soit ABC un triangle du plan affine euclidien et A0 , B 0 , C 0 les pieds des hauteurs. Montrer que les côtés du triangle ABC sont des bissectrices du triangle A0 B 0 C 0 . Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Montrer que la somme des angles de droites (A0 A,A0 B 0 ) + (A0 A,A0 C 0 ) est nulle (que peut-on dire des cercles de diamètres AB et AC ?). Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Les points A, A0 , B, B 0 (resp. A, A0 , C, C 0 ) sont cocycliques, puisqu’ils appartiennent au cercle de diamètre AB (resp. AC). On a donc : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace (A0 A,A0 B 0 ) + (A0 A,A0 C 0 ) = (BA,BB 0 ) + (CA,CC 0 ) = (BA,AC) + (AC,BB 0 ) + (CA,AB) + (AB,CC 0 ) = 0 (égalités d’angles de droites), ce qui montre que AA0 est une bissectrice de l’angle en A0 du triangle A0 B 0 C 0 . Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Remarque Table Remarque : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Si le triangle ABC a tous ses angles aigus, les hauteurs AA0 , BB 0 et CC 0 sont les bissectrices intérieures du triangle A0 B 0 C 0 ; si l’un des angles du triangle ABC est obtus, deux des hauteurs de ABC sont des bissectrices extérieures de A0 B 0 C 0 , l’autre une bissectrice intérieure. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Pour une application de cet exercice, on pourra étudier le problème de Fagnano (trajectoire de billard dans le triangle). Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Bissectrices et cercle circonscrit Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Les bissectrices intérieure et extérieure en A d’un triangle ABC non isocèle en A recoupent le cercle Γ circonscrit à ce triangle respectivement en I et J. Montrer que les points I et J appartiennent à la médiatrice de BC. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution −−→ −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ Comparer les angles de vecteurs (OB,OI) et (OI,OC) (resp. (OB,OJ) et (OJ,OC)) où O est le centre du cercle circonscrit Γ. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Les angles orientés de droites (AB,AI) et (AI,AC) (resp. (AB,AJ) et (AJ,AC)) −−→ −→ −→ −→ sont égaux. L’égalité (OB,OI) = 2(AB,AI) = 2(AI,AC) = (OI,OC) d’angles −−→ −→ orientés de vecteurs en résulte par le théorème de l’angle inscrit. De même (OB,OJ) = −→ −→ (OJ,OC). Les points I et J appartiennent donc à la bissectrice intérieure en O du triangle isocèle OBC, qui est aussi la médiatrice de BC. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Le pivot Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit ABC un triangle et A0 , B 0 , C 0 trois points situés respectivement sur les côtés BC, CA et AB de ce triangle et différents des sommets. Montrer que les cercles circonscrits aux trois triangles AB 0 C 0 , BC 0 A0 et CA0 B 0 ont un point commun. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Soit I le point d’intersection des cercles circonscrits aux triangles AB 0 C 0 et BC 0 A0 . Comparer les angles (IA0 ,IB 0 ) et (CA0 ,CB 0 ). Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Si les cercles circonscrits aux triangles AB 0 C 0 et BC 0 A0 se coupent en un second point I, les égalités : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies (IA0 ,IB 0 ) = = = = = (IA0 ,IC 0 ) + (IC 0 ,IB 0 ) (BA0 ,BC 0 ) + (AC 0 ,AB 0 ) (BC,BA) + (AB,AC) (CB,CA) (CA0 ,CB 0 ) montrent que les points I, A0 , B 0 et C sont cocycliques. Si ces deux cercles sont tangents en C 0 , les angles (B 0 C 0 ,B 0 C) et (A0 C 0 ,A0 C) sont droits et le cercle de diamètre CC 0 , qui est le cercle circonscrit à CA0 B 0 , passe par C 0. Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Cercles tangents Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient, dans le plan affine euclidien, C1 , C2 , C3 trois cercles de centres respectifs O1 , O2 , O3 tangents extérieurement deux à deux. Montrer que les trois tangentes communes à deux de ces cercles en leur point de contact sont concourantes. Que représente leur point de concours pour le triangle O1 O2 O3 ? Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soient T1 , T2 , T3 les points de contact de ces cercles. Le point d’intersection I de deux des tangentes considérées est équidistant de T1 , T2 , T3 , donc des côtés du triangle O1 O2 O3 , puisque ces côtés sont perpendiculaires aux tangentes. Il est donc centre d’un cercle tangent aux trois côtés du triangle O1 O2 O3 . Ce dernier cercle est le cercle inscrit dans le triangle O1 O2 O3 , puisque les points T1 , T2 , T3 appartiennent aux segments O2 O3 , O3 O1 , O1 O2 . La troisième tangente passe aussi par ce point. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Réciproquement, montrer que pour tout triangle O1 O2 O3 il existe exactement un triplet de cercles C1 , C2 , C3 de centres O1 , O2 , O3 tangents extérieurement deux à deux. Indiquer une construction de ces cercles. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Le point de concours I des trois tangentes est le centre du cercle inscrit dans le triangle O1 O2 O3 et les points de contact T1 , T2 , T3 de ces cercles deux à deux sont les points de contact de ce cercle inscrit avec les côtés du triangle, ce qui détermine entièrement les cercles C1 , C2 , C3 . Pour les construire, il suffit donc de construire le centre I du cercle inscrit (intersection des bissectrices intérieures), puis ses projections T1 , T2 , T3 sur les côtés. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Trois cercles Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soient, dans le plan affine euclidien, C1 , C2 , C3 trois cercles tangents deux à deux. Montrer que les trois tangentes communes à deux de ces cercles sont concourantes ou parallèles. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Soit O le point d’intersection de deux de ces tangentes (si elles ne sont pas toutes parallèles). Que peut-on dire de la puissance de O par rapport à ces cercles? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Si ces trois tangentes ne sont pas parallèles, le point O d’intersection de deux de ces tangentes a même puissance par rapport aux trois cercles (on dit que O est le centre radical des trois cercles). Il appartient donc à la troisième tangente commune à deux de ces cercles. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite En déduire que si ces trois tangentes ne sont pas parallèles, il existe un cercle orthogonal aux trois cercles C1 , C2 , C3 . Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Le cercle de centre O passant par un des points de contact de ces tangentes passe par les deux autres, puisque la puissance de O par rapport à chacun de ces cercles est OT12 = OT22 = OT32 . Ce cercle est donc orthogonal aux trois cercles. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Cas particulier Table Les trois tangentes communes à deux de ces cercles sont parallèles si et seulement si leurs centres sont alignés. La droite des centres est dans ce cas orthogonale aux trois cercles. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Le théorème des trois tangentes Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit ABC un triangle du plan affine euclidien. Le cercle exinscrit dans l’angle en A touche les côtés BC, CA et AB en P , Q et R. Montrer que la somme AR + AQ est égale au périmètre AB + BC + CA du triangle ABC. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Il suffit de remarquer que AR = AB +BR, AQ = AC +CQ, BR = BP , CQ = CP (puisque la réflexion d’axe BIA (resp. CIA ) échange BR et BP (resp. CQ et CP )), BC = BP + CP (puisque P appartient au segment BC). Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Accueil Géométrie affine En déduire que si l’on mène d’un point A extérieur à un cercle Γ deux tangentes AR et AQ à ce cercle et si la tangente à Γ en un point P situé du même côté que A de la droite RQ coupe ces deux tangentes en B et C, le périmètre du triangle ABC est constant (i.e. ne dépend pas de la position de P sur l’arc RQ). Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Il suffit de remarquer que Γ est le cercle exinscrit dans l’angle en A du triangle ABC et d’appliquer le résultat précédent : le périmètre du triangle ABC est AB + BC + CA = AR + AQ = 2AR = 2AQ, puisque AR = AQ. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Rayons des cercles inscrit et exinscrits Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit ABC un triangle, a = BC, b = CA, c = AB les longueurs de ses côtés, 2p = a + b + c son périmètre. Exprimer l’aire S de ce triangle en fonction de p et du rayon r du cercle inscrit. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Soit I le centre du cercle inscrit. L’aire S du triangle ABC est égale à la somme des aires des triangles BIC, CIA et AIB. Ces trois triangles ont pour hauteur r r et pour bases a, b, c. La somme de leurs aires est donc S = (a + b + c) = rp. 2 Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Donner de même des expressions de S faisant intervenir les rayons rA , rB , rC des cercles exinscrits. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit IA le centre du cercle exinscrit dans l’angle en A, P , Q, R les points de ce cercle avec les côtés BC, CA et AB. En écrivant que la somme des aires des triangles AIA R et AIA Q est égale à la somme de l’aire S du triangle ABC et des aires des triangles BIA R, BIA P , CIA P et CIA Q et en remarquant que BP = BR, rA CP = CQ, on obtient S = (b + c − a) = rA (p − a). 2 Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite En déduire la relation : Accueil 1 1 1 1 = + + . r rA rB rC Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Des relations : S = rp = rA (p − a) = rB (p − b) = rA (p − c) Accueil Géométrie affine on tire : Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace d’où : 1 p = , r S p−a 1 = , rA S p−b 1 = , rB S p−c 1 = , rC S 1 1 3p − a − b − c p 1 1 + + = = = . rA rB rC S S r Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Un problème de maximisation Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient C et C 0 deux cercles sécants de centres O et O0 , A un de leurs points d’intersection. Une droite D passant par A recoupe C et C 0 en deux points M et M 0 situés de part et d’autre de A. Déterminer la position de la droite D qui maximise la distance M M 0 et expliciter la valeur maximale de cette distance. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Soient I et I 0 les milieux des segments AM et AM 0 . Montrez que II 0 ≤ OO0 . Dans quel cas a-t-on égalité? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Les droites OI et O0 I 0 sont perpendiculaires à D (ce sont les médiatrices des segments AM et AM 0 ). Les points I et I 0 sont donc les projetés orthogonaux des points O et O0 sur la droite D. Une projection orthogonale diminuant les distances, il en résulte que II 0 ≤ OO0 , avec égalité si et seulement si D est parallèle à OO0 . La distance M M 0 = 2II 0 est donc toujours inférieure ou égale à 2OO0 et lui est égale si et seulement si D est parallèle à OO0 . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Le problème de Fermat Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit P QR un triangle équilatéral. Montrer que la fonction qui à un point M du plan associe la somme de ses distances aux trois côtés du triangle P QR est constante à l’intérieur de ce triangle. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Accueil Géométrie affine Convexité Soit M un point intérieur au triangle P QR, A, B et C ses projections orthogonales sur les côtés QR, RP et P Q. L’aire du triangle P QR est la somme des aires des triangles M P Q, M QR et M RP . Ces triangles ont tous trois pour base le côté du triangle équilatéral. La somme de leurs hauteurs, qui est aussi la somme M A+M B+M C des distances de M aux trois côtés du triangle, est donc constante. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit M un point intérieur au triangle P QR, A, B et C ses projections orthogonales sur les côtés QR, RP et P Q. Montrer que M est l’unique point du plan minimisant la somme N A + N B + N C des distances d’un point N aux trois points A, B et C. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques La solution du problème de minimisation est à rechercher dans le triangle ABC. En effet si un point N est extérieur à ce triangle, il est situé dans un demi-plan délimité par un des côtés et ne contenant pas le sommet opposé ; sa projection orthogonale N 0 sur ce côté vérifie alors N 0 A + N 0 B + N 0 C < N A + N B + N C. Or tout point M 0 du triangle P QR vérifie M 0 A0 + M 0 B 0 + M 0 C 0 = M A + M B + M C, où A0 , B 0 , C 0 sont les projections orthogonales de M 0 sur les droites QR, RP et P Q. Les inégalités M 0 A0 ≤ M 0 A, M 0 B 0 ≤ M 0 B, M 0 C 0 ≤ M 0 C montrent alors que M A + M B + M C ≤ M 0 A + M 0 B + M 0 C, l’égalité ne pouvant être atteinte que si M 0 est situé sur les droites M A, M B et M C, i.e. égal à M . Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Remarque Quitter Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne On peut montrer que si ABC est un triangle dont tous les angles sont inférieurs à 2π/3, il existe un unique point M intérieur à ABC à partir duquel on voit les trois côtés AB, BC et CA sous le même angle, i.e. sous un angle de 2π/3. Le point M est alors l’unique point du plan minimisant la somme des distances M A + M B + M C. On peut en effet reconstituer le triangle équilatéral P QR à partir du triangle ABC en menant par A, B et C les perpendiculaires à M A, M B et M C. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Question : comment construit-on ce point M ? Solution Accueil Géométrie affine Il suffit de prendre l’intersection des arcs capables lieux des points M tels que −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ les angles (M B,M C) (resp. (M C,M A), (M A,M B)) valent 2π/3. Les cercles portant ces arcs sont les cercles circonscrits aux triangles équilatéraux construits à l’extérieur du triangle ABC sur les côtés de ce triangle. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Table Quitter Arcs interceptés par deux sécantes Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit Γ un cercle du plan affine euclidien P , O son centre et M un point de P n’appartenant pas à Γ. Deux sécantes issues de M coupent le cercle respectivement en A et B, et C et D. Démontrer l’égalité : −−→ −−→ −→ −→ 2(M A,M C) = (OB,OD) − (OC,OA) . Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Suite Indication : Accueil Géométrie affine Décomposez (M A,M C) en (M A,AD) + (AD,M C). Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Suite On a, par la relation de Chasles et le théorème de l’angle inscrit : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace 2(M A,M C) = 2(M A,AD) + 2(AD,M C) = 2(AB,AD) + 2(DA,DC) −−→ −−→ −→ −→ = (OB,OD) + (OA,OC) −−→ −−→ −→ −→ = (OB,OD) − (OC,OA) (égalités d’angles orientés de vecteurs). Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Remarque Suite Remarque : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Cette égalité d’angles orientés se traduit différemment en termes d’angles géométriques suivant la position du point par rapport au cercle : si M est extérieur à Γ, l’angle Ø × Ø géométrique AM C est la demi-différence des angles au centre AOC et BOD, si M Ø est intérieur à Γ, l’angle géométrique AM B en est la demi-somme. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Accueil Géométrie affine Soient A et B deux points d’un cercle de centre O et de rayon R. On construit sur le diamètre OA de ce cercle un point C extérieur au cercle tel que la droite CB recoupe le cercle en un point M vérifiant M C = R. Montrer que la mesure de × × l’angle géométrique ACB est le tiers de la mesure de l’angle géométrique AOB. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Remarque La première question de l’exercice nous apprend que : −→ −−→ −−→ −→ 2(CA,CB) = (OA,OB) − (OM ,OC) . Accueil Géométrie affine Géométrie euclidienne Le triangle CM O étant isocèle en M , il en résulte −−→ −→ −→ −−→ (OM ,OC) = (CA,CB) Isométries planes d’où : Convexité Isométries de l’espace −→ −−→ −→ −−→ 3(CA,CB) = (OA,OB) . Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Remarque Retour Remarque : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique L’exercice permet donc de diviser en trois un angle donné. Il ne prétend pas pour autant résoudre le problème de la trisection de l’angle à la règle et au compas (problème dont on sait qu’il est en toute généralité impossible). En effet la construction précédente peut se réaliser si l’on dispose d’un compas et d’une règle sur laquelle on peut reporter les distances (en l’occurence le rayon du cercle). Mais ce report est interdit dans les problèmes classiques de construction à la règle et au compas, où la règle ne peut servir qu’à tracer des droites. Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Table Un problème de recouvrement Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace n disques de même rayon sont disposés sur une table rectangulaire sans se chevaucher. On suppose qu’il est impossible de rajouter sur la table un disque de même rayon qui ne chevauche aucun des précédents. Montrer qu’on peut recouvrir complètement la table avec 4n disques de même rayon que les précédents (les chevauchements étant cette fois autorisés). Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Accueil Géométrie affine Soit A, B, C, D les coins de la table, r le rayon commun des disques, O1 , . . . , On leurs centres. Montrez d’abord que les n disques de centres O1 , . . . , On et de rayon 2r recouvrent complètement la table (en se chevauchant). Passez ensuite à des disques de rayon r en utilisant des homothéties. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soit A, B, C, D les coins de la table, r le rayon commun des disques, O1 , . . . , On leurs centres. Les n disques de centres O1 , . . . , On et de rayon 2r recouvrent la table (en se chevauchant) : en effet si un point M de la table vérifiait M Oi > 2r pour tout i = 1, . . . ,n, le disque de centre M et de rayon r serait disjoint des disques de centres O1 , . . . , On et de rayon r, ce qui est contraire à l’hypothèse. Les n disques images de ces disques par l’homothétie de centre A (resp. B, C, D) et de rapport 1/2 recouvrent l’image du rectangle ABCD par cette même homothétie et ont pour rayon r. Les 4n disques ainsi obtenus conviennent. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Disque de rayon minimal contenant un compact (1) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient D1 et D2 deux disques fermés de même rayon ρ du plan affine euclidien. Montrer qu’il existe un disque fermé de rayon r < ρ contenant l’intersection de D1 et D2 . Préciser la valeur minimale de r en fonction de ρ et de la distance d des centres de D1 et D2 . Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Si d > 2ρ, l’intersection est vide et r = 0. Accueil Géométrie affine Convexité Sinon l’intersection D1 ∩ D2 est incluse dans le disque de centre le milieu de O1 O2 Ì d2 2 et de rayon ρ − . 4 Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Disque de rayon minimal contenant un compact (2) Accueil Géométrie affine Convexité Soit K un compact non vide du plan affine euclidien. On se propose de montrer qu’il existe un unique disque fermé de rayon minimal contenant K. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Existence Soit ρ la borne inférieure de l’ensemble des réels r tels qu’il existe un disque fermé de rayon r contenant K. Montrer qu’il existe un disque fermé de rayon ρ contenant K. Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies K étant compact, il existe un disque fermé de centre O et de rayon R contenant K. L’ensemble des réels r ≥ 0 tels qu’il existe un disque fermé de rayon r contenant K n’est donc pas vide et il est minoré par 0. Soit ρ sa borne inférieure. Si ρ = R, c’est terminé. Sinon, il existe une suite rn de réels ≤ R de limite ρ et une suite On de points du plan telles que, pour tout n, K soit inclus dans le disque fermé de centre On et de rayon rn . Les points On appartiennent tous au disque fermé de centre O et de rayon 2R, puisque OOn ≤ OM + M On ≤ R + rn ≤ 2R pour tout point M de K. Ce disque étant compact, on peut extraire de la suite On une sous-suite convergente Onp . Soit Ω sa limite. On vérifie facilement que K est inclus dans le disque fermé de rayon ρ et de centre Ω : en effet tout point M de K vérifie M Onp ≤ rnp , d’où, en passant à la limite, M Ω ≤ ρ. Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Disque de rayon minimal contenant un compact (3) Accueil Géométrie affine Convexité Soit K un compact non vide du plan affine euclidien. On se propose de montrer qu’il existe un unique disque fermé de rayon minimal contenant K. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Unicité La borne inférieure ρ de l’ensemble des réels r tels qu’il existe un disque fermé de rayon r contenant K est donc atteinte. Montrer qu’il n’y a qu’un seul disque fermé de rayon ρ qui contient K. Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine S’il existait deux disques fermés distincts de même rayon ρ et de centres respectifs O1 et O2 contenant K, il existerait, d’après la première question, un disque de rayon r < ρ contenant K, ce qui contredirait la définition de ρ. Le disque fermé de rayon ρ contenant K est donc unique. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Application Application Accueil Géométrie affine Convexité En déduire que si G est le groupe des isométries conservant un compact K, il existe un point Ω fixe par tout élément de G. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Le centre Ω de l’unique disque fermé de rayon minimal ρ contenant K est fixe par tout élément f de G, puisque G = f (G) est inclus dans le disque de centre f (Ω) et de rayon ρ. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Remarque : Si K est fini, l’isobarycentre de K est aussi fixe par tout élément de G, et on n’a pas besoin de la construction précédente. De même, si on sait que G est fini, l’isobarycentre de la famille de points g(M ), où M est n’importe quel point du plan et g décrit G, est fixe par tout élément f de G. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Composée de réflexions (1) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soit, dans le plan affine euclidien, D1 , D2 et D3 trois droites concourantes en un point O. On note si , pour i = 1,2,3, la réflexion d’axe Di . a) Déterminer la nature géométrique de la transformation f = s3 ◦ s2 ◦ s1 , puis de f ◦ f. b) Comparer les transformations f et g = s1 ◦ s2 ◦ s3 . Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution f est-elle un déplacement? un antidéplacement? admet-elle des points fixes? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Solution : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter a) La transformation f est la composée de trois antidéplacements et laisse fixe le point O; c’est donc un antidéplacement qui admet O comme point fixe, i.e. une réflexion d’axe passant par O. Toute réflexion étant involutive, on en déduit que f ◦ f est l’application identique. b) L’application réciproque de f est donc f ; mais c’est aussi (s1 )−1 ◦(s2 )−1 ◦(s3 )−1 = s1 ◦ s2 ◦ s3 = g. On a donc f = g. Table Composée de réflexions (2) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit, dans le plan affine euclidien, ABC un triangle, I le centre de son cercle inscrit. Déterminer la nature géométrique de la composée f = sBI ◦ sAI ◦ sCI des réflexions d’axes les bissectrices intérieures du triangle. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution f est-elle un déplacement? un antidéplacement? admet-elle des points fixes? Déterminez l’image de la droite BC par f . Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes f est la composée de trois antidéplacements : c’est donc un antidéplacement. Le point I est fixe par chacune des trois réflexions ; il est donc fixe par f . Il en résulte que f est une réflexion d’axe passant par I. La droite BC est globalement invariante par f . Or les seules droites globalement invariantes par une réflexion sont l’axe et les droites perpendiculaires à l’axe. La droite BC ne passe pas par I : l’axe de f est donc la perpendiculaire à BC passant par I, i.e. la droite Iα, où α est le point de contact du cercle inscrit avec BC. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Composée de réflexions (3) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit, dans le plan affine euclidien, ABC un triangle. Montrer que la composée f = sAB ◦ sCA ◦ sBC des réflexions d’axes les côtés du triangle est une symétrie glissée. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Constatez que f est un antidéplacement et montrez que cet antidéplacement ne peut être une réflexion. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne f est la composée de trois antidéplacements : c’est donc un antidéplacement. Si f était une réflexion s∆ d’axe ∆, la relation sAB ◦ sCA ◦ sBC = s∆ impliquerait sAB ◦sCA = s∆ ◦sBC . Mais sAB ◦sCA est la rotation de centre A et d’angle 2(AC,AB). La composée s∆ ◦ sBC ne peut être une rotation de centre A et d’angle non nul que si les droites ∆ et BC sont sécantes en A, ce qui n’est pas le cas. f est donc une symétrie glissée. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Montrer que l’axe de f est la droite P R passant par les pieds des hauteurs en A et en C du triangle ABC. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Que peut-on dire de l’image de la droite P R par f ? Souvenez-vous que les côtés du triangle ABC sont des bissectrices des angles du triangle P QR (démonstration). Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine L’image de la droite P R par sBC est la droite P Q ; l’image de la droite QP par sCA est la droite QR ; l’image de la droite RQ par sAB est la droite RP . Il en résulte que la droite RP est globalement invariante par f . Or la seule droite globalement invariante par une symétrie glissée est son axe (démonstration). Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Droites invariantes par une symétrie glissée Accueil Géométrie affine Convexité Montrer que la seule droite globalement invariante par une symétrie glissée est son axe. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Que peut-on dire de la direction d’une droite globalement invariante par une transformation affine? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Soit D une droite globalement invariante par une transformation affine f : f (D) = → − → − D et ~v un vecteur directeur de D. La relation f~( D ) = D montre que f~(~v ) est proportionnel à ~v , i.e. que ~v est un vecteur propre de f~. Si f = s∆ ◦ t~u = t~u ◦ s∆ est une → − symétrie glissée d’axe ∆, f~ est la réflexion vectorielle d’axe ∆. Les sous-espaces → − propres de f~ sont donc ∆, associé à la valeur propre +1, et la droite vectorielle → − orthogonale ∆ ⊥ , associé à la valeur propre -1. Toute droite D globalement invariante par f est donc soit parallèle à ∆, soit perpendiculaire à ∆. Mais l’image par f d’une droite perpendiculaire à ∆ est la droite parallèle déduite par la translation t~u et l’image d’une droite parallèle à ∆ est la droite symétrique par rapport à ∆. La seule droite globalement invariante par f est donc l’axe ∆ de f . Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Table Quitter Composée de rotations Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soient r1 et r2 deux rotations du plan affine euclidien, de centres O1 et O2 distincts et d’angles α1 et α2 . On suppose α1 + α2 6= 0. Donner une construction du centre de la rotation composée r2 ◦ r1 . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Décomposez r1 et r2 en produit de réflexions : r1 = s2 ◦ s1 , r2 = s4 ◦ s3 . Peut-on s’arranger pour avoir s2 = s3 ? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Toute rotation peut se décomposer en produit de deux réflexions, l’axe de l’une de ces réflexions pouvant être choisi arbitrairement parmi toutes les droites passant par le centre de la rotation et l’autre étant alors déterminé de manière unique. On peut donc décomposer r1 et r2 sous la forme r1 = s2 ◦ s1 , r2 = s4 ◦ s3 avec s2 = s3 en prenant pour axe ∆2 = ∆3 de cette réflexion la droite O1 O2 . Les axes ∆1 et ∆4 de s1 et s4 sont alors déterminés par les relations (∆1 ,∆2 ) = α1 /2, (∆3 ,∆4 ) = α2 /2 (égalités d’angles de droites). Le point d’intersection O de ∆1 et ∆4 (ces droites sont sécantes, puisque α1 + α2 6= 0) est fixe par s1 et s4 , donc par r2 ◦ r1 = s4 ◦ s1 : c’est le centre de la rotation composée. Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Cas particulier Accueil Géométrie affine Convexité Si α1 + α2 = 0, les droites ∆1 et ∆4 sont parallèles. Le composé r2 ◦ r1 = s4 ◦ s1 des deux rotations est alors produit de deux réflexions d’axes parallèles : c’est une translation de vecteur 2~u, où ~u est le vecteur A1 A4 , où A1 est n’importe quel point de ∆1 et A4 son projeté orthogonal sur ∆4 (ce vecteur ne dépend pas du choix de A1 ). Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Composée de symétries glissées Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Déterminer la nature géométrique de la composée de deux symétries glissées d’axes perpendiculaires (on précisera les éléments caractéristiques de cette transformation). Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Etudiez d’abord la partie linéaire de cette transformation. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient fi = si ◦ t~ui = t~ui ◦ si (i = 1,2) les deux symétries glissées, où si est une → − réflexion d’axe Di et t~ui une translation de vecteur ~ui ∈ D i . La partie linéaire ~g de → puisque les droites D1 et D2 sont perpendiculaires. g = f2 ◦f1 est ~g = f~2 ◦ f~1 = −id− E Il en résulte que g est une symétrie centrale. Pour déterminer son centre, il suffit de connaı̂tre l’image d’un point, par exemple −−→ l’image O0 du point d’intersection O des droites D1 et D2 . Le vecteur OO0 est égal −→ ~u2 − ~u1 à ~u2 − ~u1 . On en déduit que le centre Ω de g est déterminé par OΩ = . 2 Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Table Quitter Le tourniquet dans le cercle Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient A1 , A2 , A3 , A4 quatre points distincts d’un même cercle C de centre O. La parallèle à A1 A2 menée par A4 recoupe C en un point A5 , la parallèle à A2 A3 menée par A5 recoupe C en un point A6 , la parallèle à A3 A4 menée par A6 recoupe C en un point A7 . Montrer que A7 = A1 . Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Soient ∆1 , ∆2 , ∆3 les médiatrices de A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 . Comment passe-t-on de A1 à A2 , de A2 à A3 , . . . ? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité La médiatrice ∆1 (resp. ∆2 , ∆3 ) de A1 A2 (resp. A2 A3 , A3 A4 ) est aussi celle de A4 A5 (resp. A5 A6 , A6 A7 ). On a donc, en notant si la réflexion d’axe ∆i (i = 1,2,3) : A7 = s3 ◦ s2 ◦ s1 ◦ s3 ◦ s2 ◦ s1 (A1 ) = f 2 (A1 ), en notant f = s3 ◦ s2 ◦ s1 . Mais f est un antidéplacement laissant fixe le point O, donc une réflexion d’axe passant par O, d’où f 2 = id et A7 = A1 . Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Polygone régulier Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient n ≥ 3 un entier et A1 , A2 , . . . , An n points distincts d’un même cercle C de centre O. On suppose A1 A2 = A2 A3 = · · · = An−1 An = An A1 . Montrer qu’il existe une rotation r de centre O telle que A2 = r(A1 ), A3 = r(A2 ), . . . , An = r(An−1 ), A1 = r(An ). Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Solution Quitter Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Pour tout k = 1, . . . ,n, les points Ak−1 et Ak+1 (où An+1 = A1 et A−1 = An ) sont distincts et appartiennent au cercle C et à un même cercle de centre Ak . Ils −−→ −−−−→ sont donc symétriques par rapport à la droite OAk et les angles (OAk ,OAk−1 ) et −−→ −−−−→ −−→ −−−−→ (OAk ,OAk+1 ) sont opposés. Il en résulte que tous les angles (OAk ,OAk+1 ) sont −−→ −−→ égaux. La rotation r de centre O et d’angle (OA1 ,OA2 ) transforme Ak en Ak+1 pour tout k. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine Soient n ≥ 3 un entier impair et A1 , A2 , . . . , An n points distincts d’un même Û cercle C de centre O. On suppose les angles Ak−1 Ak Ak+1 (k = 1, . . . ,n) égaux. Montrer qu’il existe une rotation r de centre O telle que A2 = r(A1 ), A3 = r(A2 ), . . . , An = r(An−1 ), A1 = r(An ). Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Pour tout k = 1, . . . ,n, la réflexion d’axe la médiatrice de Ak Ak+1 échange les points Ak et Ak+1 , ainsi que les demi-droites Ak Ak−1 et Ak+1 Ak+2 puisque les Û angles géométriques Ak−1 Ak Ak+1 et AkÛ Ak+1 Ak+2 sont égaux et les points Ak−1 et Ak+2 situés sur le cercle C. Il en résulte que les longueurs Ak−1 Ak et Ak+1 Ak+2 sont égales, d’où A1 A2 = A3 A4 = · · · = An A1 = A2 A3 = · · · = An−1 An puisque n est impair. On est donc ramené à la question précédente et le polygone est régulier. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Le résultat subsiste-t-il si n est pair? Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Si n est pair, la longueur du côté Ak Ak+1 peut dépendre de la parité de k : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine Soient A1 , A2 , . . . , An n points distincts du plan affine euclidien. On suppose tous Û les angles géométriques Ak−1 Ak Ak+1 (k = 1, . . . ,n) égaux et toutes les longueurs Ak Ak+1 égales. Existe-t-il nécessairement une rotation r du plan telle que A2 = r(A1 ), A3 = r(A2 ), . . . , An = r(An−1 ), A1 = r(An )? Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Pas nécessairement (ce serait vrai si on avait des égalités d’angles orientés) : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Deux carrés (ou trois. . . ) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soient, dans le plan affine euclidien, ABCD et AEF G deux carrés de même orientation ayant un sommet commun et P , Q, R, S les milieux respectifs des segments BD, DE, EG et GB. Montrer que P QRS est un carré. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Indication : Accueil Géométrie affine Convexité −→ −−→ −→ −−→ Comparez (par exemple) les vecteurs P Q et BE (resp. P S et DG). Ne voyez-vous −−→ −−→ pas une transformation géométrique simple qui transforme BE en DG? Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Solution : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne −→ −→ 1 −−→ π 1 −−→ On a P Q = BE et P S = DG. Or la rotation r de centre A et d’angle + 2 2 −−→ −−→2 transforme B en D et E en G. Sa partie linéaire ~r transforme donc BE en DG. −→ −→ Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux et de même norme. De même P Q et P S. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Autre solution Retour Table Billard polygonal Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit, dans le plan affine euclidien, ABCD un quadrilatère convexe. On suppose qu’il existe dans ce quadrilatère une trajectoire de billard (angle de réflexion = angle d’incidence) fermée P QRS (voir figure). Montrer que le quadrilatère ABCD est inscriptible. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Indication : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Interprétez l’égalité angle de réflexion = angle d’incidence en termes de réflexions et composez ces réflexions pour comparer (par exemple) les angles de droites (AD,AB) et (CD,CB). Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace La réflexion sAD d’axe AD transforme la demi-droite orientée SR en la demi-droite orientée SR0 opposée à SP . Sa partie linéaire ~sAD transforme donc le vecteur −→ −→ SR PS de cette demi-droite en le vecteur unitaire . En continuant unitaire ~i = SR PS ainsi, on voit que la composée ~r = ~sDC ◦~sCB ◦~sBA ◦~sAD laisse fixe le vecteur ~i. Mais ~r est une rotation d’angle 2(AD,AB) + 2(CB,CD). Cet angle orienté de vecteurs est donc nul, ce qui équivaut à l’égalité d’angles de droites (AD,AB) = (CD,CB). Cette dernière condition exprime la cocyclicité des points ABCD. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Table Quitter Plus court chemin entre deux points Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit D une droite du plan affine euclidien et P et Q deux points du plan situés d’un même côté de cette droite. Déterminer le point I de la droite D qui minimise la somme P I + IQ. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Soit P 0 le symétrique de P par rapport à D. L’égalité P I + IQ = P 0 I + IQ, vraie pour tout point I de D, montre qu’il s’agit de minimiser la distance P 0 Q. Le point I est donc le point d’intersection de D et P 0 Q. Accueil Géométrie affine Convexité Q Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques P Géométrie analytique Complexes Homographies I Aide Précédente P’ Suivante Plein écran Quitter Suite Plus court chemin (suite) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient D1 et D2 deux demi-droites de même origine O du plan affine euclidien et P et Q deux points du plan situés dans un même secteur angulaire déterminé par ces deux demi-droites. Déterminer deux points I et J situés respectivement sur D1 et D2 tels que la somme P I + IJ + JQ soit minimale. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit P1 le symétrique de P par rapport à D1 et Q2 le symétrique de Q par rapport à D2 . L’égalité P I + IJ + JQ = P1 I + IJ + JQ2 , vraie pour tout point I de D1 et tout point J de D2 , montre qu’il s’agit de minimiser la distance P1 Q2 . Les points I et J sont donc obtenus en prenant l’intersection de la droite P1 Q2 avec les demidroites D1 et D2 . Ces intersections existent toujours si l’angle géométrique de D1 π et D2 est inférieur à . 3 Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Le problème de Fagnano Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit ABC un triangle du plan affine euclidien dont tous les angles sont aigus et P , Q, R trois points appartenant respectivement aux côtés BC, CA et AB du triangle et distincts de ses sommets tels que la somme P Q+QR+RP soit minimale. Montrer que les côtés du triangle ABC sont les bissectrices extérieures du triangle P QR. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Fixez Q et R et déterminez le point P qui minimise P Q + P R (voir plus court chemin) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Pour Q et R fixés, le point I de la droite BC qui minimise la somme IQ + IR est obtenu en prenant l’intersection de la droite QR0 (où R0 est le symétrique de R par rapport à BC) avec la droite BC (voir plus court chemin). Ce point est intérieur au segment BC : c’est donc bien le point P . La réflexion d’axe BC échange donc les droites P Q et P R (mais pas les demi-droites) : c’est la bissectrice extérieure en P du triangle P QR. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite En déduire que les points P , Q, R sont les pieds des hauteurs du triangle ABC. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Déterminez l’image de la droite P R par la composée f = sAB ◦ sCA ◦ sBC des réflexions d’axes BC, CA et AB. Quelle est la nature géométrique de f ? (Voir composition de réflexions.) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine La droite P R est globalement invariante par la composée f = sAB ◦ sCA ◦ sBC des réflexions d’axes BC, CA et AB. C’est donc l’axe de cette symétrie glissée ; on en déduit que P et R sont les pieds des hauteurs issues de A et C dans le triangle ABC. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine Soit P , Q, R les pieds des hauteurs issues de A, B, C dans le triangle ABC, P1 et P2 les symétriques de P par rapport à AB et AC. Montrer que les points P1 , R, Q et P2 sont alignés et que le périmètre du triangle P QR est égal à P1 P2 . Exprimer ce périmètre en fonction de AP et de l’angle en A du triangle ABC. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes La droite RQ est symétrique de la droite RP (resp. QP ) par rapport à AB (resp. CA). Il en résulte que P1 et P2 appartiennent à RQ. Les points P1 , R, Q et P2 étant alignés dans cet ordre, le périmètre du triangle P QR est égal à P1 P2 , puisque RP1 = c c RP et QP2 = QP . Mais P1 P2 = 2 AP cos((AP1 ,AP2 )/2) = 2 AP cos(A) =, où A −−→ −→ est l’angle en A du triangle ABC (remarquer que AP1 = AP2 = AP , (AP1 ,AB) = −→ −→ −→ −→ −→ −−→ (AB,AP ), (AP ,AC) = (AC,AP2 )). Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite En déduire que le triangle orthique P QR est le triangle de périmètre minimal inscrit dans le triangle ABC. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes La fonction (P,Q,R) 7→ P Q+QR+RP de [BC]×[CA]×[AB] dans R est continue, donc atteint son minimum sur le compact [BC]×[CA]×[AB]. On vient de voir que si ce minimum est atteint en des points P , Q, R distincts des sommets A, B, C, ces points sont nécessairement les pieds des hauteurs. Si le minimum était atteint pour R0 = A (par exemple), on aurait aussi Q0 = A et P 0 serait le pied P de la hauteur issue de A ; le périmètre de P 0 Q0 R0 serait donc 2 AP , ce qui est supérieur au périmètre de P QR. Le triangle P QR est donc bien le triangle de périmètre minimal inscrit dans le triangle ABC. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Remarque Quitter Accueil Géométrie affine Convexité Le triangle P QR est donc à la fois le triangle de périmètre minimal inscrit dans le triangle ABC et le seul triangle de lumière (ou trajectoire de billard) contenu dans ce triangle. Si l’un des angles du triangle ABC est obtus, il n’existe pas de trajectoire de lumière dans le triangle ABC et le triangle de périmètre minimal est aplati : c’est le triangle AP A si l’angle en A du triangle ABC est obtus. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Sous-groupes finis d’isométries Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit G un sous-groupe fini du groupe des isométries du plan affine euclidien E. Montrer qu’il existe un point O fixe par tout élément de G : f (O) = O pour tout f ∈ G. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Soit A un point quelconque de E. Que peut-on dire de l’isobarycentre des points f (A), f ∈ G? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Soit A un point quelconque de E. L’isobarycentre O des points f (A), f ∈ G, est fixe par tout élément g de G, puisque g(O) est l’isobarycentre des points g(f (A)), pour f ∈ G (une isométrie est affine et conserve donc les barycentres) et que l’application f 7→ g ◦ f est une bijection de G sur G. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite En déduire que tout sous-groupe fini du groupe des déplacements du plan affine euclidien est un groupe cyclique constitué de rotations de même centre. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Soit G un sous-groupe fini du groupe des déplacements du plan affine euclidien E. Il existe un point O de E fixe par tout élément de G. Tout élément de G est donc une rotation de centre O ou l’identité. Soit n l’ordre de G. Tout élément g de G vérifie g n = idE . L’angle α de la rotation 2kπ g vérifie donc nα ≡ 0 (mod 2π) : il existe donc k ∈ {0, . . . , n − 1} tel que α = . n Le groupe G est donc constitué de toutes les rotations de centre O et d’angles 2kπ , k ∈ {0, . . . , n − 1} : c’est le groupe cyclique engendré par la rotation r de n 2π . centre O et d’angle n Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine Convexité Montrer que tout sous-groupe fini G du groupe des isométries du plan affine euclidien E est : • soit un groupe cyclique constitué de rotations de même centre ; • soit un groupe diédral. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Si G n’est constitué que de déplacements, c’est un groupe cyclique constitué de rotations de même centre. Sinon soit O un point de E fixe par tout élément de G. Tout élément de G qui n’est pas un déplacement est une réflexion d’axe passant par O. Soit s une telle réflexion. Le groupe G+ des déplacements de G (intersection de G et du groupe des déplacements du plan) est un groupe cyclique de rotations de centre O et G est la réunion disjointe G+ ∪ G− , où G− = sG+ est l’ensemble des réflexions s ◦ g, g ∈ G+ . Si r est un générateur de G+ , G est engendré par r et s qui vérifient les relations s2 = rn = idE , s ◦ r = r−1 ◦ s = rn−1 ◦ s, où n est l’ordre de G+ . En effet s ◦ r est une réflexion et vérifie donc s ◦ r = (s ◦ r)−1 = r−1 ◦ s. Le groupe G est le groupe des isométries d’un polygone régulier à n sommets. Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Composée de trois réflexions Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Donner une condition nécessaire et suffisante sur trois plans P1 , P2 , P3 de l’espace affine euclidien pour que la composée s3 ◦ s2 ◦ s1 des réflexions de plans P1 , P2 , P3 soit une réflexion. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution L’égalité s3 ◦ s2 ◦ s1 = s peut encore s’écrire s2 ◦ s1 = s3 ◦ s. Qu’est-ce que la composée de deux réflexions? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente La composée de deux réflexions est : • une translation de vecteur orthogonal aux plans de ces réflexions si ceux-ci sont parallèles ; • une rotation d’axe l’intersection des plans de ces réflexions si ceux-ci sont sécants. Si s = s3 ◦ s2 ◦ s1 est une réflexion de plan P , l’égalité s2 ◦ s1 = s3 ◦ s montre que : • si P1 et P2 sont parallèles, s2 ◦s1 est une translation de vecteur ~u orthogonal à P1 et P2 ; P3 et P doivent donc être parallèles et orthogonaux à ~u ; en particulier, P3 est parallèle à P1 et P2 ; • si P1 et P2 sont sécants, s2 ◦ s1 est une rotation d’axe ∆ = P1 ∩ P2 ; P3 et P doivent donc être sécants, d’intersection ∆ ; en particulier, P3 contient ∆, et les plans P1 , P2 , P3 ont une droite commune. Réciproquement, si P1 , P2 , P3 sont parallèles, s est une réflexion de plan parallèle à P1 , P2 , P3 . De même, si P1 , P2 , P3 ont une droite commune ∆, s est une réflexion de plan passant par ∆. Suivante Plein écran Quitter Table Caractérisation de l’axe d’un vissage Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit, dans l’espace affine euclidien E de dimension 3, f un vissage d’axe D. Montrer −−−−−→ que D est l’ensemble des points M de E tels que le vecteur M f (M ) appartienne à − → D et que c’est aussi l’ensemble des points M de E minimisant la distance M f (M ). Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Soit t = r ◦ t~u = t~u ◦ r la décomposition de f en produit commutatif d’une rotation → − r d’axe D et d’une translation de vecteur ~u ∈ D . Pour tout point M de E, le −−−−−→ vecteur M f (M ) s’écrit −−−−−→ −−−−−→ −−−−−−−→ −−−−−→ M f (M ) = M r(M ) + r(M )f (M ) = M r(M ) + ~u −−−−−→ −−−−−→ → − et le vecteur M r(M ) est orthogonal à D . Le vecteur M f (M ) appartient donc à −−−−−→ − − → → D si et seulement si M r(M ) = 0 , i.e. si et seulement si M = r(M ), ce qui signifie que M appartient à D. −−−−−→ Les vecteurs ~u et M r(M ) étant orthogonaux, on a Complexes Homographies Aide M f (M )2 = M r(M )2 + k~uk2 ≥ k~uk2 pour tout point M de E et M f (M ) = k~uk si et seulement si M r(M ) = 0, ce qui signifie encore que M appartient à D. Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Isométries des tétraèdres équifaciaux Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit ABCD un tétraèdre non aplati. On note I,I 0 ,J,J 0 ,K,K 0 les milieux respectifs des arêtes AB, CD, BC, DA, CA et BD et on appelle bimédianes les droites II 0 , JJ 0 et KK 0 joignant les milieux de deux arêtes opposées. a) Montrer que les trois bimédianes sont concourantes. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite L’isobarycentre G des points A, B, C, D est le milieu commun de II 0 , JJ 0 et KK 0 . Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite b) On suppose la bimédiane II 0 orthogonale aux deux arêtes AB et CD dont elle joint les milieux. Déterminer l’image du tétraèdre ABCD par le retournement d’axe II 0 . En déduire que les arêtes BC et AD ont même longueur. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Le retournement d’axe II 0 échange les points A et B, ainsi que les points C et D. Elle échange donc les segments BC et AD, qui ont donc même longueur. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite On suppose désormais que chacune des trois bimédianes est orthogonale aux deux arêtes dont elle joint les milieux. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes c) Déterminer la composée des retournements d’axes II 0 et JJ 0 (on pourra déterminer les images des sommets du tétraèdre par cette transformation). En déduire que les trois bimédianes sont deux à deux orthogonales et que les quatre faces du tétraèdre ABCD sont des triangles isométriques. Isométries de l’espace Coniques C Géométrie analytique K Complexes A Homographies I’ J J’ Aide I D Précédente K’ Suivante B Plein écran Quitter Solution Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes La composée sJJ 0 ◦ sII 0 des retournements d’axes II 0 et JJ 0 échange A et C d’une part, B et D d’autre part. C’est donc le retournement d’axe KK 0 . Mais la composée de deux retournements n’est un retournement que si les axes de ces deux retournements sont perpendiculaires. On en déduit que II 0 et JJ 0 sont perpendiculaires ; de même II 0 et KK 0 , JJ 0 et KK 0 . On avait déjà remarqué que BC = AD ; on a de même AB = CD et AC = BD. Il en résulte que les quatre faces du tétraèdre sont des triangles isométriques. Isométries de l’espace Coniques C Géométrie analytique K Complexes A Homographies I’ J J’ Aide I D Précédente K’ Suivante B Plein écran Quitter Retour Suite Accueil Géométrie affine Convexité d) Soit (x,y,z) les coordonnées du point A dans un repère orthonormé dont les axes sont portés par les droites II 0 , JJ 0 et KK 0 . Exprimer les coordonnées dans ce repère des points B, C et D. Montrer que les sommets du tétraèdre ABCD constituent avec leurs symétriques A0 B 0 C 0 D0 par rapport à l’origine de ce repère les sommets d’un parallélipipède rectangle. Géométrie euclidienne Isométries planes C Isométries de l’espace Coniques A Géométrie analytique Complexes Homographies Aide D Précédente B Suivante Plein écran Quitter Solution Table Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne B est l’image de A par le retournement d’axe II 0 . Si (x,y,z) sont les coordonnées du point A dans un repère orthonormé dont les axes sont portés par les droites II 0 , JJ 0 et KK 0 , les coordonnées de B dans ce repère sont donc (x, − y, − z). De même celles de C sont (−x, − y,z) et celles de D (−x,y, − z). Il en résulte que les points A, B, C et D constituent avec leurs symétriques A0 , B 0 , C 0 et D0 par rapport à l’origine de ce repère les sommets d’un parallélipipède rectangle. Isométries planes Isométries de l’espace C Coniques Géométrie analytique A Complexes Homographies Aide D Précédente Suivante B Plein écran Quitter Retour Remarque Table Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Il en résulte que tout tétraèdre équifacial peut être construit à partir d’un parallélipipède rectangle. Si les longueurs des arêtes de √ ce parallélipipède√sont 2x, 2y et √ 2z, celles des arêtes du tétraèdre sont a = 2 y 2 + z 2 , b = 2 z 2 + x2 , c = 2 x2 + y 2 . Les faces de ce tétraèdre sont donc des triangles dont tous les angles sont aigus, puisque a2 < b2 + c2 , b2 < c2 + a2 , c2 < a2 + b2 . Réciproquement, pour tout triangle acutangle, on peut construire un tétraèdre équifacial√dont les faces √ sont isométriques à ce triangle (il suffit de résoudre le système a = 2 y 2 + z 2 , √ b = 2 z 2 + x2 , c = 2 x2 + y 2 , dont on montre facilement qu’il admet une solution positive et une seule). Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Table Isométries du tétraèdre régulier Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit, dans l’espace affine E de dimension 3, ABCD un tétraèdre régulier et G le groupe des isométries conservant globalement ce tétraèdre : G = {f ∈ Is(E) | {f (A),f (B),f (C),f (D)} = {A,B,C,D} } . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Montrer que l’application ϕ de G dans le groupe des permutations de {A,B,C,D} qui associe à un élément f de G sa restriction à {A,B,C,D} est un homomorphisme injectif de groupes. Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine L’application ϕ est clairement un homomorphisme de groupes. Cet homomorphisme est injectif puisque les points A, B, C, D constituent un repère affine de E : si deux isométries f et g vérifient f (A) = g(A), f (B) = g(B), f (C) = g(C), f (D) = g(D), alors f = g (une isométrie est une transformation affine). Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Montrer que pour tout couple de sommets du tétraèdre ABCD, il existe une réflexion qui échange ces sommets et laisse les deux autres fixes. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Quel est le plan médiateur de AB ? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Soit I le milieu de AB. Les trois points I, C et D sont équidistants de A et B et ne sont pas alignés. Le plan CDI est donc le plan médiateur de AB. La réflexion par rapport à ce plan échange les points A et B et laisse fixes C et D. On obtient ainsi 6 réflexions conservant le tétraèdre. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite En déduire que l’homomorphisme ϕ est surjectif. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne L’image de ϕ est un sous-groupe du groupe des permutations des sommets et ce sous-groupe contient toutes les transpositions (permutations échangeant deux éléments et laissant les autres fixes). Comme les transpositions engendrent le groupe symétrique, l’image de ϕ est le groupe de toutes les permutations des sommets : ϕ est donc un isomorphisme du groupe G sur le groupe des permutations d’un ensemble à 4 éléments. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Montrer que le sous-groupe G+ des déplacements du tétraèdre est isomorphe au groupe des permutations de signature +1 des sommets (groupe alterné). Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soit ε l’homomorphisme du groupe des permutations des sommets dans {+1, − 1} qui à toute permutation associe sa signature, et ψ l’homomorphisme de G dans {+1, − 1} qui à toute isométrie du tétraèdre associe le déterminant de sa partie linéaire : f 7→ det(f~). Les homomorphismes ε ◦ ϕ et ψ coı̈ncident sur l’ensemble des réflexions de plans les plans médiateurs des arêtes ; mais ces réflexions engendrent G puisque leurs images par ϕ engendrent le groupe symétrique. Il en résulte que ε ◦ ϕ = ψ. Les déplacements de G correspondent donc par ϕ aux permutations paires et G+ est isomorphe au groupe alterné. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Déterminer tous les éléments de G+ (on montrera que tous ces déplacements sont des rotations et on précisera leur axe et leur angle). Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Tous les éléments de G conservent l’isobarycentre O de ABCD. Il en résulte que les éléments de G+ autres que l’identité sont des rotations d’axe passant par O. On trouve 3 retournements d’axes les bimédianes (droites joignant les milieux de deux arêtes opposées : elles sont perpendiculaires à ces deux arêtes) et 8 rotations 2π d’angle ± d’axes les droites joignant un sommet à l’isobarycentre de la face 3 opposée. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Déterminer tous les éléments de l’ensemble G− des antidéplacements conservant le tétraèdre. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité On a déjà trouvé 6 réflexions dans G− (les plans de ces réflexions sont les plans médiateurs des arêtes). Il reste donc 6 autres éléments dans G− . Ces antidéplacements correspondent par ϕ aux 6 permutations circulaires des sommets. Ce sont les antirotations d’axes les bimédianes et d’angles droits (remarquer que le plan perpendiculaire en O à une bimédiane est le plan contenant les deux autres bimédianes). Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Isométries du cube Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit, dans l’espace affine euclidien E de dimension 3, ABCDA0 B 0 C 0 D0 un cube de centre O et G le groupe des isométries conservant globalement l’ensemble des sommets de ce cube. Montrer que l’image par tout élément de G d’une diagonale du cube (i.e. l’une des droites AA0 , BB 0 , CC 0 , DD0 joignant un sommet au sommet symétrique par rapport à O) est une diagonale du cube. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Solution Quitter Suite Tout élément de G conserve l’isobarycentre O des sommets du cube et transforme une droite en une droite. L’image d’une diagonale est donc une diagonale. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Soit ϕ l’application de G dans le groupe des permutations des diagonales du cube qui à une isométrie f associe la permutation des diagonales induite par f . Montrer que ϕ est un homomorphisme de groupes. Déterminer son noyau. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Si un élément f de G conserve globalement chaque diagonale du cube, les vecteurs −→ −−→ −→ −−→ OA, OB, OC, OD sont vecteurs propres de f~. Que peut-on dire des valeurs propres correspondantes? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies L’application ϕ est clairement un homomorphisme de groupes. Un élément f de G appartient au noyau de cet homomorphisme si et seulement si il conserve glo−→ −−→ balement chaque diagonale du cube, i.e. si et seulement si les vecteurs OA, OB, −→ −−→ OC, OD sont vecteurs propres de f~. Les valeurs propres associées sont ±1, puisque f~ est une transformation orthogonale. Si deux de ces vecteurs étaient associés à la valeur propre +1 et deux à la valeur propre -1, les deux sous-espaces propres correspondants seraient de dimension supérieure ou égale à 2 et leur intersection → − non réduite à { 0 }, ce qui est impossible. Trois de ces vecteurs sont donc associés → − à la même valeur propre, et le sous-espace propre correspondant est donc E , ce → . Le noyau de ϕ est donc constitué de l’identité de E et qui montre que f~ est ±id− E de la symétrie de centre O. Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Montrer que la restriction de ϕ au sous-groupe G+ des rotations du cube est un isomorphisme de G+ sur le groupe des permutations des diagonales. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante La restriction de ϕ au sous-groupe G+ des déplacements du cube est un homomorphisme injectif de groupes, puisque son noyau est réduit à idE . Pour montrer que cet homomorphisme est surjectif, on pourrait montrer que son image contient les transpositions, puisque celles-ci engendrent le groupe symétrique : il suffit pour cela de remarquer que les retournements d’axes les droites joignant les milieux de deux arêtes opposées échangent les diagonales joignant les extrémités de ces arêtes et laissent les deux autres diagonales globalement invariantes. Une autre méthode consiste à expliciter 24 rotations laissant le cube invariant. On trouve en effet : • 4 axes de rotation d’ordre 3 (les diagonales) ; • 6 axes de rotation d’ordre 2 (les droites joignant les milieux de deux arêtes opposées) ; • 3 axes de rotation d’ordre 4 (les droites joignant les centres de deux faces opposées) 2π π soit 8 rotations d’angle ± , 6 rotations d’angle ± , 9 retournements et l’identité. 3 2 Les figures suivantes représentent un axe de chacun de ces types et la projection orthogonale du cube dans la direction de cet axe. Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Montrer que le groupe G des isométries du cube est isomorphe au produit direct du groupe des permutations de 4 éléments par un groupe à 2 éléments. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Le groupe G des isométries du cube est le produit direct de son sous-groupe G+ par le sous-groupe à deux éléments {idE , sO ), où sO est la symétrie par rapport à O. En effet l’application f 7→ f ◦ sO est une bijection de G+ sur l’ensemble G− des antidéplacements du cube et sO commute avec tout élément de G (plus généralement avec toute transformation affine laissant O invariant). On remarque en particulier que le cube admet 9 plans de symétrie, qui sont les plans perpendiculaires en O aux axes des retournements de G (f ◦ sO est une réflexion si et seulement si f est un retournement). On peut aussi retrouver et identifier tous les éléments de G en écrivant les matrices de leurs parties linéaires dans un repère orthonormé porté par les perpendiculaires aux faces issues de O. Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Cube, tétraèdres et octaèdre Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit, dans l’espace affine euclidien E de dimension 3, C = ABCDA0 B 0 C 0 D0 un cube de centre O. Montrer que les tétraèdres T = ACB 0 D0 et T 0 = A0 C 0 BD sont réguliers et que toute isométrie laissant le cube globalement invariant conserve globalement chacun de ces tétraèdres ou les échange. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Les tetraèdres T et T 0 sont évidemment réguliers, puisque leurs arêtes sont toutes des diagonales des faces du cube et ont donc même longueur. Si une isométrie f conserve le cube, soit f (A) est un sommet de T et f (T ) = T , f (T 0 ) = T 0 , soit f (A) est un sommet de T 0 et f (T ) = T 0 , f (T 0 ) = T (une isométrie conserve les longueurs). Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Soit G le groupe des isométries de E laissant le cube C globalement invariant : G = {f ∈ Is(E) | f (C) = C} Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne et H le sous-groupe de G constitué des isométries laissant T globalement invariant : H = {f ∈ G | f (T ) = T } . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Montrer que H est le groupe de toutes les isométries de E laissant T globalement invariant : H = {f ∈ Is(E) | f (T ) = T } et que G est produit direct de H et du sous-groupe à deux éléments {idE , sO }, où sO est la symétrie de centre O. Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Par définition, tout élément de H est une isométrie laissant le tétraèdre T globalement invariant. Réciproquement, si une isométrie f de E laisse T globalement invariant, elle laisse fixe l’isobarycentre O de ses sommets et commute donc avec sO . Il en résulte que Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente f (T 0 ) = f (sO (T )) = sO (f (T )) = sO (T ) = T 0 d’où f (C) = C : f appartient donc à G. Le sous-ensemble sO H = {sO ◦ f | f ∈ H} de G est l’ensemble des isométries de C échangeant T et T 0 : G est donc la réunion disjointe de H et de sO H. On a déjà remarqué que sO commutait avec tout élément de G. Remarque : il ne faut pas en conclure que H est le groupe des déplacements du cube : il est facile de trouver une rotation du cube qui échange T et T 0 . On peut cependant en déduire que G est un groupe à 48 éléments, isomorphe au produit direct du groupe des permutations de 4 éléments par un groupe à 2 éléments. Suivante Plein écran Quitter Suite Montrer que le groupe G est aussi le groupe des isométries de E laissant globalement invariant l’octaèdre régulier O de sommets les centres des faces de C (ces centres sont aussi les milieux des arêtes de chacun des deux tétraèdres T et T 0 ). Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Il est clair que tout élément de G transforme un sommet de O en un sommet de O (toutes isométrie du cube transforme une face en une face). Réciproquement toute isométrie conservant globalement O conserve aussi le cube C (on peut par exemple remarquer que les 6 centres de gravité des faces de O sont les sommets d’un cube C 0 image de C par l’homothétie de centre O et de rapport 1/3 et que toute isométrie conservant O conserve globalement C 0 , donc aussi C). Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Isométries de l’hélice circulaire Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique → − Soit, dans l’espace affine euclidien E de dimension 3, D une droite, ~u ∈ D un vecteur directeur non nul de cette droite et α un réel non nul. On note, pour tout réel λ, rλ la rotation d’axe D (orienté par ~u) et d’angle λα, et fλ = rλ ◦ tλ~u la composée de rλ et de la translation de vecteur λ~u. Montrer que l’application λ 7→ fλ est un homomorphisme injectif du groupe additif (R,+) dans le groupe Is+ (E) des déplacements de E. Préciser la nature géométrique de fλ (on discutera suivant la valeur de λ). Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Pour tout réel λ, la rotation rλ et la translation de vecteur λ~u commutent, puisque le vecteur λ~u appartient à la direction de l’axe de rλ . La composée fλ = rλ ◦ tλ~u = tλ~u ◦ rλ de ces deux transformations est donc : • un vissage si λα 6≡ 0 (mod 2π) • une translation si λα ≡ 0 (mod 2π). La relation fλ ◦ fµ = rλ ◦ tλ~u ◦ rµ ◦ tµ~u = rλ ◦ rµ ◦ tλ~u ◦ tµ~u = rλ+µ ◦ t(λ+µ)~u = fλ+µ montre que l’application λ 7→ fλ est un homomorphisme de groupes de (R,+) dans le groupe Is+ (E) des déplacements de E. Le noyau de cet homomorphisme est clairement réduit à 0 : il est donc injectif. Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine Soit A un point de D et ∆ une droite perpendiculaire en A à D. On note, pour tout réel λ, Aλ = fλ (A) l’image de A par fλ , ∆λ = fλ (∆) et sλ le retournement d’axe ∆λ . Montrer que, pour tout λ ∈ R, on a sλ = fλ ◦ s0 ◦ fλ−1 . Déterminer sλ ◦ s0 (où s0 est le retournement d’axe ∆0 = ∆). Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes L’isométrie g = fλ ◦ s0 ◦ fλ−1 est un déplacement involutif (g ◦ g = idE ), c’est donc un retournement. Son axe est l’ensemble de ses points fixes. Or un point M est fixe par g si et seulement si g(M ) = fλ ◦ s0 ◦ fλ−1 (M ) = M , i.e. si et seulement si s0 ◦ fλ−1 (M ) = fλ−1 (M ), ce qui équivaut à fλ−1 (M ) ∈ ∆, ou encore à M ∈ fλ (∆). −−→ → → La partie linéaire − s ◦− s0 = − s− λ ◦ s0 de sλ ◦ s0 est la rotation vectorielle d’axe D et →− − → λ d’angle 2( ∆,∆λ ) = 2λα. L’image de A par sλ ◦ s0 est le point symétrique de A par −−→ rapport à Aλ , i.e. le point déduit de A par la translation de vecteur 2AAλ = 2λ~u. On en déduit que sλ ◦ s0 est le vissage d’axe D, d’angle 2λα et de vecteur 2λ~u, i.e. sλ ◦ s0 = f2λ . Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite En déduire que G = {fλ | λ ∈ R} ∪ {sλ | λ ∈ R} est un sous-groupe du groupe des déplacements de E. Déterminer sλ ◦ fµ , fµ ◦ sλ , sλ ◦ sµ pour tout couple (λ,µ) de réels. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution sλ = f2λ ◦ s0 étant un retournement, il est égal à son propre inverse, ce qui peut encore s’écrire f2λ ◦ s0 = s0 ◦ f−2λ . Il en résulte : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes sλ ◦ fµ = f2λ ◦ s0 ◦ fµ = f2λ−µ fµ ◦ sλ = fµ+2λ ◦ s0 sλ ◦ sµ = f2λ ◦ s0 ◦ f2µ ◦ s0 = f2(λ−µ) . G = {fλ | λ ∈ R} ∪ {sλ | λ ∈ R} = {fλ | λ ∈ R} ∪ {fλ ◦ s0 | λ ∈ R} est stable par composition et par passage à l’inverse, c’est donc un sous-groupe du groupe des déplacements de E, et H = {fλ | λ ∈ R} en est un sous-groupe abélien d’indice 2. Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Remarque Accueil Géométrie affine Convexité Si M est un point de ∆ différent de A, {fλ (M ) | λ ∈ R} est une hélice circulaire H d’axe D et tout élément de G laisse cette hélice globalement invariante. On peut montrer que G est exactement le groupe des isométries de E laissant H globalement invariante (en particulier il n’existe aucun antidéplacement de E laissant H globalement invariante). Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Tangentes menées d’un point à la parabole Accueil Géométrie affine Convexité Construire à la règle et au compas les tangentes à la parabole passant par un point P du plan (on discutera selon la position du point). Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Accueil Géométrie affine Soit M un point de la parabole, H le projeté orthogonal de M sur la directrice D et P un point de la tangente en M . Comparer P F et P H, où F est le foyer de la parabole (on rappelle que la tangente en M à la parabole est la médiatrice de HF ). Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit M un point de la parabole, H le projeté orthogonal de M sur la directrice D et P un point de la tangente en M . La réflexion d’axe M P échange F et H ; on a donc P F = P H (une réflexion est une isométrie), ce qui montre que le point H appartient au cercle de centre P passant par F . Ce cercle coupe la directrice en 0, 1 ou 2 points selon la position de P par rapport à la parabole. Une fois H déterminé, le point M s’obtient en prenant l’intersection de la médiatrice de HF avec la perpendiculaire en H à la directrice. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Déterminer l’ensemble des points du plan d’où l’on voit la parabole sous un angle droit (i.e. tels que les deux tangentes menées par ces points à la parabole soient perpendiculaires). Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Les deux tangentes menées par P à la parabole sont perpendiculaires si et seulement si les droites F H1 et F H2 , qui leur sont perpendiculaires, sont elles-mêmes perpendiculaires. Le triangle F H1 H2 est alors rectangle en F et le centre P de son cercle circonscrit est le milieu de H1 H2 : P appartient donc à la directrice de la parabole. La réciproque s’établit de même. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Un problème de lieu géométrique Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit, dans le plan affine euclidien, C un cercle de centre F et de rayon R, et F 0 un point intérieur à C. Déterminer l’ensemble des centres des cercles passant par F 0 et tangents à C (on distinguera les cas F 0 = F et F 0 6= F ). Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Soit M le centre d’un tel cercle et T le point de contact de ce cercle et de C. Que peut-on dire de M F + M F 0 ? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution La relation M F + M F 0 = M F + M T = F T = R montre que M appartient à l’ellipse de foyers F et F 0 et de demi-grand axe R/2. Réciproquement, tout point de cette ellipse est centre d’un tel cercle. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Remarque Accueil Géométrie affine On sait qu’une parabole est l’ensemble des centres des cercles passant par le foyer et tangents à la directrice. On obtient ici une propriété analogue pour l’ellipse, la directrice étant remplacée par un cercle de centre le second foyer, appelé cercle directeur. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Cas particulier Dans le cas particulier où F = F 0 , l’ellipse est remplacée par le cercle de centre F et de rayon R/2. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Diamètres conjugués de l’ellipse Accueil Géométrie affine Convexité Déterminer l’ensemble des milieux des cordes d’une ellipse parallèles à une droite D donnée. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Examinez d’abord la question dans le cas où l’ellipse est un cercle. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soit E l’ellipse, C son cercle principal et f une affinité orthogonale transformant → − E en C. Les cordes considérées, de direction D , ont pour images par f les cordes → − de C de direction f~( D ), i.e. les cordes de C perpendiculaires à un diamètre A1 A2 de C. L’ensemble des milieux de ces cordes est donc le segment A1 A2 . Toute transformation affine conservant les milieux, l’ensemble des milieux des cordes de E de → − direction D est l’image du segment A1 A2 par f −1 , i.e. un diamètre M1 M2 de E (plus précisément le diamètre de E joignant les deux points de E où la tangente est parallèle à D, puisqu’une transformation affine conserve le contact). Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Suite Quitter Soit N1 N2 un diamètre de E (i.e. une corde passant par le centre de E), M1 M2 l’ensemble des milieux des cordes de E parallèles à N1 N2 . On dit que M1 M2 est le diamètre conjugué de N1 N2 . Quel est le diamètre conjugué de M1 M2 ? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Le diamètre conjugué de M1 M2 est N1 N2 , de sorte que la relation de conjugaison est symétrique (on dit que M1 M2 et N1 N2 sont des diamètres conjugués de l’ellipse). Ici encore il suffit de vérifier la propriété pour le cercle, pour lequel elle est évidente, et de transformer l’ellipse en cercle par une transformation affine. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Ellipse de Steiner d’un triangle (1) Accueil Géométrie affine Convexité Montrer que, pour tout triangle non aplati ABC, il existe une ellipse tangente aux côtés BC, CA et AB de ce triangle en leurs milieux A0 , B 0 , C 0 . Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Ramenez-vous au cas d’un triangle équilatéral au moyen d’une transformation affine. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soit A1 B1 C1 un triangle équilatéral. Il existe une transformation affine f du plan et une seule qui transforme le triangle A1 B1 C1 en le triangle ABC. Toute transformation affine conservant les milieux et le contact, f transforme le cercle inscrit dans le triangle A1 B1 C1 en une ellipse tangente aux côtés du triangle ABC en leurs milieux. Cette ellipse (on peut montrer qu’elle est unique) est appelée ellipse de Steiner du triangle ABC. Il résulte de la démonstration précédente qu’elle passe aussi par les milieux des segments AG, BG et CG, où G est l’isobarycentre de ABC. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Application Application Accueil Géométrie affine Convexité Montrer que pour tout triangle ABC, il existe une affinité orthogonale transformant ce triangle en un triangle équilatéral. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Soit g une affinité orthogonale transformant l’ellipse de Steiner du triangle ABC en un cercle (pourquoi une telle affinité orthogonale existe-t-elle?). Montrer que g transforme le triangle ABC en un triangle équilatéral. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Soit g l’affinité orthogonale transformant l’ellipse de Steiner du triangle ABC en son cercle principal. L’image du triangle ABC par g est un triangle A1 B1 C1 dont le cercle inscrit touche les côtés en leurs milieux A0 , B 0 , C 0 . Un tel triangle est équilatéral, puisque A1 B 0 = A1 C 0 , B1 C 0 = B1 A0 , C1 A0 = C1 B 0 . Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Construction de l’hyperbole Accueil Géométrie affine Convexité Construire par points une hyperbole H connaissant ses asymptotes et un de ses points. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Comment obtient-on l’intersection de H avec une droite passant par un de ses points? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Soit M le point donné, D une droite non parallèle aux asymptotes passant par ce point et P , Q les points d’intersection de cette droite avec les asymptotes. Le symétrique N de M par rapport au milieu I de P Q appartient à H. On obtient ainsi autant de points de H que l’on veut. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Projection et affinités Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soit, dans l’espace affine E de dimension 3 rapporté à un repère cartésien (0,~i,~j,~k), → − P le plan d’équation 2x − 3y + 8z − 4 = 0 et D la droite vectorielle de vecteur directeur ~u = 3~i − 2~j − ~k. Donner l’expression en coordonnées de la projection sur → − P dans la direction D , puis, pour tout réel λ, de l’affinité de base P , de direction − → D et de rapport λ. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Soit M0 un point de E de coordonnées (x0 ,y0 ,z0 ). La droite de vecteur directeur ~u passant par M0 admet la représentation paramétrique x = x0 + 3t, y = y0 − 2t, z = z0 − t. Le point d’intersection de cette droite avec le plan P (i.e. le projeté de M0 sur le plan P dans la direction D) est le point M00 de paramètre t0 vérifiant 1 2(x0 + 3t0 ) − 3(y0 − 2t0 ) + 8(z0 − t0 ) − 4 = 0, i.e. t0 = − (2x0 − 3y0 + 8z0 − 4). Les 4 coordonnées de ce point sont donc : −2x0 + 9y0 − 24z0 + 12 x = 4 4x0 − 2y0 + 16z0 − 8 y = 4 2x0 − 3y0 + 12z0 − 4 z = . 4 −−−−→ −−−→ L’image M000 de M0 par l’affinité de base P et de rapport λ vérifie M00 M000 = λM00 M0 , −−−−→ −−−→ −−−−→ −−−→ d’où M0 M000 = M0 M00 + M00 M000 = (1 − λ)M0 M00 = (1 − λ)t0~u. C’est donc le point de paramètre (1 − λ)t0 , de coordonnées : (6λ − 2)x0 − 9(λ − 1)y0 + 24(λ − 1)z0 − 12(λ − 1) 4 4(1 − λ)x0 + (6λ − 2)y0 + 16(1 − λ)z0 + 8(λ − 1) y = 4 2(1 − λ)x0 + 3(λ − 1)y0 + (12 − 8λ)z0 + 4(λ − 1) z = . 4 x = Table Transformation affine du plan Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Déterminer les points fixes, puis la nature géométrique de la transformation f du plan définie par : x0 = 3x − 4y + 8 y 0 = 2x − 3y + 8 . Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne L’ensemble des points fixes de f estla droite D d’équation x−2y+8 = 0. La matrice 3 −4 . Le polynôme caractéristique de A est de la partie linéaire de f est A = 2 −3 X 2 − 1 ; A admet donc les deux valeurs propres +1 et −1. Le sous-espace propre → − associé à la valeur propre −1 est la droite vectorielle D 0 d’équation x − y = 0. On → − en déduit que f est la symétrie par rapport à la droite D dans la direction D 0 . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Position relative de deux cercles Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit, dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé, C1 et C2 les deux cercles d’équations respectives x2 +y 2 −8x−8y −32 = 0 et x2 +y 2 −6x−2y +6 = 0. Déterminer le centre et le rayon de chacun de ces cercles, puis leur position l’un par rapport à l’autre. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Les équations de C1 et C2 s’écrivent (x−4)2 +(y −4)2 = 64 et (x−3)2 +(y −1)2 = 4. Le centre O1 de C1 (resp. O2 de C2 ) a donc pour coordonnées (4,4) (resp.√(3,1)) et son rayon est R1 = 8 (resp. R2 = 2). La distance O1 O2 des centres est 10, et l’inégalité O1 O2 + R2 < R1 montre que C2 est intérieur à C1 , puisque tout point M de C2 vérifie O1 M ≤ O1 O2 + O2 M < R1 . Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Perpendiculaire commune Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes L’espace est rapporté à un repère orthonormé. Donner des équations de la perpendiculaire commune aux droites D1 d’équations 8 > < x+y−z−1=0 > :2x + y + z = 0 et D2 déterminée par le point A2 de coordonnées (1,0,1) et le vecteur directeur ~v2 de composantes (1, − 1,0). Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente La perpendiculaire commune ∆ aux deux droites admet comme vecteur directeur ~u le produit vectoriel ~v1 ∧ ~v2 d’un vecteur directeur ~v1 de D1 par ~v2 . Le vecteur ~v1 s’obtient en faisant le produit vectoriel de vecteurs normaux aux deux plans définissant D1 , i.e. des vecteurs (1,1, − 1) et (2,1,1), d’où ~v1 = (2, − 3, − 1) et ~u = (−1, − 1,1). La droite ∆ est alors l’intersection du plan P1 contenant D1 et parallèle à ~u et du plan P2 contenant D2 et parallèle à ~u. Tout plan contenant D1 a une équation de la forme λ(x + y − z − 1) + µ(2x + y + z) = 0. Le vecteur ~u appartient à la direction de ce plan si et seulement si −(λ − µ) − (λ + µ) + (−λ + µ) = 0, i.e. 3λ + 2µ = 0. On peut donc prendre λ = −2, µ = 3, d’où une équation de P1 : 4x + y + 5z + 2 = 0. 1 −1 x − 1 Une équation de P2 s’obtient en annulant le déterminant −1 −1 y et s’écrit 0 1 z − 1 donc x + y − 2z + 3 = 0. La perpendiculaire commune aux deux droites D1 et D2 admet donc les équations : 8 Suivante > < 4x + y + 5z + 2 = 0 > : x + y − 2z + 3 = 0 . Plein écran Quitter Suite Distance de deux droites Accueil Géométrie affine Déterminer la distance de ces deux droites. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies La distance de ces deux droites s’obtient comme distance du point A2 au plan passant par D1 et parallèle à D2 . L’équation de ce plan est de la forme λ(x + y − z − 1) + µ(2x + y + z) = 0. Le vecteur ~v2 appartient à sa direction si et seulement si (λ − µ) − (λ + µ) = 0, i.e. µ = 0, d’où l’équation x + y − z − 1 = 0. La distance 1 de A2 à ce plan est alors √ . 3 On remarque en particulier qu’on n’a pas besoin de déterminer la perpendiculaire commune aux deux droites pour calculer leur distance. On peut cependant calculer les coordonnées des pieds I1 et I2 de la perpendiculaire commune (i.e. des points d’intersection de cette perpendiculaire avec les droites D1 et D2 ). On obtient les 7 2 1 8 11 points I2 (− , ,1) et I1 (− ,4, ), dont la distance est bien √ . 3 3 3 3 3 Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Equation normale d’une droite, bissectrices Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé. Montrer que toute droite D admet une équation normale de la forme x cos α + y sin α − p = 0. Interpréter les paramètres α et p. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit ~u(α) = (cos α, sin α) un vecteur unitaire normal à D, H le projeté orthogonal −−→ de l’origine O sur D, et p le réel défini par OH = p~u(α). Un point M appartient à D −−→ si et seulement si OM ·~u(α) = p, i.e. si et seulement si f (x,y) = x cos α+y sin α−p = 0. On peut remarquer qu’une droite admet deux équations normales correspondant aux choix des vecteurs normaux ~u(α) et ~u(α + π) (ces équations sont f (x,y) = 0 et −f (x,y) = 0). Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine Soit ABC un triangle, fA (x,y) = 0, fB (x,y) = 0, fC (x,y) = 0 les équations des droites BC, CA et AB normalisées de sorte que fA (xA ,yA ) > 0, fB (xB ,yB ) > 0, fC (xC ,yC ) > 0. Ecrire les équations des bissectrices du triangle ABC en fonction de fA , fB , fC . Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Un point appartient à l’une des deux bissectrices en A si et seulement si il est équidistant des droites AB et AC, i.e. si et seulement si ses coordonnées (x,y) vérifient |fB (x,y)| = |fC (x,y)|. Les équations de ces deux bissectrices sont donc fB (x,y) − fC (x,y) = 0 et fB (x,y) + fC (x,y) = 0. Le centre I du cercle inscrit est du même côté de AB que C : il vérifie donc fC (xI ,yI ) > 0. De même fB (xI ,yI ) > 0. L’équation de la bissectrice intérieure en A est donc fB (x,y) − fC (x,y) = 0 et celle de la bissectrice extérieure fB (x,y) + fC (x,y) = 0. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine On suppose le triangle ABC non isocèle en A. Montrer que la droite d’équation fA (x,y) − fB (x,y) − fC (x,y) = 0 passe par les pieds des bissectrices intérieures en B et C, ainsi que par le pied de la bissectrice extérieure en A. Montrer de même que les pieds des trois bissectrices extérieures du triangle sont alignés. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Les coordonnées (x,y) du pied de la bissectrice intérieure en B vérifient fA (x,y) − fC (x,y) = 0 et fB (x,y) = 0, donc fA (x,y) − fC (x,y) − fB (x,y) = 0. Les pieds des bissectrices intérieure en C et extérieure en A vérifient également cette équation. Ces trois points sont donc alignés. De même, les pieds des trois bissectrices extérieures vérifient tous l’équation fA (x,y)+ fB (x,y) + fC (x,y) = 0. Ils sont donc alignés. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Réflexion Accueil Géométrie affine Convexité L’espace est rapporté à un repère orthonormé. Donner l’expression en coordonnées de la réflexion par rapport au plan P d’équation x − y + z + 5 = 0. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Le vecteur de composantes (1, − 1,1) est orthogonal à P . La droite orthogonale à P passant par le point M de coordonnées (x,y,z) admet donc la représentation paramétrique X = x + λ, Y = y − λ, Z = z + λ. x−y+z+5 Son intersection avec P est le point de paramètre λ = − . 3 Le point symétrique de M par rapport à P est le point de paramètre 2λ. Il a donc pour coordonnées : x + 2y − 2z − 10 3 2x + y + 2z + 10 y0 = 3 −2x + 2y + z − 10 z0 = . 3 x0 = Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Isométrie de l’espace Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes L’espace affine euclidien E de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé. Etudier la nature géométrique de la transformation de E qui à un point M de coordonnées (x,y,z) associe le point M 0 de coordonnées (x0 ,y 0 ,z 0 ) définies par : x0 = z y0 = y z0 = x − 2 (on précisera les éléments caractéristiques de cette transformation). Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies 0 0 1 La transformation f étudiée est affine et la matrice 0 1 0 de sa partie linéaire 1 0 0 f~ est orthogonale de déterminant −1 ; f est donc un antidéplacement, qui n’admet pas de point fixe puisque le système x = z, z = x − 2 n’admet pas de solution. C’est donc une symétrie glissée, i.e. le produit commutatif t~u ◦ sP = sP ◦ t~u d’une → − translation de vecteur ~u et d’une réflexion de plan P , avec ~u ∈ P . La transformation f ◦ f = t2~u est la translation de vecteur (−2,0, − 2) ; ~u est donc le vecteur (−1,0, − 1). La réflexion sP = t−~u ◦ f est donnée par les formules x0 = z + 1, y 0 = y, z 0 = x − 1. C’est donc la symétrie orthogonale par rapport au plan P d’équation x − z − 1 = 0. Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Isométrie de l’espace Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide L’espace affine euclidien E de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé. Etudier la nature géométrique de la transformation f de E qui à un point M de coordonnées (x,y,z) associe le point M 0 de coordonnées (x0 ,y 0 ,z 0 ) définies par : √ √ x + y − 2 z − 3 + 2 x0 = √2 √ x + y + 2 z − 1 − 2 y0 = √ √ 2 √ 2 x − 2 y + 2 + 2 z0 = 2 (on précisera les éléments caractéristiques de cette transformation). Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution √ 1 1 −√ 2 1 La matrice A = de la partie linéaire f~ de f est orthogonale 1 1 2 √ 2 √ 2 − 2 0 de déterminant 1 ; f est donc une rotation ou un vissage. La trace de A est égale à 1 ; il en résulte que l’angle de f~ est droit. → − L’axe D de f a pour direction D le sous-espace propre de f~ associée à la valeur propre -1, qui est la droite vectorielle engendrée par le vecteur ~u = (1,1,0). −−−−−→ L’axe est l’ensemble des points M tels que le vecteur M f (M ) soit proportionnel à ~u. C’est donc la droite dirigée par ~u et passant par le point (0,1,1). −−−−−→ Le vecteur de ce vissage est le vecteur M f (M ) pour tout point M de D. C’est donc le vecteur −~u. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Isométries du cube et du tétraèdre Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soit, dans l’espace affine euclidien E de dimension 3 rapporté à un repère orthonormé (O,~i,~j,~k), C le cube de sommets les points de coordonnées (±1, ± 1, ± 1) et G le groupe des isométries de E laissant C globalement invariant. Montrer que tout élément f de G laisse O fixe et conserve globalement l’ensemble des points de coordonnées (±1,0,0), (0, ± 1,0), (0,0, ± 1). Décrire les matrices dans la base (~i,~j,~k) des parties linéaires de tous les éléments de G. En déduire le cardinal de G. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Solution Quitter Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Tout élément de G est une transformation affine qui laisse globalement invariant l’ensemble des sommets de C, donc laisse fixe l’isobarycentre O de ces sommets. Toute face du cube est transformée en une face : il en résulte que l’ensemble des milieux des faces est globalement conservé. La partie linéaire f~ d’un élément f de G conserve donc globalement l’ensemble des 6 vecteurs {±~i, ± ~j, ± ~k}. Sa matrice dans la base (~i,~j,~k) comporte donc dans chaque ligne et dans chaque colonne un élément non nul et un seul, égal à ±1. Réciproquement toute transformation affine f de E conservant O et dont la partie linéaire f~ a une telle matrice conserve le cube. On trouve ainsi 48 éléments dans G (6 permutations des vecteurs de base et pour chacune de ces permutations 8 choix de signes). Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Soit T le tétraèdre régulier de sommets (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1). Montrer que le groupe H des isométries de E conservant globalement T est un sous-groupe de G. Déterminer le nombre d’éléments de ce groupe. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Toute isométrie conservant globalement T laisse fixe l’isobarycentre O de ses sommets et conserve globalement l’ensemble des milieux de ses arêtes, i.e. l’ensemble des points de coordonnées (±1,0,0), (0, ± 1,0), (0,0, ± 1). On en déduit que H est un sous-groupe de G. L’image du tétraèdre T par un élément de G est soit T , soit le tétraèdre T 0 de sommets (−1, − 1, − 1), (−1,1,1), (1, − 1,1), (1,1, − 1) symétrique de T par rapport à O. On en déduit un homomorphisme de groupes de G dans le groupe des permutations de {T,T 0 } dont H est le noyau. Le sous-groupe H de G est donc d’indice 2 et a 24 éléments. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Equation d’une conique Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Ecrire l’équation de l’hyperbole H √ de foyer F (3,2), de directrice D d’équation x − y + 1 = 0 et d’excentricité 2. Déterminer le centre de symétrie de H, puis le second couple foyer-directrice (F 0 ,D0 ). Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Le point M de coordonnées (x,y) appartient à H si et seulement si M F 2 = 2d(M,D)2 , i.e. si et seulement si (x − 3)2 + (y − 2)2 = (x − y + 1)2 , ou encore xy − 4x − y + 6 = 0. Cette équation s’écrit encore (x − 1)(y − 4) = −2, soit, en posant X = x−1, Y = y −4, XY = −2, ce qui montre que le centre Ω de H a pour coordonnées (1,4). Le foyer F 0 est le symétrique de F par rapport à Ω et a donc pour coordonnées (−1,6) et la directrice associée D0 pour équation y − x − 5 = 0 (la symétrie par rapport à Ω s’écrit en effet en coordonnées x0 = 2 − x, y 0 = 8 − y). Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Construction de l’ellipse par le procédé de la bande de papier Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Sur un segment AB de longueur fixée a + b dont les extrémités A et B se déplacent sur deux axes orthogonaux Ox et Oy, on place un point M tel que AM = b (et donc BM = a). Déterminer la courbe décrite par le point M quand A et B varient. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine −→ −−→ Soit t une mesure de l’angle (BA,BO) et (x,y) les coordonnées de M dans le repère Oxy. Les égalités x = a cos t, y = b sin t montrent que M décrit un quart d’ellipse quand A décrit la demi-droite Ox et B la demi-droite Oy. Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Paramétrisation du cercle Accueil Géométrie affine Convexité 1 + it est une bijection de R sur le cercle unité 1 − it U privé du point −1. Expliciter l’application réciproque de ϕ. Montrer que l’application ϕ : t 7→ Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution 1 + it 1 + it = 1. En écrivant = eiα et en posant t = tan θ, Remarquez que 1 − it 1 − it exprimez α en fonction de θ. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes 1 + it 1 + it |1 + it| = = 1 montre qu’il existe α ∈] − π, + π] tel que = L’égalité 1 − it |1 − it| 1 − it π π eiα . En posant t = tan θ (pour tout réel t, il existe un unique θ ∈ − , + 2 2 1 + it 1 − t2 2it vérifiant cette égalité), on obtient = + = cos α + i sin α, d’où 1 − it 1 + t2 1 + t2 cos α = cos 2θ et sin α = sin 2θ, i.e. α = 2θ. Cette relation montre que ϕ est une bijection de R sur U \ {−1}, la bijection réciproque étant donnée par z = eiα 7→ α sin α Im (z) 1 − cos α 1 − Re (z) tan , qui peut aussi s’écrire = ou = si 2 1 + cos α 1 + Re (z) sin α Im (z) z 6= 0. L’interprétation géométrique de la relation α = 2θ résulte du théorème de l’angle inscrit. Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Orthocentre Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soient b et c deux nombres complexes. Donner une condition nécessaire et suffisante faisant intervenir les modules de b et c pour que les vecteurs d’affixes b + c et c − b soient orthogonaux. Interpréter géométriquement cette condition. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Le produit scalaire de ces deux vecteurs s’écrit : Accueil Géométrie affine Convexité (b + c)(c − b) + (b + c)(c − b) = |c|2 − |b|2 . 2 Il est donc nul si et seulement si |b| = |c|. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Soient B, C et D les points du plan complexe d’affixes b, c et b + c. Le quadrilatère OBDC est un parallélogramme et les nombres complexes b + c et c − b −−→ −−→ sont les affixes des vecteurs OD et BC. La condition |b| = |c| signifie que ce parallélogramme est un losange : on retrouve ainsi le fait qu’un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires. Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit ABC un triangle non aplati du plan affine euclidien, O le centre de son cercle circonscrit. On rapporte le plan à un repère orthonormé d’origine O et on note a, b, c les affixes des points A, B, C. Montrer que le point H d’affixe h = a + b + c appartient aux trois hauteurs du triangle ABC. En déduire que ces trois hauteurs −−→ −→ sont concourantes et que leur point d’intersection H vérifie OH = 3OG, où G est le centre de gravité du triangle (en particulier O, G et H sont alignés). Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne O étant équidistant des trois points A, B et C, on a |a| = |b| = |c|. Les vecteurs −−→ −−→ AH et BC, d’affixes b + c et c − b sont donc orthogonaux, ce qui montre que H appartient à la hauteur issue de A. Il appartient de même aux deux autres hauteurs. C’est donc l’orthocentre du triangle ABC. Le centre de gravité du triangle G est −−→ −→ a+b+c le point d’affixe g = . On a donc OH = 3OG. 3 Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Table Deux carrés (ou trois. . . ) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soient, dans le plan affine euclidien, ABCD et AEF G deux carrés de même orientation ayant un sommet commun et P , Q, R, S les milieux respectifs des segments BD, DE, EG et GB. Montrer que P QRS est un carré. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Indication : Accueil Géométrie affine Convexité Considérer un repère orthonormé d’origine A, dans lequel B a pour affixe b, E pour −→ −→ affixe e, et écrire les affixes des vecteurs P R et QS (par exemple). Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Soit b l’affixe de B et e l’affixe de E dans un repère orthonormé d’origine A. Les points P , Q, R, S ont pour affixes respectives : (1 + i)b p = 2 e + ib q = 2 (1 + i)e r = 2 b + ie s = 2 −→ −→ et les vecteurs P R et QS pour affixes : (1 + i)(e − b) 2 (1 − i)(b − e) s−q = . 2 Les segments P R et QS sont donc orthogonaux, de même longueur et se coupent s+q r+p en leur milieu, puisque s − q = i(r − p) et = . Il en résulte que P QRS 2 2 est un carré. r−p = Autre solution Retour Table Deux carrés (ou trois. . . ) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit, dans le plan complexe, ABC un triangle, f une rotation de centre Ω et d’angle π , et A0 B 0 C 0 l’image du triangle ABC par f . On note P , Q, R les milieux respectifs 3 des segments AC 0 , BA0 et CB 0 . Montrer que le triangle P QR est équilatéral. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Indication Quitter Solution Ecrire l’affixe z 0 de l’image M 0 = f (M ) d’un point M d’affixe z par la rotation f (on pourra prendre un repère orthonormé d’origine Ω), puis les affixes des vecteurs −→ −→ P Q et P R en fonction des affixes de A, B, C. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution 2iπ Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne iπ Posons j = e 3 , d’où e 3 = −j 2 , et 1 + j + j 2 = 0. L’affixe z 0 de l’image M 0 = f (M ) d’un point M d’affixe z par f est z 0 = −j 2 z. Les points A0 , B 0 , C 0 ont donc pour affixes a0 = −j 2 a, b0 = −j 2 b, c0 = −j 2 c si les affixes de A, B, C sont a, b, c. a − j 2c b − j 2a c − j 2b Les points P , Q, R ont pour affixes p = ,q= ,r= . 2 2 2 −→ L’affixe du vecteur P Q est donc : Isométries planes b + ja + j 2 c q−p= 2 Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente −→ et celle du vecteur P R : −j 2 b − a − jc = −j 2 (q − p) . 2 −→ −→ Le vecteur P R est donc l’image du vecteur P Q par la rotation vectorielle d’angle π , ce qui montre que le triangle P QR est équilatéral. 3 r−p= Suivante Plein écran Quitter Retour Table Configuration de Vecten Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes À l’extérieur d’un triangle ABC, on construit trois carrés de bases les côtés et de centres P , Q, R. Montrer que les segments AP et QR (resp. BQ et RP , CR et P Q) sont orthogonaux et de même longueur. En déduire que les droites AP , BQ et CR sont concourantes. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Soient a, b, c les affixes des points A, B, C dans un repère orthonormé. Des relations b−p = i(c−p), c − q = i(a − q), a − r = i(b − r), on déduit que les points P , Q, R ont pour affixes respectives : Accueil p= Géométrie affine Convexité −→ −→ et les vecteurs AP et QR pour affixes : Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique b − ic c − ia a − ib , q= , r= 1−i 1−i 1−i p−a= a − ib − c + ia b − ic − (1 − i)a , r−q = . 1−i 1−i La relation r − q = −i(p − a) montre que les segments AP et QR sont orthogonaux et de même longueur. Il en va de même pour BQ et RP (resp. CR et P Q) par permutation circulaire. Les droites AP , BQ et CR sont les hauteurs du triangle P QR : elles sont donc concourantes. Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Triangles de Napoléon Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne On construit à l’extérieur d’un triangle ABC trois triangles équilatéraux BCA0 , CAB 0 et ABC 0 , de centres respectifs P , Q, R. Montrer que le triangle P QR est équilatéral. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Soient a, b, c, p, q, r les affixes des points A, B, C, P , Q, R et j = e2iπ/3 . Les angles −→ −−→ −→ −→ −→ −→ (P C,P B), (QA,QC), (RB,RA) étant tous égaux à 2π/3, on a b − p = j(c − p), b − jc c − ja a − jb c − q = j(a − q), a − r = j(b − r). On en déduit p = ,q= ,r= . 1−j 1−j 1−j −→ −→ En utilisant la relation 1 + j + j 2 = 0, on voit que les vecteurs P Q et P R ont −ja − b − j 2 c a + j 2 b + jc pour affixes q − p = et r − p = . La relation r − p = 1−j 1−j −j 2 (q − p) = eiπ/3 (q − p) montre que le triangle P QR est équilatéral. Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Table Quitter Le théorème de Ptolémée Accueil Géométrie affine Convexité Soient A, B, C, D quatre points du plan affine euclidien. Démontrer l’inégalité : (∗) AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC . Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Montrer qu’on a égalité dans (∗) si et seulement si les quatre points A, B, C, D sont : • soit alignés dans cet ordre • soit les sommets consécutifs d’un quadrilatère convexe et cyclique. Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Soient a, b, c, d les affixes respectives des points A, B, C, D. Comparer (c−a)(d−b) et (b − a)(d − c) + (d − a)(c − b). À quelle condition a-t-on égalité dans l’inégalité triangulaire? Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution De l’égalité (c − a)(d − b) = (b − a)(d − c) + (d − a)(c − b), on tire : Accueil Géométrie affine AC.BD = |(c − a)(d − b)| = |(b − a)(d − c) + (d − a)(c − b)| ≤ |(b − a)(d − c)| + |(d − a)(c − b)| = AB.CD + AD.BC Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter (le produit des longueurs des diagonales d’un quadrilatère est inférieur à la somme des produits des longueurs des côtés opposés). On a égalité dans l’inégalité triangulaire |(b − a)(d − c) + (d − a)(c − b)| ≤ |(b − a)(d − c)| + |(d − a)(c − b)| si et seulement si (b − a)(d − c) est un réel positif, i.e. si et seulement si (d − a)(c − b) (b − a)(d − c) = 0 (mod 2π) . (d − a)(c − b) −−→ −→ −−→ −−→ Mais cet argument est l’angle (AD,AB)−(CD,BC). La condition peut donc encore s’écrire : −−→ −→ −−→ −−→ (AD,AB) = (CD,CB) + π Arg et signifie que les points A, B, C, D sont soit alignés dans cet ordre, soit les sommets consécutifs d’un quadrilatère convexe et cyclique. Table Projection orthogonale d’un cube Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques L’espace affine euclidien E de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé (O,~i,~j,~k). On identifie le plan P d’équation z = 0 au plan complexe. Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que trois points A0 , B 0 , C 0 du plan P , d’affixes a, b, c, soient les projections orthogonales sur P des sommets A, B, C d’un cube de sommet O adjacents à O est : a2 + b 2 + c 2 = 0 . Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes xA xB xC Soit yA yB yC la matrice des coordonnées des points A, B, C dans le repère zA zB zC orthonormé (O,~i,~j,~k). Montrez que les vecteurs colonnes de cette matrice sont deux à deux orthogonaux et de même norme si et seulement si les vecteurs lignes de cette même matrice vérifient la même propriété. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Les points A, B, C sont les −→ OA seulement si les vecteurs , OA Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter sommets adjacents au sommet O d’un cube si et −−→ −→ → − OB OC , forment une base orthonormée de E , i.e. OB OC xA xB xC des si et seulement si les vecteurs colonnes de la matrice M = yA yB yC zA zB zC coordonnées des points A, B, C dans le repère orthonormé (O,~i,~j,~k) sont deux à deux orthogonaux et de même norme r, i.e. si et seulement si il existe un réel 1 r tel que la matrice M soit orthogonale. Une matrice étant orthogonale si et r seulement si sa transposée l’est, cette condition signifie que les vecteurs lignes de M sont orthogonaux et de même norme. Mais la relation a2 + b2 + c2 = (xA + iyA )2 + (xB + iyB )2 + (xC + iyC )2 = (x2A + x2B + x2C ) − (yA2 + yB2 + yC2 ) + 2i(xA yA + xB yB + xC yC ) montre que cette condition implique a2 + b2 + c2 = 0. Réciproquement, si cette dernière condition est vérifiée, les deux premières lignes de M sont orthogonales et de même norme r. Il existe alors un vecteur (zA ,zB ,zC ) 1 (et un seul au signe près) tel que la matrice M soit orthogonale. r Retour Suite Exemple numérique : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soit a = 3+2i, b = 6−3i. Montrer qu’il existe exactement deux nombres complexes c, que l’on déterminera, vérifiant a2 + b2 + c2 = 0. Représenter les projections orthogonales sur P des cubes correspondants. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Accueil Géométrie affine Convexité Si a = 3 + 2i et b = 6 − 3i, on a a2 + b2 = 32 − 24i, d’où c2 = −32 + 24i et c = 2 + 6i ou c = −2 − 6i. On peut donc construire les projections des sommets O, A, B, C du cube. On complète ensuite les projections des faces en remarquant que ces projections sont des parallélogrammes. On obtient ainsi quatre cubes de longueur d’arête 7, correspondant aux quatre matrices M : Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques 3 6 2 2 −3 6 6 −2 −3 3 6 2 2 −3 6 −6 2 3 3 6 −2 2 −3 −6 −6 2 −3 Géométrie analytique 3 6 −2 2 −3 −6 6 −2 3 a Complexes c a o c o Homographies b a b a o o c Aide b c b Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Suite Projection orthogonale d’un tétraèdre régulier Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes En déduire que trois nombres complexes a, b, c sont les affixes des projections orthogonales sur P des sommets A, B, C d’un tétraèdre régulier OABC si et seulement si ils vérifient la relation : 3(a2 + b2 + c2 ) − 2(ab + bc + ca) = 0 . Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution OABC est un tétraèdre régulier si et seulement si il existe trois points R, S, T −→ −→ −→ de l’espace, sommets adjacents au sommet O d’un cube tels que OA = OS + OT , −−→ −→ −→ −→ −→ −→ OB = OT + OR, OC = OR + OS. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Accueil Géométrie affine Pour tout triplet (A,B,C) de points de E, il existe un et un seul triplet (R,S,T ) −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −→ −→ de points de E vérifiant OA = OS + OT , OB = OT + OR, OC = OR + OS : ce −→ −−→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ système équivaut en effet à OA − OB − OC = −2OR, OB − OC − OA = −2OS, −→ −→ −−→ −→ OC − OA − OB = −2OT . Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Un calcul élémentaire montre que le tétraèdre OABC est régulier si et seulement si les points R, S, T sont les sommets ajacents à O d’un cube de sommet O. Soient alors a, b, c, r, s, t les affixes des projections orthogonales des points A, B, C, R, S, T sur le plan P . La relation i 1h (b + c − a)2 + (c + a − b)2 + (a + b − c)2 4 i 1h 2 = 3(a + b2 + c2 ) − 2(ab + bc + ca) 4 r2 + s2 + t2 = et le résultat de la première partie montrent que r, s, t sont les affixes des projections orthogonales sur P des sommets adjacents à O d’un cube de sommet O si et seulement si r2 +s2 +t2 = 0, i.e. si et seulement si 3(a2 +b2 +c2 )−2(ab+bc+ca) = 0. Plein écran Quitter Table Accueil Géométrie affine z−a Lignes de niveau de z−b Convexité Géométrie euclidienne Soient a et b deux nombres complexes distincts. Déterminer les lignes de niveau Isométries planes ( Géométrie analytique Complexes z − a = k Lk = z ∈ C | z − b Isométries de l’espace Coniques ) (k > 0) z − a . de la fonction z → 7 z − b Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution z − a 2 2 2 = k s’écrit |z − a| − k |z − b| = 0 ou encore : La relation z−b Accueil Géométrie affine (1 − k 2 )z z̄ − (a − k 2 b)z̄ − (ā − k 2 b̄)z + aā − k 2 bb̄ = 0 Convexité On reconnaı̂t là l’équation : Géométrie euclidienne a − k2b k|b − a| et de rayon si k 6= 1 ; 1 − k2 1 − k2 • de la droite d’équation (b − a)z̄ + (b̄ − ā)z + |a|2 − |b|2 = 0 si k = 1. a+b a+b ) + (b − a)(z − )=0 Cette dernière équation s’écrit encore (b − a)(z − 2 2 a+b et exprime l’orthogonalité des vecteurs d’affixes b − a et z − . 2 On retrouve ainsi des résultats bien connus. L’ensemble Lk est l’ensemble des points M du plan dont le rapport des distances aux points A et B d’affixes respectives a et b est égal à k. C’est un cercle dont le centre est le barycentre du système pondéré kAB ((A,1),(B, − k 2 )) et le rayon si k 6= 1, la médiatrice de AB si k = 1. 1 − k2 Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente • du cercle de centre le point d’affixe Suivante Plein écran Quitter Table Matrices et homographies Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Montrer que l’application du groupe GL2 (C) des matrices carrées d’ordre 2 inverc sibles à coefficients complexes dans le groupe des homographies de C qui à une az + b a b est un matrice A = associe l’homographie fA définie par fA (z) = c d cz + d homomorphisme de groupes. Déterminer son noyau. En déduire que le groupe des c homographies de C est isomorphe au groupe quotient P GL2 (C) de GL2 (C) par le sous-groupe des matrices λI2 , λ complexe non nul. Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution a b Soient A = c d plexes. L’égalité : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes et A0 = a0 b 0 c0 d0 deux matrices inversibles à coefficients com a0 z + b a 0 +b cz+d fA ◦ fA0 (z) = 0 az+b c 0 +d cz+d (aa0 + bc0 )z + ab0 + bd0 = (ca0 + dc0 )z + cb0 + dd0 = fAA0 (z) . Homographies Aide Précédente montre que l’application A 7→ fA est un homomorphisme de groupes. Son noyau est le sous-groupe K des matrices A telles que fA = idCb , i.e. des matrices scalaires λI2 , λ complexe non nul. On en déduit que le groupe des homographies est isomorphe au groupe quotient P GL2 (C) de GL2 (C) par K. Suivante Plein écran Quitter Table Points fixes d’une homographie (1) Accueil Géométrie affine Convexité c Montrer que toute homographie f de C différente de l’identité admet exactement c un ou deux points fixes dans C. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Soit f (z) = Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace az + b c une homographie de C. cz + d b . d−a • Si c = 0 et a = d, le seul point fixe de f est ∞. • Si c 6= 0, les points fixes de f sont les solutions dans C de l’équation du second degré cz 2 + (d − a)z − b = 0. Cette équation admet 2 solutions si (d − a)2 + 4bc 6= 0, une sinon. • Si c = 0 et a 6= d, f laisse fixe ∞ et le point Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Points fixes d’une homographie (2) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne c Montrer que toute homographie f de C admettant exactement un point fixe dans c c C est conjuguée dans le groupe des homographies de C à une translation z 7→ z + b, ∗ b∈C . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne c Soit f une homographie admettant le seul point fixe z0 dans C et g une homographie −1 vérifiant g(z0 ) = ∞. L’homographie h = g◦f ◦g a pour seul point fixe ∞. En effet h(z) = z équivaut à f (g −1 (z)) = g −1 (z) et donc à g −1 (z) = z0 , i.e. z = g(z0 ) = ∞. L’homographie h est donc de la forme h(z) = az + b avec a = 1 (sinon h aurait un point fixe dans C en plus du point fixe ∞). Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Points fixes d’une homographie (3) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne c Montrer que toute homographie f de C admettant exactement deux points fixes c c dans C est conjuguée dans le groupe des homographies de C à une similitude de ∗ centre 0 : z 7→ az, a ∈ C . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soit f une homographie admettant les deux points fixes z1 et z2 et g une homographie vérifiant g(z1 ) = ∞, g(z2 ) = 0 (on vérifiera qu’il existe bien toujours une telle homographie, en distinguant le cas où l’un des points fixes de f est ∞). L’homographie h = g ◦ f ◦ g −1 admet les deux points fixes ∞ et 0. En effet h(z) = z équivaut à f (g −1 (z)) = g −1 (z) et donc à g −1 (z) = z1 , i.e. z = g(z1 ) = ∞, ou g −1 (z) = z2 , i.e. z = g(z2 ) = 0. L’homographie h est donc de la forme h(z) = az + b, avec a ∈ C∗ , puisque h(∞) = ∞ et b = 0, puisque h(0) = 0. Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Points fixes d’une homographie (4) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Montrer que toute homographie f involutive (i.e. différente de l’identité et telle que f ◦ f soit l’identité) est conjuguée dans le groupe des homographies à la symétrie de centre 0 : z 7→ −z. Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Table Accueil Géométrie affine Convexité Une telle homographie admet nécessairement deux points fixes, sinon elle serait conjuguée à une translation différente de l’identité et ne pourrait donc être involutive. Elle est donc conjuguée à une similitude de centre 0 : z 7→ az, a ∈ C∗ . Mais une telle similitude n’est involutive que si a2 = 1 et a 6= 1, i.e. a = −1, auquel cas elle est égale à la symétrie de centre 0. Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Table Invariant anallagmatique de deux cercles (1) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Soient Γ1 et Γ2 deux cercles sécants du plan complexe, O1 et O2 leurs centres, R1 Ù et R2 leurs rayons, A et B leurs deux points d’intersection. Exprimer cos O 1 AO2 Ú et cos O1 BO2 en fonction de R1 , R2 et O1 O2 . Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Solution Suite On a évidemment : Accueil R12 + R22 − O1 O22 cos O1 AO2 = cos O1 BO2 = 2R1 R2 Ù Géométrie affine Convexité Ú (relation d’Al-Kashi dans les triangles O1 AO2 et O1 BO2 ). Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Invariant anallagmatique de deux cercles (2) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient Γ1 et Γ2 deux cercles quelconques du plan complexe, O1 et O2 leurs centres, R1 et R2 leurs rayons, |z|2 − a1 z̄ − ā1 z + c1 = 0 et |z|2 − a2 z̄ − ā2 z + c2 = 0 leurs R2 + R22 − O1 O22 en fonction de a1 , a2 , c1 , c2 . équations complexes. Exprimer 1 2R1 R2 Isométries de l’espace Coniques La valeur absolue de ce nombre s’appelle invariant anallagmatique des deux cercles. Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Suite L’équation complexe du cercle de centre O, d’affixe a, et de rayon R s’écrit : |z − a|2 = R2 Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes soit encore : |z|2 − az̄ − āz + |a|2 − R2 = 0 . Il en résulte qu’on a c1 = |a1 |2 − R12 , c2 = |a2 |2 − R22 et O1 O22 = |a1 − a2 |2 = |a1 |2 + |a2 |2 − a1 ā2 − a2 ā1 , d’où : R12 + R22 − O1 O22 a1 ā2 + a2 ā1 − c1 − c2 . = q 2R1 R2 2 (|a1 |2 − c1 )(|a2 |2 − c2 ) Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Suite Invariant anallagmatique de deux cercles (3) Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Soient Γ1 et Γ2 deux cercles quelconques du plan complexe d’équations respectives |z|2 − a1 z̄ − ā1 z + c1 = 0 et |z|2 − a2 z̄ − ā2 z + c2 = 0 et f une homographie du plan complexe telle que f (Γ1 ) et f (Γ2 ) soient des cercles. Montrer que l’invariant anallagmatique de f (Γ1 ) et f (Γ2 ) est égal à celui de Γ1 et Γ2 . Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Indication Solution Décomposez f en produit d’homographies simples et démontrez la propriété pour chacune de ces homographies. Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Solution Soit f (z) = Accueil relation Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide az + b une homographie qui n’est pas une similitude (c 6= 0). La cz + d a bc − ad + c c(cz + d) montre que f s’écrit comme un produit f = s2 ◦g◦s1 , où s1 et s2 sont des similitudes 1 directes et g est définie par g(z) = . Les similitudes conservent évidemment z l’invariant anallagmatique et f (Γ1 ) et f (Γ2 ) sont des cercles si et seulement si g transforme les cercles s1 (Γ1 ) et s1 (Γ2 ) en des cercles, i.e. si ces cercles ne passent pas par l’origine. Il suffit donc de démontrer la propriété dans le cas f = g. Mais g transforme le cercle Γ d’équation |z|2 − az̄ − āz + c = 0 (c 6= 0) en le cercle a ā 1 ā 1 Γ0 d’équation |z|2 − z − z̄ + = 0, i.e. de paramètres a0 = , c0 = . Un calcul c c c c c élémentaire montre alors que les invariants anallagmatiques de deux cercles et de leurs images par g sont égaux. f (z) = Précédente Suivante Plein écran Quitter Remarque Remarque : Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Cet exercice montre en particulier qu’une homographie conserve l’angle sous lequel se coupent deux cercles (à condition que les images de ces cercles soient des cercles); en particulier, elle transforme des cercles orthogonaux en des cercles orthogonaux. Cette propriété est en fait un cas particulier d’une propriété beaucoup plus générale : toute homographie est une transformation conforme, c’est-à-dire qu’elle conserve l’angle de deux courbes. Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter Retour Table Aide à la navigation Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Vous pouvez à partir de n’importe quelle page accéder à la liste des exercices de chaque chapitre en cliquant à gauche sur le titre de ce chapitre. En cliquant sur un élément de cette liste, vous accédez à l’énoncé correspondant. Aide Le bouton vous ramène à cette page. Les boutons Précédente et Suivante vous permettent de vous déplacer dans l’historique de votre navigation (pas dans l’ordre physique des pages). Le bouton Plein écran permet de basculer du mode Quitter ferme Acrobat plein écran au mode fenêtre et vice-versa. Le bouton Reader. La roulette et les boutons de votre souris vous permettent également de vous déplacer dans le texte (le fonctionnement est un peu différent en mode plein écran et en mode fenêtre). En mode fenêtre, un clic droit permet d’accéder à un menu contextuel et de retrouver les outils habituels d’Acrobat Reader (utile par exemple si vous voulez zoomer sur une figure ou imprimer une page). Les liens cliquables en cours de texte sont indiqués en rouge. Suivante Plein écran Quitter Un conseil : gardez toujours une feuille de papier et un crayon à portée de main : une figure même grossière que vous tracerez vous-même vous en apprendra souvent plus que la contemplation béate de l’écran. C’est bien : revenez. . . Accueil Géométrie affine Convexité Géométrie euclidienne Isométries planes Isométries de l’espace Coniques Géométrie analytique Complexes Homographies Aide Précédente Suivante Plein écran Quitter
