Sommaire - Educmath

1
Organiserl’enseignementautourd'unPERenclassedeSeconde
L’exempledelagéométrieplane
Sommaire
A Recherchedesraisonsd’être : Pourquoiétudierlagéométrie?......................................................................................... 1
1. Pourconstruire(oureproduire)desfigures .................................................................................................................. 1
2. Pourcomparerdesgrandeursgéométriques ................................................................................................................. 2
3. Pourétudierdeslieux..................................................................................................................................................... 2
4. Pourdéterminerlamesured’unegrandeurouunemesureapprochéed’unegrandeur.............................................. 3
5. Pourexprimerunegrandeurenfonctiond’autresgrandeurs ...................................................................................... 3
6. Pourconstruiredessegmentsdelongueurdonnée, c’estàdireinitieraucalculgraphique......................................... 3
B Quelquesélémentshistoriquesutilespourfairedeschoixquantàdesorganisationsmathématiques ................................ 4
1. lagéométriegrecque: .................................................................................................................................................... 4
2. lagéométriedeDescartes............................................................................................................................................... 5
3. Lagéométrievectorielle ................................................................................................................................................. 7
4. lestransformations:....................................................................................................................................................... 9
C ChoixpossiblesdePERpourlagéométrieplaneenclassede2
nde
..................................................................................... 10
DDétaild’unPER:Commentconstruireunefigureastreinte à respecterdesconditions ? .................................................... 11
1. Descriptiongénéraleduparcours ................................................................................................................................ 11
2. Détailduparcours ......................................................................................................................................................... 13
1Premièreétapeduparcours:présentationduparcoursauxélèves............................................................................. 13
2Deuxièmeétapeduparcours:Commentanalyserunefigureetreproduirecette figure. ........................................... 13
3Troisièmeétapeduparcours:constructionsexactesouapprochées? ....................................................................... 16
4 Quatrième étapeduparcours:donnerdenouvellestechniquespourjustifiersidesconstructionssontexactes....... 19
4Cinqième étapeduparcours:l’algèbrepourconstruire.............................................................................................. 23
5Sixième étapeduparcours:l’algèbrepourconstruireàl’aidedesidentitésremarquables ....................................... 26
A Recherchedesraisonsd’être: Pourquoiétudierlagéométrie?
Onpeutliredansl’introductionduprogrammedeSeconde dedéterminationqu’ilest« composéde troisgrands
chapitres: statistique, calcul et fonctions, géométrie, pour chacun desquels les capacités attendues, en nombre
volontairementlimité,constituentlabasecommunedesprogrammesdesannéesultérieures».
Nousnoussommesposélesquestionssuivantes,trèsgénérales,àlarecherchedesraisonsd’êtredel’étudedeces
troisdomainesdesmathématiques:
Pourquoiétudierlesfonctions?Pourquoiétudierlagéométrie?Pourquoiétudierlesstatistiques?
Rares sont les réponses fournies par les programmes. Il faut faire des recherches à la fois dans et hors des
mathématiques. Si cette liste de réponses n'est jamais exhaustive, du moins son contenu n'estil pas de l'ordre d'un
choixpersonneldeteloutelmembredelacommunautédesMathématiquesmaisbeletbienconstituéeenpuisantdans
l'Histoire(etl'histoiredesmathématiquesenparticulier),danslesautresdisciplines,danslesproblèmesactuelsquise
posentàlasociété,...
LagéométrieestprésentedansleMondeetaideàcomprendrecetespacedanslequelnousvivons:
 formesdesobjetsdelaviequotidienne ;
 architecture (Antiquité,bâtisseursduMoyenAge,échangeursd’autoroute...);
 arts(peinture,instrumentsdemusique,pavage…);
 dansdiversessciences(cartographie,optique,mécanique,astronomie,informatique,…)
Indépendammentdescontenusdesprogrammes,quepouvonsnousrépondreàlaquestiongénérale :
Pourquoiétudierlagéométrie?
Voicidesproblématiquesmathématiquesabordablesauniveaudulycéeetlescontenuscorrespondants:
1. Pourconstruire(oureproduire)desfigures

2
Reproduire des figures telles que les sangakus, savoir comment on peut reproduire certains motifs architecturaux,
comme par exemple les rosaces gothiques de nombreuses églises ou bien savoir comment tel peintre a composé
certainsmotifssontautantdetâchesutilespourcomprendrelemondedanslequel onvit.
Pourrésoudrecetypedetâches,ilestnécessaired’analyserlafigureàconstruireouàreproduire.
Lestechniquesvarientselonquelafigureestdisponiblesurpapieroupasonpeutalorsimaginerquelepapiercalque
fera l’affaire ou bien que les dimensions sont directement accessibles ce qui peut favoriser une démarche de
reproduction.Maissouventlesfiguresàreproduireouàconstruireprésententdescontraintestellesquelamobilisation
de connaissancesmathématiquesestalorsnécessaire.
Certaines constructionssont des constructions utilisant des méthodesapprochées, d’autressont le fruit de méthodes
exactes.Restentàsavoircommentonpeutvalidersiuneméthodeestexacteonnon.Lesoutilsdegéométrieenseignés
(géométrie pure, transformations, voire géométrie analytique) ont pour fonction entre autres de répondre à cette
question.
2.Pourcomparerdesgrandeursgéométriques
Savoirsideuxgrandeurssontégalesousil’uneestplusgrandequel’autreestunequestionquipeutêtreconsidérée
commecréatricedelagéométrieenEgyptedansl’antiquité.
Lestechniquessontdiverses:
découpages,
pesées,
quadrillagepourlesaires,
pardesformulesétablieséventuellementàl’aidedecalculintégral,
pardesquadraturesoucubatures,
pardesdémonstrations(trianglesisométriquesparexemple)
…
LatabledeJoop :unetablecarréequisetransformeentabletriangulaire
http://images.google.fr/imgres?imgurl=http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/book2/photos2/sqtab.jpg&imgrefurl=http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/
book2/Booknews2/jooppic.html&usg=__ZO7wjDnYu_Epgoc1ZRWiutgzPjc=&h=544&w=699&sz=72&hl=fr&start=8&tbnid=rwQ9MNbR6xCu9M:&t
bnh=108&tbnw=139&prev=/images%3Fq%3Dtable%2Bjoop%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Dfr%26sa%3DN
3. Pourétudierdeslieux
L’étudedelieuxgéométriquesa étéàlasourcedecréationdetechniquesutiliséesdèsl’antiquitépourrésoudredes
constructionsparlaméthode ditedesdeuxlieux(trisectiondel’angleparexemple).
LeslieuxontaussiétélargementutilisésauXVIIesièclepourdéfinirdescourbesquelesmathématiciensétudiaient
suiteàlacréationdelagéométrieanalytique.
Lamécaniqueaaussiutilisél’étudedeslieuxpourconnaîtrelafaçondontsedéplaçaientcertainspointsd’unemachine
(biellemanivelleparexemple).
Lestechniquesderésolutionpeuventfaireapparaîtrediverscontenusmathématiques.

3
http://images.google.fr/imgres?imgurl=http://pagespersoorange.fr/alta.mathematica/images/hireelemens11.jpg&imgrefurl=http://pagesperso
orange.fr/alta.mathematica/lahire.html&usg=__y8s12ZSOlQqAyfHZp51xkcd
DQ=&h=810&w=663&sz=53&hl=fr&start=55&tbnid=kpQi5juBY4LpcM:&tbnh=144&tbnw=118&prev=/images%3Fq%3Dlieu%2Bg%25C3
%25A9om%25C3%25A9trique%26start%3D54%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26hl%3Dfr%26sa%3DN
4. Pourdéterminerlamesured’unegrandeurouunemesureapprochéed’unegrandeur
enutilisantdesformules
enutilisantdesthéorèmesvusaucollège(théorèmesdeThalès,dePythagore…)
enutilisantlespropriétésdestrianglesisométriques
enutilisantlespropriétésdestrianglessemblables
Astrolabehttp://astrolabevisionsdumonde.chezalice.fr/astrolabe.JPG
5. Pour exprimerunegrandeurenfonctiond’autresgrandeurs
enutilisantdesthéorèmesvusaucollège(théorèmesdeThalès,dePythagore…)
enutilisantlespropriétésdestrianglesisométriques
enutilisantlespropriétésdestrianglessemblables.
Cetypedeproblèmeapparaîtdanslessituationsfonctionnelles.
6. Pourconstruiredessegmentsdelongueurdonnée,c’estàdireinitieraucalculgraphique
 en utilisant des propriétés vues au collège (Thalès, Pythagore, angles, symétrie, médiatrices …)
endéterminantdesrelationsalgébriquesdansunefigure
entransformantl’écritured’unnombre.
7. Bilan
Ces réponses ont été étudiées par les mathématiciens depuis l’antiquité. Mais les théories sous jacentes ont été
construitesàpartirdegrandesquestionsqueleshommessesontposés:
 Commentdéterminerdesgrandeursinaccessibles?
 Commentinscrireoucirconscrireunefigureàuneautre ?
 Commentconstruiredespolygonesréguliers?
 Commentpaverleplanavecmotifsrépétés?(avecquelsalgorithmes?)
 Idemaveclesfrises?
 Commentconstruiredessegmentsdelongueursdonnéesparunerelationna,a/betc.aetbétantlesmesuresde
segmentsdonnés?
 Commentcomparerdeuxgrandeurssanscalcul (quadraturesetcubaturesousuperpositionpardécoupage)?
 Commentexprimerunegrandeurenfonctiond’autresgrandeurs?
 Commentdéterminerlamesured’unegrandeur?
 Commentramenerunedémonstrationgéométriqueàunproblèmedecalcul ?
 Commentconstruireunefigureastreinteàrespecterdesconditions?
 Commentdéterminerunlieugéométrique ?1
 Commentsavoirsiuneméthodedeconstructionestexacteouapprochée ?**2
 …
1Toutenétantinclusedanslaquestionprécédente,elleestégalementunproblèmeàpartentière(enmécanique)
2Cettequestionestinterne auxmathématiquesetconduitnaturellementauxdémonstrations.

4
Onpeutremarquerque,parcesquestions,noussommesplussouventtournésverslepassécarl’enseignement
demandé(toutenayantdesapplicationsactuelles)estfondéesurlagéométried’Euclide.Actuellement,lagéométrie
discrète (celle des ordinateurs) est plus porteuse au niveau de la recherche mais pour la comprendre encore fautil
savoirenquoiellediffèredelagéométriedetouslesjoursquiestcelled’Euclide.Cesquestionsrésultentdeproblèmes
issussoitdesmathématiquessoithorsmathématiques.Lerôledelagéométrienesedémentpasaujourd’huimêmesi
lesconditionsnesontpluspurementgéométriquesmaisparfoismécaniques(constructionsdeponts,degrattecielou
bien d’échangeurd’autoroutes…). Ainsi estil possible de justifieraux yeux des élèves lesraisons de l’étude de la
géométrie,enparticulierpourlacompréhensiondenotreenvironnementprésentàtraversl’histoire.
On envisage de parcourir l’ensemble des notions de géométrie plane, en gardant en permanence l’idée de
constructions géométriques.Onrencontrera ainsi les transformations géométriques et leurs usages démonstratifs,de
même que des ensembles de nombres en travaillant en particulier autour de la question des valeurs exactes et
approchées.Laconstructionetlareproductiondefiguresamènentàplusieurstypesdetâches:
1)Analyserunefigureetenextrairelespropriétés
2)Déterminerlesélémentsquipermettentlaconstruction
3)Jugersilaconstructionestpossible,unique
4)Validerlaconstruction
5)Jugersi laméthodedeconstructionestexacteouapprochée
6)Réaliserlaconstruction(choixdesoutils)
B Quelquesélémentshistoriquesutilespourfairedeschoixquantàdesorganisationsmathématiques
1. lagéométriegrecque:
La géométrie grecque mise en forme par Euclide est dans les grandes lignes, celle que nous enseignons dans les
programmesdecollègeenyadjoignantlestrianglessemblableset isométriquesenseignésensecondequisontdeux
techniquesimportantesentrantdanslesdémonstrationsdel’époque.
Cesmathématiquessesontforgéesdanslesrésolutionsdeproblèmesessentiellementdeconstruction :
inscrireoucirconscrireunefigureàuneautre,
construiredespolygonesréguliers,
réaliserdesquadraturesoudescubatures
Cesquestionsnoussemblentencoredesquestionsvivesdel’enseignementdesmathématiques.
Les grecsn’ayantpasl’algèbreausensounousl’entendons développentcequel’onappellel’algèbregéométrique.
Ainsiquandils’agitdedéterminerunpointCd’unsegment[AB]telquelecarrédecôtéCBaitlamêmeairequele
rectangledecôtéABetAC,lesgrecsconstruisentgéométriquementlesegmentACde longueurcherchée.
Lesméthodesdeconstructionsontdesméthodesexactesetladémonstrationestprésentepourlerappeler.
Remarquesdidactiques:
Ayant à enseigner des contenus grecs, il semble que l’on puisse motiver l’enseignement des notions à partir de
questionsquiontmotivé lesgéomètresgrecs.

5
Euclide(fresquedeRaphaël)
2. lagéométriedeDescartes
Le XVIIe siècle apporte une rupture quant aux méthodes de résolution. A cette époque on se met à critiquer les
méthodesdesAnciens.Deuxcritiquesessentiellessefontjour:
 lecadreeuclidienesttropétroit:ilnepermetpasdetrouverdenouveauxrésultatsmathématiques
 les démonstrations semblent artificielles: en effet de nombreux résultats sont démontrés dans les Éléments par
l’absurde.Orpourdémontrerparl’absurde,ilfautconnaîtrelerésultat:commentlesAncienstrouvaientilsces
résultats?
CescritiquessontclairementformuléesparDescartes:
«Quandjemesuisd’abordappliquéauxdisciplinesmathématiques,j’ailuimmédiatementenentierlaplupartdes
chosesqu’enseignentd’ordinaireleurspromoteursetj’aicultivédepréférencel’ArithmétiqueetlaGéométrie,parce
qu’ellesétaient,disaiton,lesplussimplesetcommeuncheminementaureste.Mais,nidansl’unenidansl’autre,ilne
m’estalorsparhasardtombésouslamaindesauteurscapablesdemesatisfairepleinement.Certesj’ylisaissurles
nombres une foule de développements dont le calcul me faisait constater la vérité; quant aux figures, il y avait
beaucoupdechosesqu’ilsmemettaientenquelquesortesouslesyeuxmêmesetquiétaientlasuitedeconséquences
rigoureuses. Mais pourquoi en étaitil ainsi et comment parvenaiton à le trouver, ils ne me paraissaient pas le
montreràl’intelligenceellemême.»
Descartes,Règlespourladirectiondel’esprit,1628.
Descartesseforgeuneméthodepour« pouraugmenterpardegrés»saconnaissance.Cetteméthodeestexposéedans
le Discours de la méthode, paru en 1637, avec ses trois essais scientifiques, La géométrie, La dioptrique et Les
météores. Dans sa Géométrie, Descartes applique aux mathématiques sa doctrine et, pour en montrer toute sa
puissance,ildémontreunproblèmedePappus(vers300)dontonneconnaissaitaucunesolutionjusqu’alors.
OnpeutrésumerlaméthodedeDescartesenquatrepoints:
· Supposerleproblèmerésolu
· Mettreleproblèmeenéquation
· Analyser l’équation(yatilunseule inconnue ? (on peut alors résoudre); y atilplusieurs inconnues?(quelle
courbecetteéquationreprésentetelle ?).
· Revenirauproblème
LeproblèmedePappus:étantdonnésquatredroites(AG),(IG),(AS)et(ER)d’unepart,quatre anglesetun rapport
k d’autre part, il s’agit de déterminer des points C tels que les projections de C sur les quatre droites suivant les
directions données par les angles (cf. la figure où les angles donnés sont marquées dans des couleurs différentes)
vérifientCD´CF
CH´CE
=k.