correction du brevet blanc de décembre

Correction du brevet blanc de mathématiques (16/12/2011)
I) Activités numériques.
Exercice 1
1 1 3
2
5
2) 3 x−7=4
1) + = + =
3 x−7+7=4+7
6 9 18 18 18
3 x=11
11
x= . La solution est 11 tiers
3
3) x 2=10 a deux solutions : −√ 10 et √ 10
4) L'équation x 2=−16 admet aucune solution.
Exercice 2
1) On procède aux calculs suivants : 2 2=4 puis 4×10=40 et enfin 40+25=65 . Le calcul de
Mathieu est exact : lorsqu'on choisit 2 comme nombre de départ on obtient 65.
2) ( √ 2)2 =2 puis 2×10=20 et enfin 20+25=45 . Lorsqu'on choisit √ 2 comme nombre de
départ on obtient 45.
3) Clémence, qui affirme que si on choisit un nombre entier pair le résultat est pair, a tort. Nous
voyons grâce au résultat de la question 1) que si nous choisissons le nombre 2 au départ, le résultat
(65) n'est pas pair. Il suffit d'un seul contre exemple pour infirmer une proposition.
4) Margot a raison, quelque soit le nombre choisit au départ, le résultat sera toujours positif. Soit x
un nombre choisi au départ, que x soit négatif, positif ou nul, x 2 sera positif ou nul car un carré
est toujours positif ou nul. En multipliant par 10, qui est un nombre positif, 10 x 2 reste positif.
Comme 25 est positif, la somme 10x 2+25 sera donc forcément positive.
Exercice 3
1) Matthieu a obtenu sa meilleure note au devoir n°9.
13+12+9+11+6+11+11+17+19+14+3+12
=11,5
2)
12
La moyenne des notes de Matthieu est 11,5.
3) 19−3=16
L'étendue des notes de Matthieu est 16.
4a) Matthieu a obtenu trois notes inférieures à 10.
3
25
=0,25=
4b)
12
100
Matthieu a obtenu un note inférieur à 10 pour 25% de ces devoirs.
II) Activités géométriques
Exercice 1
1) Remarquons que AB = AH + HB = 100 + 400 = 500
Le triangle ABC est rectangle en A donc, d'après le théorème de Pythagore, nous avons :
BC²=AC²+AB²
508²=AC²+500²
258064=AC²+250000
2
AC =258064−250000
AC²= 8064. Or AC est une longueur donc AC>0, AC =√8064 .
AC mesure environ 89,8 m.
2) Les droites (AC) et (DH) sont perpendiculaires à la droite (AH) or si deux droites sont
perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles, donc les droites (AC) et (DH) sont
parallèles.
Nous savons que :
– Les droites (DC) et (AH) sont sécantes en B.
– les droites (AC) et (DH) sont parallèles
Donc, d'après le théorème de Thalès, nous avons :
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DH HB DB
DH 400 DB
89,8×400
=
=
≈
≈
≈72 .
et donc
et ainsi DH =
CA BA CB
89,8 500 508
500
DH mesure environ 72 m.
AB
500
CBA)=
CBA)=
3) Le triangle ABC est rectangle donc, cos( ̂
; cos( ̂
et ainsi
CB
508
500
̂
CBA=cos−1 (
) soit ̂
CBA≈10,2° .
508
L'angle ̂
CBA mesure environ 10,2°.
4) Dans un triangle la somme des angles vaut 180°.
̂
ACB =180°- ̂
CBA - ̂
CAB = 180°- 10,2° - 90° = 79,8°
̂
L'angle ACB mesure environ 79,8°.
5) Pour calculer la longueur DB plusieurs méthodes existent. Nous pouvons soit appliquer le
théorème de Pythagore dans le triangle DBH, soit appliquer le théorème de Thalès, soit user de la
trigonométrie. C'est que nous ferons ici.
Le triangle DHB est rectangle en H. Nous avons :
400
HB
400
cos ( ̂
DBH )=
; cos (10,2 °)=
et donc DB=
soit environ 406 m.
cos (10,2 ° )
DB
DB
Il reste au cycliste 406 mètres environ à parcourir.
Exercice 2
ACB)=
1) Le triangle ABC est rectangle en B. Nous avons sin( ̂
AB
1058
et donc sin(30° )=
et
AC
AC
1058
soit 2116 m.
sin (30 ° )
La distance qu'il reste à parcourir à l'avion pour rejoindre le point de contact avec le sol est 2116m.
2
2×92 +6600 2×8464+6600 16928+6600 23528
2) CD=
=
=
=
≈941,1
25
25
25
25
La distance CD nécessaire à l'avion pour s'arrêter est 941,1 mètres environ.
ainsi AC =
III) Problème
Partie 1
1) 60×2=120
Oui, il est vrai que le London Eye (135 m) est plus de deux fois plus haute que la grande roue
installée à Paris en 2010 (60 m).
2) 208−135=73
La différence de hauteur entre le London eye et la grande roue de Pékin est 73 mètres.
3) Un tour complet de la roue dans le London eye dure 30 minutes.
4) 32×25=800
Au maximum 800 personnes peuvent se tenir ensemble dans le London eye.
Partie 2.
1) Si la cabine quitte le sol à 14h40, elle reviendra après avoir fait un tour à 15h10, soit 30 minutes
plus tard.
2a) Au bout de 5 minutes, la cabine se trouve à environ 35 mètres du sol.
2b) Au bout de 10 minutes, la cabine se trouve entre 100 et 105m de haut.
2c) Pendant un peu plus de 10 minutes, la cabine sera a plus de 100 mètres de haut.
3) Le diamètre de la roue est 134 mètres donc son rayon est 67m.
Pi×2×67≈421 .
Le diamètre de la roue est environ 421 mètres.
Partie 3.
1) Voici l'ANNEXE 2 telle qu'elle a dû être complétée :
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2a) Voici un tableau de proportionnalité :
x
Angle ̂
COD
360°
Temps écoulé depuis le départ 5 minutes
30 minutes
5×360
=60 . 5 minutes après le départ, l'angle ̂
COD mesure 60°.
30
2b) Le triangle COD a deux côtés égaux (OD et OC), il est donc isocèle. De plus, comme ̂
COD
̂
̂
mesure 60°, que CDO = OCD et que la somme des angles d'un triangle totalise 180°, nous
constatons que chacun de ses angles mesure 60°. Le triangle COD est donc équilatéral et chacun de
ses côtés mesure 67m.
2c) Comme COD est équilatéral, la base de la hauteur issue de C coupe OD en son milieu. La
hauteur de la cabine lorsque ̂
COD mesure 60° (5 minutes après avoir quitté le sol) correspond donc
à la moitié du rayon du London eye, soit 67:2 soit 33,5 mètres.
Nous retrouvons une valeur proche de celle obtenue à la partie 2 (35 mètres).
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