Professor J. Duparc 1er octobre, 2013 Logique mathématique Solutions de la série n◦3 Solution de l’exercice 1 : 1. Par exemple, (a) ϕ1 : ∃x∃y¬x = y ; (b) ϕ2 : ∃x∀yx = y ; (c) ϕ3 ∃x∃y ¬x = y ∧ ∀z(z = x ∨ z = y) ; 2. Pour tout n ∈ N définissons la formule ! ^ ψn = ∃x0 ∃x1 · · · ∃xn ¬xi = xj . 0≤i,j≤n i6=j Il suffit alors de poser T = {ψn | n ∈ N}. 3. Non, {ϕ1 } 6|= ϕ3 car la L-structure 3 = h{0,1,2}i est telle que 3 |= ϕ1 mais 3 6|= ϕ3 . Oui, {¬ϕ1 } |= ϕ3 car toute L-structure qui n’a pas au moins deux éléments n’en possède qu’un seul et donc satisfait ϕ2 . 4. La relation T |= ϕi n’est vérifiée que lorsque i = 1. Solution de l’exercice 2 : 1. Par exemple, la L-structure donnée par -a /b d c satisfait ∃x∀yR(x,y),mais ne satisfait pas ∀x∃yR(x,y) ; 2. Par exemple, la L-structure donnée par a / q @ bO d c satisfait ∃x∀y¬R(y,x) (considérer a), mais ne satisfait pas ∀x¬∀yR(y,x) (considérer b). 3. Nous pouvons par exemple considérer les formules suivantes ϕ1 : ∀x R(x,x) ϕ2 : ∀x ∀y (R(x,y) → ¬R(y,x)) ϕ3 : ∀x ∀y (R(x,y) → R(y,x) ϕ4 : ∃x ∀y R(x,y) 1 Professor J. Duparc Logique mathématique 1er octobre, 2013 Solution de l’exercice 3 : 1. Par exemple, ψ< (x,y) : ∃z(¬z ' 0 ∧ y ' (x+z)). 2. Par exemple, ψprime (x) : ψ< (1,x) ∧ ¬∃y∃z (x ' (y·z)) ∧ ¬(y ' 1) ∧ ¬(z ' 1) . 3. Par exemple, ϕGoldbach : ∀x ∃y(ψ< (1,y) ∧ x ' (1+1)·y) → ∃z1 ∃z2 ψprime (z1 ) ∧ ψprime (z2 ) ∧ x ' z1 +z2 . Solution de l’exercice 4 : 1. (a) Considérons le langage du premier ordre L contenant — deux symboles de constante 0 et p, — un symbole de relation binaire R, — un symbole de fonction unaire Vabs, — un symbole de fonction unaire f , — un symbole de fonction binaire Soustr. Dans ce langage du premier ordre, nous pouvons écrire la formule ϕCP : ∀x R(0,x) → ∃y R(0,y) ∧ ∀z(R(Vabs(Soustr(p,z)),y) → R(Vabs(Soustr(f (p),f (z))),x) qui est une façon d’écrire la continuité de la fonction f : R → R au point p ∈ R, généralement écrite ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R(|p − x| < δ → |f (p) − f (x)| < ε) lorsque champ des quantificateurs est sous-entendu. (b) Soit, par exemple, la L-structure M1 avec |M1 | = R où l’on fait les interprétations 0M1 = 0, pM1 = π2 RM1 = {(x,y) ∈ R2 | x < y}, VabsM1 est la valeur absolue | · | : R → R, f M1 (x) = sin(x) pour tout x ∈ R, et SoustrM1 est la soustraction usuelle R2 → R, (x,y) 7→ x−y. Alors, on M1 |= ϕCP . (c) Soit, par exemple, la L-structure M2 avec |M2 | = N où l’on fait les interprétations 0M2 = 0, pM2 = 105 RM2 = {(x,y) ∈ N2 | x < y}, VabsM2 est l’identité sur N, f M2 (n) = 2n pour tout n ∈ N, et SoustrM2 est la fonction constante égale à 0. Alors, on M2 |= ϕCP . 2. (a) Nous pouvons considérer la formule ϕC : ∀z1 ∀x R(0,x) → ∃y R(0,y) ∧ ∀z2 (R(Vabs(Soustr(z1 ,z2 )),y) → R(Vabs(Soustr(f (z1 ),f (z2 ))),x) . (b) Pour les L-structure M1 et M2 définies au point précédent, nous avons M1 |= ϕC et M2 |= ϕC . 2 Professor J. Duparc Logique mathématique 1er octobre, 2013 Solution de l’exercice 5 : 1. Considérer par exemple les formules suivantes (a) ϕ1 : ∀xf (f (x) = g(x) ∧ ∃y∀xg(x) = y ; (b) ϕ2 : ∀x∃yf (x) = g(y) ; (c) ϕ3 : ∃x f (x) = x ∧ ∀y(f (y) = y → x = y) ∧ ∃yg(y) = x . (d) ϕ4 : ∀x∀y(f (x) = f (y) → x = y) ∧ ∀y∃x(g(x) = y) 2. Nous choisissons pour domaine de chacune des L-structures l’ensemble N et nous interprétons les symboles de fonction unaire f et g comme suit : (a) f M1 = g M1 : n 7→ n + 1 ; (b) f M2 : n 7→ n + 1 et g M2 = idN ; (c) f M3 = idN et g M3 : n 7→ 0 ; (d) f M4 : n 7→ 2n et g M4 : n 7→ n2 ; (e) f M5 : n 7→ 2n et g M5 : n 7→ 2n + 1. Solution de l’exercice 6 : 1. M 6|= φ1 , car M |= R(∅,∅) ; 2. M |= φ2 car pour tout E ⊆ N si E 6= ∅ alors ¬R(E,E) ; 3. M |= ∀x∀y∀z ((Ω(x)∧Ω(y)∧I(x,z)∧I(z,y)) → Ω(z)), car si E,F,E { ,F { ⊆ N sont infinis et E ⊆ G ⊆ F , alors d’une part E ⊆ G implique G infini, et d’autre part, G ⊆ F implique F { ⊆ G{ et donc G{ est infini. 4. M |= ∀x∀y∀z ((Ω(x) ∧ Ω(y) ∧ Ω(z) ∧ R(x,y) ∧ R(y,z)) → R(x,z)). En effet, si E ⊆ F ⊆ G et F \ E infini et G \ F infini, alors E ⊆ G et comme G \ F ⊆ G \ E, G \ E est infini. 5. M |= ∀x∀y ((Ω(x)∧Ω(y)) → (¬R(x,y)∨¬R(y,x))). Car de façon générale, si E,F ⊆ N sont non vides alors R(E,F ) implique ¬R(F,E). 6. M 6|= ∀x∀y ((Ω(x) ∧ R(x,y)) → Ω(y)). Penser à l’inclusion des nombres pairs dans les nombres naturels. 7. M F{ est est |= ∀x∀y ((Ω(x) ∧ R(y,x)) → Ω(y)). En effet, soit E,F ⊆ N avec F et infinis, et E ⊆ F , et Card(F \ E) = Card(E). Comme F { ⊆ E { , E { infini. De plus si E est fini, alors F \ E est fini et donc F = E ∪ F \ E fini. Or F est infini et donc E est infini. 8. M 6|= ∀x∃y∃z (R(y,x) ∧ R(x,z)), car pour tout E ⊆ N fini non vide de cardinalité impaire, nous avons que pour tout F ⊆ N, ¬R(F,E). 3