Solutions de la série n 3

Professor J. Duparc Logique mathématique 1er octobre, 2013
Solutions de la série n◦3
Solution de l’exercice 1 :
1. Par exemple,
(a) ϕ1:∃x∃y¬x=y;
(b) ϕ2:∃x∀yx =y;
(c) ϕ3∃x∃y¬x=y∧ ∀z(z=x∨z=y);
2. Pour tout n∈Ndéfinissons la formule
ψn=∃x0∃x1· · · ∃xn ^
0≤i,j≤n
i6=j
¬xi=xj!.
Il suffit alors de poser T={ψn|n∈N}.
3. Non, {ϕ1} 6|=ϕ3car la L-structure 3 = h{0,1,2}i est telle que 3|=ϕ1mais
36|=ϕ3.
Oui, {¬ϕ1} |=ϕ3car toute L-structure qui n’a pas au moins deux éléments
n’en possède qu’un seul et donc satisfait ϕ2.
4. La relation T|=ϕin’est vérifiée que lorsque i= 1.
Solution de l’exercice 2 :
1. Par exemple, la L-structure donnée par
a//
--b
d c
satisfait ∃x∀yR(x,y),mais ne satisfait pas ∀x∃yR(x,y);
2. Par exemple, la L-structure donnée par
a//bqq
d
@@
c
OO
satisfait ∃x∀y¬R(y,x)(considérer a), mais ne satisfait pas ∀x¬∀yR(y,x)
(considérer b).
3. Nous pouvons par exemple considérer les formules suivantes
ϕ1:∀x R(x,x)
ϕ2:∀x∀y(R(x,y)→ ¬R(y,x))
ϕ3:∀x∀y(R(x,y)→R(y,x)
ϕ4:∃x∀y R(x,y)
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Solution de l’exercice 3 :
1. Par exemple, ψ<(x,y) : ∃z(¬z'0∧y'(x+z)).
2. Par exemple,
ψprime(x) : ψ<(1,x)∧ ¬∃y∃z(x'(y·z)) ∧ ¬(y'1) ∧ ¬(z'1).
3. Par exemple,
ϕGoldbach :∀x∃y(ψ<(1,y)∧x'(1+1)·y)→
∃z1∃z2ψprime(z1)∧ψprime(z2)∧x'z1+z2.
Solution de l’exercice 4 :
1. (a) Considérons le langage du premier ordre Lcontenant
— deux symboles de constante 0et p,
— un symbole de relation binaire R,
— un symbole de fonction unaire Vabs,
— un symbole de fonction unaire f,
— un symbole de fonction binaire Soustr.
Dans ce langage du premier ordre, nous pouvons écrire la formule
ϕCP :∀xR(0,x)→ ∃yR(0,y)∧ ∀z(R(Vabs(Soustr(p,z)),y)
→R(Vabs(Soustr(f(p),f(z))),x)
qui est une façon d’écrire la continuité de la fonction f:R→Rau
point p∈R, généralement écrite
∀ε > 0∃δ > 0∀x∈R(|p−x|< δ → |f(p)−f(x)|< ε)
lorsque champ des quantificateurs est sous-entendu.
(b) Soit, par exemple, la L-structure M1avec |M1|=Roù l’on fait les
interprétations 0M1= 0,pM1=π
2RM1={(x,y)∈R2|x<y},
VabsM1est la valeur absolue |·| :R→R,fM1(x) = sin(x)pour tout
x∈R, et SoustrM1est la soustraction usuelle R2→R,(x,y)7→ x−y.
Alors, on M1|=ϕCP.
(c) Soit, par exemple, la L-structure M2avec |M2|=Noù l’on fait les
interprétations 0M2= 0,pM2= 105RM2={(x,y)∈N2|x<y},
VabsM2est l’identité sur N,fM2(n)=2npour tout n∈N, et
SoustrM2est la fonction constante égale à 0. Alors, on M2|=ϕCP.
2. (a) Nous pouvons considérer la formule
ϕC:∀z1∀xR(0,x)→ ∃yR(0,y)∧ ∀z2(R(Vabs(Soustr(z1,z2)),y)
→R(Vabs(Soustr(f(z1),f(z2))),x).
(b) Pour les L-structure M1et M2définies au point précédent, nous
avons M1|=ϕCet M2|=ϕC.
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Solution de l’exercice 5 :
1. Considérer par exemple les formules suivantes
(a) ϕ1:∀xf(f(x) = g(x)∧ ∃y∀xg(x) = y;
(b) ϕ2:∀x∃yf(x) = g(y);
(c) ϕ3:∃xf(x) = x∧ ∀y(f(y) = y→x=y)∧ ∃yg(y) = x.
(d) ϕ4:∀x∀y(f(x) = f(y)→x=y)∧ ∀y∃x(g(x) = y)
2. Nous choisissons pour domaine de chacune des L-structures l’ensemble N
et nous interprétons les symboles de fonction unaire fet gcomme suit :
(a) fM1=gM1:n7→ n+ 1 ;
(b) fM2:n7→ n+ 1 et gM2=idN;
(c) fM3=idNet gM3:n7→ 0;
(d) fM4:n7→ 2net gM4:n7→ n2;
(e) fM5:n7→ 2net gM5:n7→ 2n+ 1.
Solution de l’exercice 6 :
1. M 6|=φ1, car M |=R(∅,∅);
2. M |=φ2car pour tout E⊆Nsi E6=∅alors ¬R(E,E);
3. M |=∀x∀y∀z((Ω(x)∧Ω(y)∧I(x,z)∧I(z,y)) →Ω(z)), car si E,F,E{,F {⊆
Nsont infinis et E⊆G⊆F, alors d’une part E⊆Gimplique Ginfini,
et d’autre part, G⊆Fimplique F{⊆G{et donc G{est infini.
4. M |=∀x∀y∀z((Ω(x)∧Ω(y)∧Ω(z)∧R(x,y)∧R(y,z)) →R(x,z)). En effet,
si E⊆F⊆Get F\Einfini et G\Finfini, alors E⊆Get comme
G\F⊆G\E,G\Eest infini.
5. M |=∀x∀y((Ω(x)∧Ω(y)) →(¬R(x,y)∨¬R(y,x))). Car de façon générale,
si E,F ⊆Nsont non vides alors R(E,F )implique ¬R(F,E).
6. M 6|=∀x∀y((Ω(x)∧R(x,y)) →Ω(y)). Penser à l’inclusion des nombres
pairs dans les nombres naturels.
7. M |=∀x∀y((Ω(x)∧R(y,x)) →Ω(y)). En effet, soit E,F ⊆Navec Fet
F{infinis, et E⊆F, et Card(F\E) = Card(E). Comme F{⊆E{,E{
est infini. De plus si Eest fini, alors F\Eest fini et donc F=E∪F\E
est fini. Or Fest infini et donc Eest infini.
8. M 6|=∀x∃y∃z(R(y,x)∧R(x,z)), car pour tout E⊆Nfini non vide de
cardinalité impaire, nous avons que pour tout F⊆N,¬R(F,E).
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