les principes de la mecanique et les equations de la meteorologie
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78 e La Météorologie 8 série - n° 2 - j u i n 1993 LES PRINCIPES DE LA MECANIQUE ET LES EQUATIONS DE LA METEOROLOGIE (Solution des exercices proposés dans le numéro précédent) M E T E O R O E L O G I DYNAMIQUE Michel J. Rochas Météo-France, SETIM 7, rue Teisserenc LE TRAIN de Bort, BP 202, 78195 Trappes D a n s le repère lié à la Terre. U n e fois lâchée, la bille cesse d ' ê t r e liée au train ( p u i s q u ' e l l e glisse sans frottement sur le w a g o n qui l ' e m p ê c h e s e u l e m e n t de t o m b e r ) ; elle poursuit donc son m o u v e m e n t de translation mais avec une vitesse uniforme, celle q u ' a v a i t le train au m o m e n t du lâcher. D a n s le repère lié au train. U n e fois lâchée, la bille est s o u m i s e à l'accélération inertielle (celle que ressent le passager d ' u n véhicule qui accélère) et prend un m o u v e m e n t u n i f o r m é m e n t accéléré vers l'arrière du train (son accélération par rapport au train étant l ' o p p o s é e de l'accélération du train par rapport au sol). LE MANEGE D a n s le repère lié à la Terre. L a réponse est identique à la précédente : la bille c o n s e r v e la vitesse (par rapport au sol) q u ' e l l e avait au m o m e n t où elle a été lâchée et parcourt une trajectoire rectiligne. Dans le repère lié au m a n è g e . Q u a n d la bille est lâchée, elLe est s o u m i s e à une seule force horizontale, la force centrifuge, qui lui fait prendre un m o u v e m e n t radial vers l'extérieur du m a n è g e . M a i s une fois en m o u v e m e n t , la bille est s o u m i s e à la force de C o r i o l i s q u i dévie sa trajectoire vers la droite (du m o i n s si le m a n è g e , c o m m e tous ceux q u e je c o n n a i s , tourne dans le sens direct pour un o b s e r v a t e u r d e b o u t ) . LA TERRE SPHERIQUE D a n s un repère galiléen dans lequel le centre de gravité de la Terre est i m m o b i l e . Q u a n d on lâche la bille elle n ' e s t s o u m i s e q u ' à une seule force, la pesanteur, qui lui impose de rester à la surface de la Terre. La bille n'étant s o u m i s e à a u c u n e force horizontale va parcourir à vitesse constante le grand cercle tangent à la vitesse initiale de la bille (sur la sphère q u e l'on aurait arrêtée au m o m e n t du lâcher). D a n s un repère lié à la Terre. La discussion est la m ê m e que dans le cas du m a n è g e . La trajectoire est a n a l o g u e à la trace au sol d ' u n satellite fictif qui serait (très) lent. LA TERRE ELLIPSOÏDALE On c o m m e n c e la discussion par le cas du repère lié à la Terre. La forme de la Terre est telle q u e la pesanteur apparente (la s o m m e de la pesanteur et de la force centrifuge) est perpendiculaire à sa surface. La bille n ' é t a n t s o u m i s e à a u c u n e force horizontale restera donc i m m o b i l e . e L a M é t é o r o l o g i e 8 série - n° 2 - juin 1993 79 Dans un repère galiléen dans lequel le centre de gravité de la Terre est i m m o b i l e . O n peut reformuler le p r o b l è m e de la façon suivante : quelle est la trajectoire d ' u n e bille lancée dans la direction zonale sur un ellipsoïde aplati ? La bille va tourner autour de l'axe de révolution de l'ellipsoïde en se rapprochant du pôle le plus p r o c h e ou en s'en éloignant, en fonction d e la vitesse angulaire initiale de la bille et de l'aplatissement de l'ellipsoïde. D a n s le cas que nous c o n s i d é r o n s , ces deux paramètres sont tels que la bille reste sur le m ê m e parallèle (de l'ellipsoïde que l'on aurait arrêté au m o m e n t du lâcher) q u ' e l l e parcourt à vitesse constante. La dernière réponse fournit une illustration de la c o h é r e n c e de deux des a p p r o x i m a t i o n s qui sont faites dans tous les m o d è l e s de prévision n u m é r i q u e du t e m p s : la Terre est supposée sphérique et la p e s a n t e u r a p p a r e n t e ( s o m m e de la pesanteur et de la force centrifuge) est supposée verticale. La bille, sur une telle Terre sphérique où la pesanteur apparente serait dirigée vers le centre de la Terre, aurait une trajectoire analogue à celle sur la Terre ellipsoïdale. La démonstration de l'innocuité de ces a p p r o x i m a t i o n s sur le résultat des simulations n ' a toutefois j a m a i s éé faite et elle ne s e m b l e , a priori, pas simple à réaliser. Elles sont c e p e n d a n t tellement intériorisées par les modélistes q u ' i l s oublient le plus souvent de les mentionner.
