Droites Remarquables du Triangle

Droites Remarquables du Triangle - Bilan
Médiatrices
Définition La médiatrice d’un segment est la droite qui :
– passe par le milieu de ce segment,
– et qui est perpendiculaire à ce segment.
Propriété Tous les points de la médiatrice d’un segment
sont équidistants des extrémités de ce segment.
Théorème
Les trois médiatrices d’un triangle ABC sont concourantes.
Leur point de concours Oest équidistant des trois sommets
A,B,C; autrement dit :
OA =OB =OC
Le point Oest donc le centre d’un cercle qui passe par
A,B,C, et qu’on appelle cercle circonscrit au triangle ABC.
O
A
B
C
Attention Le point On’est pas forcément à l’intérieur du
triangle. Voici les trois cas possibles :
O
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
– Dans le premier cas, les trois angles de ABC sont aigus ;
le point Oest alors situé à l’intérieur de ABC.
– Dans le deuxième cas, le triangle est rectangle en C; le
point Oest alors le milieu de l’hypothénuse [AB].
– Dans le troisième cas, l’angle
[
ACB est obtus ; le point O
est alors situé à l’extérieur de ABC.
Propriété
1. Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle
circonscrit est le milieu de son hypoténuse.
2. Si un côté d’un triangle est un diamètre de son cercle
circonscrit, alors ce triangle est rectangle.
Remarque En troisième, on utilisera souvent le point 2. en
disant tout simplement :
Si C appartient au cercle de diamètre [AB],
alors l’angle
[
ACB est un angle droit.
Hauteurs
Définition La hauteur issue d’un sommet d’un triangle
est la droite (ou parfois le segment) :
– qui passe par ce sommet,
– qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Théorème
Les trois hauteurs d’un triangle ABC sont concourantes.
Ce théorème a été démontré en activité en classe.
Le point Hde concours des hauteurs s’appelle orthocentre
du triangle ABC.
A
B
C
H
Attention Le point Hn’est pas forcément à l’intérieur du
triangle. Voici les trois cas possibles :
A
B
C
H
A
B
C
H
A
B
CH
– Dans le premier cas, les trois angles de ABC sont aigus ;
le point Hest alors situé à l’intérieur de ABC.
– Dans le deuxième cas, le triangle est rectangle en C; le
point Hest alors confondu avec le point C.
– Dans le troisième cas, l’angle
[
ACB est obtus ; le point H
est alors situé à l’extérieur de ABC. Remarquons que pour
le tracer, il faut prolonger deux côtés du triangle ABC.
Dans ce cas, les hauteurs « sortent »du triangle...
Propriété
Si un triangle est rectangle, alors son orthocentre est son
sommet à angle droit.

Bissectrices
Définition La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui
sépare cet angle en deux angles adjacents de même mesure.
O
x
y
P
I
J
bissectrice de
d
xOy
Remarque C’est l’axe de symétrie de cet angle.
Deux méthodes de construction
1. avec un rapporteur :
d
POy =
d
POx =
d
xOy
2.
2. avec un compas :
(a) on trace un arc de cercle de centre O.
Cet arc coupe (Ox)et (Oy)en Aet B.
(b) Avec le même écartement, on trace un arc de cen-
tre Aet un arc de centre B; ils se coupent en M.
(c) Le quadrilatère OAMB est un losange (4 côtés de
même longueur) donc sa diagonale (OM)est axe
de symétrie, donc [OM)est la bissectrice.
Propriété
– Si un point Pest situé sur la bissectrice d’un angle, alors
Pest équidistant des côtés de cet angle : PI =PJ.
– Si un point Pest équidistant des côtés d’un angle,
alors Pappartient à la bissectrice de cet angle.
Théorème
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le centre d’un cercle tangent aux
côtés du triangle, dit cercle inscrit (dans le triangle).
I
α
βγ
A
B
C
Remarques
–(AI)ne coupe pas nécessairement [BC]en son milieu.
– le cercle inscrit est toujours à l’intérieur du triangle.
– Après avoir tracé I(il suffit de deux bissectrices), pour trouver
le rayon du cercle inscrit, il suffit de tracer une perpendiculaire
à un côté du triangle passant par I, on obtient un des points de
contact (α,β,γ) ; le rayon est R=Iα=Iβ=Iγ.
– les points α,β,γne sont pas nécessairement les milieux des côtés
du triangle (c’est d’ailleurs faux sur la figure précédente).
Médianes
Définition La médiane issue d’un sommet du triangle est
la droite :
– qui passe par ce sommet,
– qui passe par le milieu du côté opposé à ce sommet.
H
A
B
C
I
Sur la figure, le point Iest le milieu de [BC], donc la droite
(AI)est la médiane issue de A.
Propriété Une médiane d’un triangle partage ce triangle
en deux triangles d’aires égales.
A(ABI)=BI ×AH
2=IC ×AH 2=A(AIC)
Théorème
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Leur point de concours Gs’appelle centre de gravité.
Ce point est situé sur chaque médiane aux deux tiers
en partant du sommet.
Ce théorème a été démontré en devoir à la maison.
A
B
C
G
I
J
K
La règle des deux tiers...
En observant la médiane (AI), on peut écrire :
AG =2
3AI
Ce qui peut s’écrire plus simplement :
GA =2GI
Bien sûr, on a aussi, pour les deux autres médianes :
BG =2
3BJ GB =2GJ
CG =2
3CK GC =2GK
Remarque Le centre de gravité Gest toujours situé à
l’intérieur du triangle ABC.