Fonctions usuelles

Fonctions usuelles
Jean-Michel Sarlat
Sommaire : Fonctions circulaires r´eciproques
et fonctions hyperboliques.
R´epertoire
–Table des mati`eres
– D´ebut Document
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Mise `a jour : 6 janvier 2002 Version 1.1

Table des mati`eres
1. Rappels
2. Fonctions circulaires r´eciproques
2.1. Arc Sinus
2.2. Arc Cosinus
2.3. Arc Tangente
2.4. Formulaire
•Parit´e •Arcs compl´ementaires •Arcs doubles
3. Fonctions hyperboliques
3.1. D´efinitions
3.2. Formulaire
•Addition •Duplication •Transformation de produit en
somme •Transformation de somme en produit

Section 1: Rappels 3
1. Rappels
Soit fune bijection d’un intervalle Ide Rsur un intervalle Jde R
et f−1son application r´eciproque.
1/ ∀x∈I, f−1(f(x)) = xet ∀y∈J, f f−1(y)=y
ie. f−1◦f=idIet f◦f−1=idJ
2/ Dans un rep`ere orthonorm´e, Cfet Cf−1sont des courbes sym´e-
triques l’une de l’autre par rapport `a la premi`ere bissectrice des
axes.
3/ Si fest monotone sur Ialors fest continue sur I, la r´eciproque
est vraie. La fonction f−1est alors monotone et continue sur J
avec une monotonie identique `a celle de f.
4/ Si fest d´erivable sur Iet si f0ne s’annule pas sur Ialors f−1
est d´erivable sur Jet :
∀x∈J, f−10(x) = 1
f0(f−1(x))
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Section 1: Rappels 4
ou encore :
f−10=1
f0◦f−1
D´efinition 1 f´etant une bijection de Isur J, intervalles de R, si f
et f−1sont continues on dit que fest un hom´eomorphisme de I
sur Jet que les intervalles Iet Jsont hom´eomorphes.
D´efinition 2 f´etant une bijection de Isur J, intervalles de R, si
fet f−1sont d´erivables et si f0et f−10sont des fonctions continues
on dit que fest un diff´eomorphisme de Isur J.
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Section 2: Fonctions circulaires r´eciproques 5
2. Fonctions circulaires r´eciproques
2.1. Arc Sinus
La fonction x7→ sin xest une bijection de [−π
2,+π 2] sur [−1,1], son
application r´eciproque est la fonction Arc sinus, not´ee Arcsin, elle
est d´efinie sur [−1,1] et `a valeurs dans [−π
2,+π 2].
∀x∈[−π
2,+π 2],Arcsin(sin x) = x
∀x∈[−1,1],sin(Arcsin x) = x
La fonction Arcsin (voir Figure 1) est continue et croissante sur [−1,1]
et d´erivable sur ] −1,1[.
On a :
∀x∈]−1,1[,Arcsin0(x) = 1
√1−x2
puisque :
∀x∈[−1,1],cos(Arcsin x) = p1−x2
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