Signaux et systemes Phenomene de Gibbs Phenomene de

Signaux etsystemes
Cours 3
Phenomene deGibbs
•Undesexemples populaires delaserie de
Fourier,c’est l’onde carree
•Audebut,cacommenceavecunsinus
•Etenajoutant destermes,lehauts’applitit etlescotes
deviennent plusverticaux
00.5 11.5 22.5 33.5
x 10
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
00.5 11.5 22.5 33.5
x 10
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
00.5 11.5 22.5 33.5
x 10
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
37 17
Phenomene deGibbs
•Leplusdesinusqu’on ajoute,leplusque ca
ressemble aune onde carree
•Cependant,il reste encoredespics aux
momentsdestransitions
•Ons’imagine que les“depassements” s’arreteront
quand N→∞
00.5 11.5 22.5 33.5
x 104
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
00.5 11.5 22.5 33.5
x 10
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
00.5 11.5 22.5 33.5
x 10
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
57 97 397

Phenomene deGibbs
•PlusNest grand:
•Pluslafrequence desoscillationsest grande
•Plusledepassement convergea9%del’amplitude total
•Cesdepassementsnecessent pas,
contrairement ace qu’on aimerait croire
9000 9500 10000 10500
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
Amplitude=2(‐1a+1)
Overshootde0.18
01234
x 10
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Phenomene deGibbs
01234
x 10
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 1 2 3 4
x 10
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Retournons auxtransformees deFourier...
Rect
•Onaappris dessignaux debasesdestyle
percussion,echelonetrampe
•Dans lemonde dessignaux,il yad’autres
fonctions debaseaconnaitre
•Onparentreautres desfonctions Rect etSinc
•Allons voir ce que c’est...

Rect
•Lafonction Rect est une forme derectangle:
•Rect(t)ressemble aceci:
•Onpeut lui donner differente durees τ:
•Rect(t/τ)ressemble aceci:
Laduree setrouve SOUS
let
Sinc
•Lafonction sinc est appelee sinuscardinal:
•Mathematiquement:
•Avecdifferents parametres,onpeut avoir desformes
differentes
-40 -20 020 40
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-40 -20 020 40
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-40 -20 020 40
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
() ()
t
t
π
π
sin
tsinc =
()
(
)
t
tsin
tsinc =
ou
Rect etSinc
•Trouvons latransformee deFourierdeRECT
•RECTest 1entre‐τ/2etτ/2:
•Onfaitl’integrale:
∫
∞
∞−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛dte
t
RECT tj
ω
τ
∫
−
−
2
2
τ
τ
ω
dte tj
ωω
τ
ω
τ
ω
τ
τ
ω
jee j
ejj
tj
−
−
=
−
−
−
−22
2
2
Caressemble aunsinusexprime
avecdesexponentielles

Rect etSinc
•Onmanipule pourque cadevienne laforme
d’unsinus(d’apres Euler)
•Onremplace parunsinus:
•Onmanipule etcadevient sinc:
-40 -20 020 40
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
2
sin
ω
τ
ω
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
sinc
2
2
sin
τ
ωτ
ωτ
τ
ω
τ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
=
−−−
j
ee
jee jjjj 2
22222
τ
ω
τ
ω
τ
ω
τ
ω
ωω
Rect etSinc
•Pourquoi est‐ce que rect etsinc sont
interessants?
•Parfois onveut unfiltre quiressemble arect en
frequences
•Pourl’obtenir,il faut avoir unh(t)=sinc dans ledomaine
dutemps...
-40 -20 020 40
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tronquage dedonnees
•Considerons unsignalquientredans unfiltre
•Onveut connaitre lasortiedusysteme
•Sil’entree etlesysteme ont une equation
mathematique,onpeut utiliserLaplacepourresoudre
•Sinon,onpeut trouver lasortieavecdesmesures de
l’entree etdelareponse alapercussionh(t)
•Onappliquerait laconvolutionnumerique

Tronquage dedonnees
•Pource faire,onprendrait desmesures de
l’input etonferait untableau
•Onferait lamemechoseavech(t)
•Leprobleme est que h(t)dure souvent jusqu’a l’infini
•Pourfairelaconvolution,onneveut PAScalculer une
infinited’elements
•Ilfaut donc tronquer:
•Onva enlever lesdonnees “moins significatives”
at
e−te n
at
ω sin
−
() tctbe nn
at
ωω cossin +
−
sinc
Tronquage dedonnees
•Pourunfiltre passe bas,onaurait ceci:
•Cademande que lareponse vienne avant le
temps0(avant lestimulus)
•Systeme non‐causaldeduree infini...Ce n’est pas
facile!
-40 -20 020 40
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tronquage dedonnees
•Solution?Tronquer!
•Apres une certaine longueur,onfaitsemblant
que h(t)devient zero
•Casemble raisonnable...
-5 0 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-5 0 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-5 0 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X=
h(t) tronquer(t) ht(t)