Correction du contrôle de Mathématiques n°11 : Équations et cosinus

Correction du contrôle de Mathématiques n°11 :
Équations et cosinus
Exercice 1
1. Donnez l'expression du cosinus de l'angle 
.
2. En considérant les triangles rectangles  puis , donnez deux expressions du cosinus de l'angle 
.
 Dans le triangle  :
 Dans le triangle  :

Exercice 2 : à l'aide d'un théodolite (appareil utilisé pour mesurer les angles) un géomètre, placé à 40 mètres du bas
d'un immeuble, obtient les mesures suivantes :
1. Modélisez la situation à l'aide d'un schéma annoté. Le schéma ci-dessous est à l'échelle.
2. Calculez la hauteur de cet immeuble.
Dans le triangle  rectangle en  :
soit :
donc :
On utilise alors le théorème de Pythagore :
soit :
donc :
Conclusion : l'immeuble mesure        m.

Exercice 3 : le but de cet exercice est de déterminer une fraction égale à 
 dont la somme du numérateur et du
dénominateur est égale à .
1. Le problème consiste à rechercher deux nombres  et  tels que :
Écrire le produit en croix relatif à cette égalité.
2. Par ailleurs, on sait que :     . En vous servant de cette égalité, exprimez  en fonction de  et  :
3. Réécrivez l'égalité de produit en croix en remplaçant  par l'expression que vous avez trouvé à la question 2.
N'oubliez pas les parenthèses !
L'égalité de produit en croix s'écrit :
soit :
4. Résolvez l'équation obtenue à la question 3.
5. Proposez une réponse au problème, et vérifiez que votre réponse est juste.
On a donc trouvé a et b :
On vérifie que    et de plus :
donc 
 répond bien au problème.

Exercice 4 : Si le dragon rouge avait  têtes de plus que le dragon vert, ils en auraient  à eux deux. Mais le dragon
rouge a  têtes de moins que le vert ! Combien de têtes a le dragon rouge ?
Soit  le nombre de têtes du dragon rouge.
Le dragon rouge a  têtes de moins que le vert donc le dragon vert a 6 têtes de plus que le rouge, donc le dragon vert
possède    têtes.
La somme de leur nombres de têtes est égale à 34, donc :
soit :
et donc :
d'où :
Conclusion : le dragon rouge a 14 têtes.

Exercice 5 : résolvez l'équation suivante :
On commence par supprimer les parenthèses en développant :
Puis on simplifie en effectuant les produit :
Après les produit viennent les additions et les soustractions :
On soustrait  de part et d'autre de l'égalité :
Soit :
D'où le résultat :
Soit, en simplifiant par 4 :