Méca 1 - Lagrange - Observatoire de la Côte d`Azur

Système solaire
&
Notions de mécanique céleste
Christophe Benoist
(Observatoire de la Côte d’Azur)
Plan
• Mouvements apparents des astres dans le ciel
• Interprétations:
du système géocentrique au système héliocentrique
- modèle Ptoléméen
- modèle Copernicien
- modèle Képlérien
• Notions de mécanique
- lois du mouvement de Newton
- application au système solaire
Le mouvement apparent des astres
dans le ciel du point de vue d’un
observateur terrestre
Quels astres visibles dans le ciel?
•
•
•
•
•
Le Soleil
La Lune
Les étoiles (stella; aster) - ~3000
Les planètes (« les errants »)
Les météores
Le mouvement des étoiles
Sphère céleste et repérage des étoiles
Mouvement apparent des astres
1.
Tous les corps célestes tournent autour de la Terre d’est en ouest en ~24h.
Les constellations
Union Astronomique Internationale (1930) : 88 constellations
Mouvement apparent des astres
1.
Tous les corps célestes tournent autour de la Terre d’est en ouest en ~24h.
2.
D’un point donné on voit différentes constellations aux différentes saisons au
cours de plusieurs années successives.
Le mouvement du Soleil
Le zodiaque
La sphère céleste
Atlas soutenant le globe céleste
Claude Ptolémée, Cosmographie
Paris, BnF, Manuscrits, Lat. 10764, fo 285
Mouvements du soleil et cercles remarquables
Obliquité de l’écliptique
=> Tropiques
=> Cercles polaires
Mouvement apparent des astres
1.
Tous les corps célestes tournent autour de la Terre d’est en ouest en ~24h.
2.
D’un point donné on voit différentes constellations aux différentes saisons au
cours de plusieurs années successives.
3.
La position du soleil par rapport aux étoiles (constellations qui se
couchent juste après ou juste avant lui) varie réguliérement. Elle se déplace
d’ouest en est à travers un anneau de constellations, le zodiaque, avec une
révolution complète en un an.
Mouvement apparent des astres
1.
Tous les corps célestes tournent autour de la Terre d’est en ouest en ~24h.
2.
D’un point donné on voit différentes constellations aux différentes saisons au
cours de plusieurs années successives.
3.
La position du soleil par rapport aux étoiles (constellations qui se
couchent juste après ou juste avant lui) varie réguliérement. Elle se déplace
d’ouest en est à travers un anneau de constellations, le zodiaque, avec une
révolution complète en un an.
4.
La Lune et les planètes se meuvent aussi d’ouest en est à travers les
constellations, les mêmes que le soleil. Leurs orbites ne s’écartent pas de
plus de 8° de la trajectoire du soleil (l’écliptique). Mais elles ont des périodes
variables (Vénus et Mercure 1 an; la Lune 1 mois; Jupiter 30 ans; etc)
Le mouvement des planètes
Mouvement apparent des astres
1.
Tous les corps célestes tournent autour de la Terre d’est en ouest en ~24h.
2.
D’un point donné on voit différentes constellations aux différentes saisons au
cours de plusieurs années successives.
3.
La position du soleil par rapport aux étoiles (constellations qui se
couchent juste après ou juste avant lui) varie réguliérement. Elle se déplace
d’ouest en est à travers un anneau de constellations, le zodiaque, avec une
révolution complète en un an.
4.
La Lune et les planètes se meuvent aussi d’ouest en est à travers les
constellations, les mêmes que le soleil. Leurs orbites ne s’écartent pas de
plus de 8° de la trajectoire du soleil (l’écliptique). Mais elles ont des périodes
variables (Vénus et Mercure 1 an; la Lune 1 mois; Jupiter 30 ans; etc)
5.
Station et rétrogradation des planètes.
La sphère céleste
Point vernal: position du Soleil à l’équinoxe de printemps sur l’écliptique
Précession des équinoxes
Hipparque (IIème avant J.-C.)
Décalage lent du point vernal d’est
en ouest
Mesure d’Hipparque: 46 arcsec/an
Mesure actuelle: 50,29 arcsec/an
(T ~ 26 000 ans)
Explication par Newton (1687)
Nutation
découverte en 1748 par
l'astronome britannique
James Bradley
Due à l'attraction conjuguée
du Soleil et la Lune, la
nutation se traduit par une
oscillation de l'axe de
rotation de la Terre pouvant
aller jusqu'à 17,2"
(secondes d'arc) avec une
période de 18,6 ans
Interprétation des mouvements des astres
Du géocentrisme à l’héliocentrisme
quelques repères
•
•
-320
+150
Aristote
C. Ptolémée (L’Almageste)
•
1543
N. Copernic (De Revolutionibus)
La Terre et les planètes tournent autour du Soleil.
•
1572
•
« Absence de parallaxe pour la supernova dans Cassiopée. »
1609
J. Kepler (Astronomia Nova)
•
•
T. Brahé : du changement dans le monde supralunaire
2 premières lois du mouvement des planètes autour du Soleil
1610
G. Galilée (le messager des étoiles)
Satellites de Jupiter / Phases de Vénus
1687
I. Newton (Principia Mathematica)
Lois du mouvement, base de la mécanique classique
Postule l’existence d’un espace et d’un temps absolus
Loi de la gravitation universelle
Le Cosmos d’Aristote
•
-320
Aristote
Univers géocentrique de taille finie et fondé sur le cercle
Sphère des
étoiles fixes
Monde
supralunaire:
Divin - Cercle
Lune
Éther
Terre
Monde
sublunaire:
Corruption
Terre-eauair-feu
•
•
-350
150
Théorie des sphères homocentriques d’Eudoxe
L’Almageste de Ptolémée
Eudoxe de Cnide (~ 400-340)
•
•
•
Contemporain de Platon et d’Aristote
Membre de l’Académie
Le premier à rendre compte mathématiquement du mouvement des
planètes en accord avec la règle platonicienne (figure du cercle):
La théorie des sphères homocentriques
(s1) rotation diurne
(s2) mvt de la planète le long du zodiaque
(s3) et (s4) stations et rétrogradation
Système à 24 sphères
4 pour les 5 planètes
3 pour la Lune et le Soleil
1 pour les étoiles
L’hippopède d’Eudoxe
Claude Ptolémée (90-168)
Ecole d’Alexandrie
L’Almageste (+150)
seul ouvrage complet sur l’astronomie
de l’antiquité qui nous soit parvenu
150
L’Almageste de Ptolémée
Théorie planétaire de Ptolémée
Sauver les phénomènes…
Peter Appianus,
Cosmographia, 1539
La fin du monde aristotélicien
Les acteurs principaux
Nicolas Copernic (1473-1543)
Tycho Brahé (1546-1601)
Johannes Kepler (1546-1601)
Galileo Galilei (1564-1642)
Du géocentrisme à l’héliocentrisme
quelques repères
•
•
-320
+150
Aristote
C. Ptolémée (L’Almageste)
•
1543
N. Copernic (De Revolutionibus)
La Terre et les planètes tournent autour du Soleil.
•
1572
•
« Absence de parallaxe pour la supernova dans Cassiopée. »
1609
J. Kepler (Astronomia Nova)
•
•
T. Brahé : du changement dans le monde supralunaire
2 premières lois du mouvement des planètes autour du Soleil
1610
G. Galilée (le messager des étoiles)
Satellites de Jupiter / Phases de Vénus
1687
I. Newton (Principia Mathematica)
Lois du mouvement, base de la mécanique classique
Postule l’existence d’un espace et d’un temps absolus
Loi de la gravitation universelle
Nicolas Copernic, De
revolutionibus orbium
coelestium, 1543
La nova de 1572
« Absence de parallaxe pour la supernova dans Cassiopée. »
Sextant utilisé par Tycho Brahé (16ème siècle)
parallaxe
Lunette de Galilée (1609)
Galileo Galilei (1564 – 1642)
Les phases de Vénus
(Observées par Galilée en 1609)
La pesée des systèmes du monde
G. Riccioli, Nouvel Almageste, 1651
Comment démontrer que la Terre se déplace dans
l’espace?
•
la direction apparente d'une source lumineuse dépend de la vitesse de celui qui
l'observe, de la même façon que la pluie semble tomber depuis une direction située
vers l'avant d'un véhicule et non à la verticale de celui-ci quand celui-ci se déplace.
=> Aberration des étoiles découverte par Bradley en 1725
Les lois de Kepler
Johannes Kepler (1571 – 1630)
•
Les lois de Kepler décrivent les propriétés
principales du mouvement des planètes autour
du Soleil, sans les expliquer.
•
Poursuivi pour ses convictions religieuses et ses
idées coperniciennes, Johannes Kepler doit
quitter Graz en 1600. Il se réfugie à Prague,
invité par l’astronome danois Tycho Brahe pour
y devenir son assistant.
•
Ses lois sont mises en évidence à partir des
observations et mesures de la position des
planètes faites par Tycho Brahe.
•
Kepler expliquait les mouvements des planètes
par le magnétisme (Gilbert, 1600), raison
physique et non plus divine.
A la différence de l’aimant le soleil exerce une
force non pas attractive mais seulement
directive.
Première loi de Kepler (1609)
Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques dont le
Soleil occupe l'un des foyers. À strictement parler, c'est le centre de masse
qui occupe ce foyer. À l'exception de Mercure, les ellipses que décrivent les
centres de gravité des planètes ont une très faible excentricité orbitale, et
leur trajectoire est quasi-circulaire.
Deuxième loi de Kepler (1609)
Loi des aires
La vitesse d'une planète devient plus grande lorsque la planète se rapproche
du Soleil. Elle est maximale au voisinage du rayon le plus court (périhélie), et
minimale au voisinage du rayon le plus grand (aphélie)
Troisième loi de Kepler (1618)
Loi des périodes
Décrit la relation mathématique entre la période de révolution et la distance au Soleil.
a3
k
2
T
Loi de la gravitation universelle de Newton (1684)
•
Deux corps ponctuels de masse M A et M B s'attirent avec une force proportionnelle
à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui
les sépare.
Cette force a pour direction la droite passant par le centre de gravité de ces deux

corps.
FA  B
B
A
•
La force exercée sur le corps B par le corps A est vectoriellement donnée par

M AM B 
FA B  G
u AB
2
AB
•
où G est la constante gravitationnelle,
G  6,67428 10 11 m 3kg 1s 2
et U est un vecteur de longueur unité allant de A vers B.
Lois du mouvement de Newton
« Mécanique Newtonienne ou classique »
•
1/ Principe d’inertie
« Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se
trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état. »
Dans un langage plus moderne:
« Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système est constant si et seulement
si la somme des vecteurs forces qui s'exercent sur le système est un vecteur nul. »
[un référentiel galiléen, ou inertiel, est un référentiel dans lequel un objet isolé est soit immobile, soit en
mouvement de translation rectiligne uniforme.]
•
2/ Relation fondamentale de la dynamique


F

m
a
 i
i
•
3/ Principe des actions réciproques
« Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, de même direction mais
de sens opposé, exercée par le corps B ».
Le problème à deux corps
•
Etude du mouvement relatif de deux points matériels A et B affectés de
masses respectives M et m en interaction gravitationnelle. Si le système
est isolé dans l'espace
m
AB
M m
M
OB 
AB
M m
OA 

d 2 OB
FA B  m
dt 2
GmM
Mm d 2 r
 3 r
r
M  m dt 2
GmM
d2r
 3 r 2
r
dt
Le problème à deux corps
•
•
On se ramène à un problème à un corps dont on peut résoudre l’équation
différentielle
les points A et B décrivent par rapport au centre de masse des ellipses
homothétiques dont l'un des foyers est le centre de masse. Les
caractéristiques (excentricité, position du second foyer) s'expriment en
fonction de la masse réduite μ et de la masse totale.
G (m  M )
d 2 OM

OM  
3
OM
dt 2
Anomalies orbitales:
les cas d’Uranus et de Mercure
Depuis le début du dix-neuvième siècle, la position des planètes du
Système Solaire est connue avec une grande précision. Cependant,
l'orbite d'Uranus était imprévisible à long terme.
En 1845 en France, l'Académie des Sciences propose deux hypothèses :
- soit la loi de gravitation n'est pas universelle car elle ne fonctionne pas sur Uranus.
- soit un corps massif se trouvant relativement près d'Uranus bouleverse l'orbite de cette dernière.
En 1846, Urbain Le Verrier prédit la position d’une possible 8ème
planète. Suivant les prédiction de Le Verrier, une nouvelle planète est
découverte: Neptune
Mouvement de Mercure

• Avancée du périhélie de Mercure
• Le Verrier tentera en vain de
trouver une planète (« Vulcain »)
entre le Soleil et Mercure.
Cette fois c’est la gravitation
newtonienne qui est en cause.
=> Premier grand succès de la
relativité générale (1915)
  43.03 arc sec/ siècle
Le problème des 3 corps restreint
Cas ou un des 3 corps est suffisamment peu massif pour ne pas perturber
les 2 autres => il existe 5 points stables « points de Lagrange »
Petite bibliographie
•
•
•
Françoise Balibar, Galilée, Newton lus par Einstein, PUF, 1984.
Alexandre Koyré, Du monde clos à l’Univers infini, Gallimard, 1988.
Jean-Pierre Verdet, Une histoire de l’astronomie, Seuil, « Points Sciences », 1990.
•
•
•
•
Aristote, Traité du ciel, Flammarion, 2004.
Galilée, Le Messager des étoiles, « Point Sciences »
Galilée, Ecrits Coperniciens, Le Livre de Poche.
Newton, Principia: Principes mathématiques de la philosophie naturelle, Dunod, 2005.
Animations de Massimo Mogi Vicentini (planétarium de Milan)
http://www.mogi-vice.com/
Stellarium
http://www.stellarium.org/fr/
L'Institut de Mécanique céleste et de calcul des éphémérides
http://www.imcce.fr