Le cours de Marc Hindry - IMJ-PRG

COURS D’ALG` EBRE AU MAGIST` ERE DE CACHAN
Marc HINDRY, Universit´e Paris 7.
[email protected]
A. GROUPES ET ACTIONS DE GROUPES.
A.1. G´en´eralit´es page 3
A.2. Quotient d’un groupe par un sous-groupe page 4
A.3. Action de groupes page 6
A.4. Th´eor`emes de Sylow page 7
A.5. Produit semi-direct page 10
A.6. Groupes ab´eliens page 15
A.7. Le groupe Snpage 19
A.8. Le b-a-ba de la classification des groupes finis page 23
B. ANNEAUX.
B.1. G´en´eralit´es, exemples page 30
B.2. Divisibilit´e et id´eaux page 33
B.3. Anneaux de polynˆomes page 38
B.4. Ensembles alg´ebriques et id´eaux de k[X1, . . . , Xn] page 41
C. CORPS.
C.1. G´en´eralit´es, exemples page 45
C.2. El´ements alg´ebriques et transcendants page 46
C.3. Corps finis page 50
D. MODULES.
D.1. G´en´eralit´es, exemples page 52
D.2. Modules de type fini sur les anneaux principaux page 53
D.3. Facteurs invariants de matrices page 55
E. GROUPES CLASSIQUES.
1. Formes sesqui-lin´eaires G´eom´etrie orthogonale, unitaire et symplectique page 60
2. Les groupes GL(n, K) et SL(n, K) page 64
3. Groupe orthogonal page 66
4. Groupe symplectique page 69
5. Groupe unitaire page 71
6. Quaternions, arithm´etique et groupe orthogonal page 73
F. REPR´ ESENTATIONS DES GROUPES FINIS.
F.1. G´en´eralit´es, exemples page 81
F.2. Caract`eres page 83
En un semestre A, B, C et D ont ´et´e trait´ees et il a ´et´e fait allusion aux parties E et F.
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Quelques r´ef´erences choisies.
J’utiliserai beaucoup et je recommande comme r´ef´erence (en particulier pour l’alg`ebre `a l’agr´egation) le
Cours d’alg`ebre, D. Perrin (collection Ellipses)
Sauf les parties D et F, ce livre traite tous les th`emes abord´es dans ce cours. Parmi les trait´es g´en´eraux
d’alg`ebre traitant ´egalement l’alg`ebre lin´eaire je signale
Algebra, S. Lang (collection Addison-Wesley), tr`es dense et riche.
Cours d’alg`ebre, R. Godement (collection Hermann), la partie cours est du niveau des deux premi`eres ann´ees
d’universit´e mais les exercices permettent d’aller au niveau licence-maˆıtrise.
Algebra, M. Artin (collection Prentice-Hall), tr`es p´edagogique et attrayant.
Algebra, Birkhoff & MacLane (collection Chelsea), un classique.
Pour approfondir la notion d’action de groupes, les applications `a la g´eom´etrie citons
El´ements de g´eom´etrie, R. Mneimn´e (collection Cassini) foisonnant et instructif.
Pour une introduction aux repr´esentations de groupes finis, il est difficile de surpasser
Repr´esentations lin´eaires des groupes finis, J-P. Serre (collection Hermann).
Pour finir, je recommande de jeter un coup d’oeil au volume de l’encyclop´edie russe
Basic notions of algebra, I. Shafarevic (collection Springer).
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A. GROUPES ET ACTIONS ET GROUPES
Une pr´esentation des groupes, de leurs quotients avec des exemples. La notion centrale pr´esent´ee est celle
d’action de groupe.
A.1. G´en´eralit´es sur les groupes.
D´efinition. Un groupe est la donn´ee d’un ensemble Get d’une loi interne G×G→Gv´erifiant
(i) (´el´ement neutre) Il existe e∈Gtel que, pour tout g∈G, on ait e∗g=g∗e=g.
(ii) (associativit´e) Pour tout g, g0, g00 ∈G,ona(g∗g0)∗g00 =g∗(g0∗g00).
(iii) (inverse d’un ´el´ement) Pour tout g∈G, il existe g0∈Gtel que, g0∗g=g∗g0=e.
Remarques. L’ensemble Gs’appelle l’ensemble sous-jacent; par abus de langage, on parlera du groupe G,
sous-entendant ainsi la loi que l’on notera le plus souvent comme un produit; l’inverse de gsera alors not´e
g−1. Lorsque la loi v´erifie de plus g∗g0=g0∗g, on dira que le groupe est commutatif ou ab´elien et l’on
notera alors parfois la loi comme une addition et l’inverse de gs’´ecrira −g.
Exemples. Vous connaissez d´ej`a bien sˆur des groupes comme Z,Z/nZ(munis de l’addition), ou Sn(le
groupe des permutations sur n´el´ements) ou GL(n, R), le groupe des matrices de taille n×ninversibles `a
coefficients r´eels. Comme exemple initial, ajoutons l’ensemble des transformations lin´eaires pr´eservant une
figure dans le plan, l’espace ou plus g´en´eralement Rn; ces transformations sont d’ailleurs des isom´etries.
Concr`etement l’ensemble des transformations lin´eaires du plan pr´eservant un polygone r´egulier `a ncˆot´es
est un groupe not´e Dn(dont on montre ci-dessous qu’il est de cardinal 2n); l’ensemble des transformations
lin´eaires du plan pr´eservant un cube est un groupe (dont on peut montrer qu’il est de cardinal 48);
Premiers calculs. Dans un groupe, “on peut toujours simplifier”, c’est-`a-dire que xy =xz entraˆıne y=z.
En effet il suffit de multiplier par x−1:
y=ey = (x−1x)y=x−1(xy) = x−1(xz) = (x−1x)z=ez =z.
L’inverse de x−1est xet l’inverse de xy est y−1x−1, en effet :
(xy)(y−1x−1) = x(yy−1)x−1=xex−1=xx−1=e.
D´efinition.
xn:=
esi n= 0
x...x
| {z }
(nfois)
si n > 0
x−1. . . x−1
| {z }
(|n|fois)
si n < 0
On a xm.xn=xm+net (xm)n=xmn. Si y=gxg−1alors yn=gxng−1.
Un sous-ensemble Hd’un groupe Gest un sous-groupe si la loi de groupe sur Ginduit une loi de groupe
sur H. C’est-`a-dire si Hest stable par multiplication, passage `a l’inverse et contient l’´el´ement neutre
(l’associativit´e est alors automatique). On voit facilement que cette condition ´equivaut `a dire que e∈Het
que x, y ∈Hentraˆıne xy−1∈H. De mˆeme il est imm´ediat de montrer que l’intersection de sous-groupes
est un sous-groupe.
Si Sest un sous-ensemble d’un groupe Gon d´efinit le sous-groupe engendr´e par Scomme le plus petit
sous-groupe de Gcontenant S, i.e. l’intersection de tous les sous-groupes contenant H. C’est un exercice
facile de voir que c’est aussi l’ensemble des produits x1
1···xr
ravec r≥0, xi∈Set i=±1.
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Soit G1et G2deux groupes. On d´efinit le produit de groupes qui a comme ensemble sous-jacent G1×G2par
la loi de composition :
(g1, g2)∗(g0
1, g0 2) := (g1g0 1, g2g0 2).
Une application f:G1→G2entre deux groupes est un homomorphisme de groupes si elle v´erifie
∀x, y ∈G1, f(xy) = f(x)f(y);
c’est un isomorphisme si elle est bijective, un automorphisme si de plus G1=G2. On appelle noyau le
sous-groupe Ker(f) = {x∈G1|f(x) = e}et image le sous-groupe f(G1) = {y∈G2| ∃x∈G1, f(x) = y}.
Il est imm´ediat que le compos´e d’homomorphismes (resp. d’isomorphismes, resp. d’automorphismes) est
encore un homomorphisme (resp. un isomorphisme, resp. un automorphisme). En particulier l’ensemble des
automorphismes d’un groupe Gest un groupe que l’on notera Aut(G). Remarquons aussi que la bijection
r´eciproque d’un isomorphisme est automatiquement un homomorphisme.
Exemples. L’application x7→ x2est un homomorphisme de groupes si et seulement si le groupe Gest ab´elien
(i.e. commutatif). Soit x∈G, l’application φx:G→Gd´efinie par φx(y) := xyx−1est un automorphisme
appel´e automorphisme int´erieur de G; de plus l’application x7→ φxde Gdans Aut(G) est un homomorphisme
de groupes. L’ensemble des images par automorphisme int´erieur d’un ´el´ement y∈Gs’appelle la classe de
conjugaison de y.
D´ecrivons maintenant l’exemple cit´e plus haut de groupe d’origine g´eom´etrique: le groupe di`edral Dn.
Th´eor`eme. Le groupe des isom´etries planes d’un polygone r´egulier `a ncˆot´es (n≥3), de centre Oa pour
cardinal 2n; il contient nrotations, les rotations d’angle 2kπ/n et de centre Oet nsym´etries, les sym´etries
orthogonales fixant les droites passant par Oet un sommet ou le milieu d’une arˆete.
Preuve. On voit facilement que les isom´etries d´ecrites dans l’´enonc´e laissent invariant le polygone, il s’agit
de d´emontrer que ce sont les seules. Pour cela on va utiliser le lemme suivant (dont on laisse la preuve en
exercice) :
Lemme. Soit sune isom´etrie plane laissant invariant un polygone r´egulier `a ncˆot´es, de centre Oet sommets
A1, . . . , Analors
- Si sfixe deux sommets adjacents, alors sest l’identit´e;
- Si sfixe un sommet Ai, alors sest soit l’identit´e soit la sym´etrie par rapport `a la droite OAi.
Soit maintenant σune isom´etrie du polygone, il existe une rotation rd’angle 2kπ/n telle que r◦σ(A1) = A1
(en effet ces rotations permutent circulairement les sommets). Donc, d’apr`es le lemme, ou bien r◦σ=id et
alors σest une rotation d’angle −2kπ/n ou bien r◦σest la sym´etrie s1par rapport `a OA1et σ=r−1◦s1.
Cela suffit pour voir que card(Dn)=2net permet de v´erifier (indirectement) que r−1◦s1est une des
sym´etries d´ecrites.
Remarques. Les rotations forment un sous-groupe de Dnisomorphe `a Z/nZ. Si rest une rotation et sune
sym´etrie, alors srs−1=srs =r−1(v´erifiez-le). On peut utiliser cela pour montrer que le centre de Dnest
trivial si nest impair et d’ordre 2 (engendr´e par la rotation d’angle π) si nest pair. On peut aussi interpr´eter
D2comme le groupe des isom´etries planes laissant invariant un segment (il est isomorphe `a Z/2Z×Z/2Z).
A.2. Quotient d’un groupe par un sous-groupe.
On intoduit les notations suivantes, si Aet Bsont des parties d’un groupe G. On pose A.B := {a.b |a∈
A, b ∈B}et de mˆeme A−1:= {a−1|a∈A}. On ´ecrira g.A pour {g}.A
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Soit Hun sous-groupe de G, on d´efinit deux relations d’´equivalence par
xRy⇔xH =yH ⇔y−1x∈H
xR0y⇔Hx =Hy ⇔xy−1∈H
On notera G/H l’ensemble quotient G/R(resp. H\Gl’ensemble quotient G/R0). V´erifions, par exemple,
que Rest une relation d’´equivalence. On a x−1x=e∈Hdonc xRx. Si xRyalors y−1x∈Hdonc
x−1y= (y−1x)−1∈Het yRx. Si xRyet yRzalors y−1x∈Het z−1y∈Hdonc z−1x= (z−1y)(y−1x)∈H
et xRz.
Remarque. Hormis ces relations d’´equivalence “jumelles”, la seule autre relation d’´equivalence “int´eressante”
est la relation de conjugaison : xRysi il existe g∈Gavec y=gxg−1. Les classes d’´equivalence pour cette
relation s’appelle naturellement classes de conjugaison.
Il faut faire attention qu’en g´en´eral gH 6=Hg (on verra plus loin que l’´egalit´e n’est vraie pour tout gque
si le sous-groupe Hest distingu´e). Par contre la transformation A7→ A−1envoie gH sur Hg−1donc il y a
une bijection naturelle entre G/H et H\G. Remarquons ensuite que les classes d’´equivalence ont toutes le
mˆeme cardinal que H. En effet l’application de Hvers gH (resp. H.g) qui, `a xassocie gx (resp. xg) est
visiblement une bijection. On a ainsi d´emontr´e le th´eor`eme suivant
Th´eor`eme. (Lagrange) Soit Gun groupe et Hun sous-groupe, alors card(G/H) = card(H\G)et
card(G) = card(H) card(G/H).
Exemples. On tire facilement que si x∈Get Gfini, alors l’ordre de gdivise card(G). Ainsi, comme (Z/pZ)∗
a pour cardinal p−1 on en tire que, pour aentier premier avec p, on a ap−1≡1 mod p, ou encore que pour
tout entier ap≡amod p(“petit th´eor`eme” de Fermat). Plus g´en´eralement, si on note φ(n) = card(Z/nZ)∗
on obtient que, pour aentier premier avec n, on a aφ(n)≡1 mod p(th´eor`eme d’Euler).
D´efinition. Un sous-groupe Hde Gest distingu´e si, pour tout g∈G, on a H=gHg−1.
Remarquons qu’il est ´equivalent de demander que, pour tout g∈G, on ait gH =Hg ou encore que, pour tout
g∈G, on ait H⊂gHg−1. Par ailleurs, le noyau d’un homomorphisme f:G→G0est toujours distingu´e;
en effet si y∈Ker(f) alors f(xyx−1) = f(x)f(y)f(x)−1=f(x)e0f(x)−1=e0donc xyx−1∈Ker(f).
Proposition. L’intersection de sous-groupes distingu´es est un sous-groupe distingu´e. Si f:G→G0est un
homomorphisme de groupes et si H0 G0alors f−1(H0) G; si H  G alors f(H) f(G).
Preuve. Imm´ediat.
Remarquons que dans la derni`ere partie de la proposition, on ne peut pas conclure que f(H) est distingu´e
dans G0, sauf si fest surjective.
Le principal int´erˆet des sous-groupes distingu´es est le suivant.
Proposition. Soit Hun sous-groupe de G. Il existe une structure de groupe sur l’ensemble G/H telle
que la surjection canonique s:G→G/H soit un homomorphisme si et seulement si le sous-groupe Hest
distingu´e.
Preuve. Supposons qu’une telle structure existe sur G/H alors Hest le noyau de l’homomorphisme s:G→
G/H donc est distingu´e dans G. Supposons inversement Hdistingu´e dans G, on est amen´e `a d´efinir une
loi sur G/H par la formule (xH)∗(yH) = xyH (pour que ssoit un homomorphisme) et le point est de
v´erifier que cette formule est bien d´efinie, i.e. que si x0∈xH et y0∈yH alors x0y0H=xyH. Or on a bien,
puisque Hest distingu´e et x0=xh,y0=yh0, l’´egalit´e x0y0H=xhyh0H=xhyH =xhHy =xHy =xyH.
L’application s:G→G/H est surjective et v´erifie donc s(x)∗s(y) = s(xy); on en tire imm´ediatement que
G/H muni de la loi ∗est un groupe.
Th´eor`eme. (Propri´et´e universelle du quotient) Soit f:G→G0un homomorphisme de groupes. Soit H
un sous-groupe et s:G→G/H la surjection canonique. Il existe une application ˆ f:G/H →G0telle que
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