Chapitre n°15 : Trigonométrie Activité d`approche n°1
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1/11 – Chap.n°15:Trigonométrie Chapitre n°15 : Trigonométrie Objectifs : Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique et définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel. Lien avec les valeurs des sinus et cosinus des angles de 0,30,45,60 et 90°. Activité d'approche n°1 Partie I : Préambule historique et physique. Les accélérateurs de particules sont des instruments permettant d'amener des particules chargées (électrons, protons, …) à des vitesses élevées. Pour cela, ils utilisent des champs électriques et magnétiques. Ils sont utilisés pour le traitement des cancers, et pour la recherche de la structure de notre univers. L'accélération A à laquelle est soumis une particule dans un champs électrique est donnée par la formule : A= qE (1) où : m q est la charge de la particule, E le champ électrique et m la masse de la particule. qEt (2) m q E t2 A t 2 La position P de la particule, en fonction du temps : P = (3) = 2m 2 La vitesse V est alors, en fonction du temps : V = La particule subissant constamment une accélération, on voit que plus la particule est soumise longtemps au champ électrique, plus elle peut atteindre des vitesse très élevées. Autrement dit, plus le trajet parcouru par la particule est long, et plus la vitesse en fin de parcours est élevée. Il faut cependant qu'il y ait du vide le long de la trajectoire (sinon la particule risque de cogner dans d'autres particules). 1. Exprimer t en fonction de P. On appellera la relation obtenue la relation (4) : ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... 1/11 2/11 – Chap.n°15:Trigonométrie Partie II : un accélérateur linéaire, le Stanford Linear ACcelerator. En 1966 fut construit l'un des premier accélérateur à grande échelle : le SLAC, en Californie, mesurait 3,2 km de long, en ligne droite. Pour le SLAC, pour un électron m = 9,10 × 10-31 Kilogramme, A +6 E=30×10 Volt par mètre, q= 1,60×10 - 19 Coulomb 1. Calculer l'accélération A pour un électron en utilisant la relation (1) (avec trois chiffres significatifs) : + K Calcul :.................................................................... ............................................................................. Résultat :.................................................... J Les particules partent du milieu du SLAC (en O) (les particules de charges négatives vers le bas, celles de charge positive vers le haut). A et B sont les extrémités de l'accélérateur. 2. Quelle distance P a parcouru un électron (particule négative) quand il arrive en B ? O L Calcul :................................................................... ................................................................................. Résultat :.................................................... 3. En déduire le temps t qui s'est écoulé depuis le départ en O. (on donnera le résultat avec trois chiffres significatifs et on utilisera la relation (4)) B Calcul :................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ Résultat :.................................................... 4. En déduire la vitesse de la particule en B. (on donnera le résultat avec trois chiffres significatifs – utiliser une des relations de la partie I) 2/11 3/11 – Chap.n°15:Trigonométrie Calcul :................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ Résultat :.................................................... Partie III : un accélérateur circulaire. Pour allonger la longueur de la trajectoire, et donc augmenter la vitesse de la particule, on crée un accélérateur circulaire, de rayon 1 km, pour remplacer le SLAC. a. Rappeler la formule du périmètre d'un cercle : …...................................... b. Quelle distance exacte parcourt un électron quand il fait un tour complet ? …..............................................….......................................................................................... …........................................................................................................................................... c. En utilisant la même technique que dans la partie 1, calculer sa vitesse approchée au bout d'un tour. …................................................................................................................................................. ….................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................. A .... d. Calculer la distance exacte parcourue par un électron, + puis par un proton (charge positive, donc le trajet dans le sens inverse) lorsqu' ils seront respectivement K en K, J et L. J O L 3/11 B 4/11 – Chap.n°15:Trigonométrie ….................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... e. Calculer la distance exacte parcourue par un électron, puis par un proton (charge positive) lorsqu' ils auront effectués : - un quart de tour : …............................................................................................................................... - un huitième de tour : …........................................................................................................................... - cinq huitièmes de tour : …................................................................…................................................................ - un tour et un sixième de tour : ….................................................................…........................................................................... - un sixième de tour : …....................................................................................................... - un douzième de tour : ….................................................................................................... f. Placer le plus précisément possible les positions d'un proton et d'un électron à la fin de chacun de leur parcours de la question e. g. Un électron est dans le SLAC, en B. On souhaite savoir où il serait placé, dans l'accélérateur circulaire. Sachant qu'un tour complet correspond à 2π, quel calcul peut-on faire pour placer cet électron ? ….................................................................…........................................................................... ….................................................................…........................................................................... Le placer. h. Un proton est placé en J, dans l'accélérateur circulaire. Quel calcul peut-on faire pour placer ce proton dans le SLAC ? ….................................................................…........................................................................... Le placer. i. On se place dans l'accélérateur circulaire. 3π 11 π 19 π km ? km ? Km ? 4 4 4 5π 13 π 21 π Où sera situé un électron lorsqu'il aura parcouru km ? km ? Km ? 4 4 4 Où sera situé un proton lorsqu'il aura parcouru 4/11 5/11 – Chap.n°15:Trigonométrie Cours n°1 Chapitre n°15 : Trigonométrie I) Cercle trigonométrique Définition n°1 : cercle trigonométrie Le cercle de centre O et de rayon ... unité, sur lequel on a choisi un sens p........................., le sens ….......................... des aiguilles d'une montre, est appelé cercle trigonométrique. Définition n°2 : nombre associé à un point du cercle. N On munit le plan d'un repère orthonormé (O;I;J) , du M cercle trigonométrique c de centre O, et de la droite d d'équation x=1. J x Alors, le nombre x associé à un point M du cercle c est la d................................. qui sépare le point I du point N O sur d quand on déroule le cercle sur la droite d et que I M arrive sur N. Remarque : on peut faire plusieurs fois le tour du cercle et « retomber » sur le point M. Autrement dit, pour un même point M du cercle il existe une infinité de nombres associés : x, x+2, x+ 4, x + 6... II) Longueur d'arc Propriété n°1 (rappel) La longueur d'arc est …............................................ à l'angle qui l'intercepte. Exemple n°1 Donnez les longueurs des arcs associées du cercle trigonométrique aux angles en degré suivant : Degrés 0° 30° 45° 60° 90° 180° Longueur ............... ............... ............... ............... ............... ............... 5/11 x 6/11 – Chap.n°15:Trigonométrie d'arc Exemple n°2 Positionnez approximativement les points suivants sur le cercle trigonométrique : Longueur d'arc M1 M2 M3 M4 M5 M6 π 3 2π 3 π 3π 4 π 6 5π 6 O Exercice n°1 Ex.2 p.138 Exercice n°2 Ex.3 p.138 Exercice n°3 Ex.4 p.138 Exercice n°4 Ex.5 p.138 6/11 I 7/11 – Chap.n°15:Trigonométrie Cours n°2 II) Coordonnées d'un point du cercle trigonométriques Définition n°3 On considère le cercle trigonométrique dans un repère (O;I,J). Pour toute longueur signée x de l'arc de cercle, le cosinus et le sinus de x sont les coordonnées du point M du cercle associé à x. On écrit alors M(cos x;sin x). Pour tout nombre x ≠ π + k×2× (k entier relatif), la 2 tangente du nombre x est définie par tan x = sin x cos x Propriété n°2 : valeurs remarquables Degrés 0° 30° 45° 60° 90° 180° Longueur d'arc ............... ............... ............... ............... ............... ............... cosinus sinus tangente Propriété n°3 : Formules à connaître [cos(x)]²+ …................ = …......... ............. tan(x)= ............. Exercice n°5 Ex.n°11 p.138 7/11 8/11 – Chap.n°15:Trigonométrie Exercice n°6 Ex.n°12 p.138 Exercice n°7 Ex.n°14 p.139 Exercice n°8* Ex.n°16 p.139 Exercice n°9* Ex.n°33 p.141 Exercice n°10** Ex.n°36 p.141 Exercice n°11*** Ex.n°62 p.146 8/11 9/11 – Chap.n°15:Trigonométrie Indices et résultats Act.1 : P.1,1.5,27×10 2. 1600 m 3. 2,46×10 secondes 4.1,30×10 ms P.2,b. 2 18 -8 11 -1 3π 3π -1 km c. 8140000000 ms d. K : π et , J : , L : et π e. quart : π , 2 2 2 2 2 5π 7π huitième : π cinq huitième : un tour et un sixième : sixième : π 4 3 4 3 douzième : π g. ≈ 0,509 6 Ex.1 : Ex.2 Ex.3 Ex.4 : Ex.5 : Ex.6 : 9/11 10/11 – Chap.n°15:Trigonométrie Ex.7 : Ex.8 : a) Ex.9 : Ex.10 : Ex.11 : 1.a) Isocèle. b) Indice : (OM) est la bissectrice... 10/11 11/11 – Chap.n°15:Trigonométrie Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà. Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà. Date : ….................................................. Date : ….................................................. Nom, prénom et classe : …......................................................................................... * Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°...... * Je veux repasser le contrôle n°....... Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Nom, prénom et classe : …......................................................................................... * Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°...... * Je veux repasser le contrôle n°....... Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ... Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà. 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