Stage Liesse 2017-4 STAGE 4 (27-28 avril) CHAINES DE MARKOV ET APPLICATIONS : MODELISATION DE FILES D’ATTENTE ET SIMULATION DE PHENOMENES ALEATOIRES Pré-requis : notions de probabilités et de programmation avec Python Mots-clés : Probabilités et statistiques, méthodes de Monte-Carlo, MCMC, processus aléatoires, simulation informatique, Python. Présentation L'objectif de ces deux jours de formation est de proposer une introduction aux chaînes de Markov à temps discret et à temps continu et à leur application à l'étude des phénomènes de files d'attente et à la simulation des phénomènes aléatoires. Les cours et le travail sur les implémentations seront imbriqués tout au long des deux jours de stage. Programme Probabilités et processus stochastiques • Rappels de probabilité : loi exponentielle, processus de Poisson, formule de Bayes • Chaînes de Markov à temps discret (et états discrets): propriété de Markov faible, diagramme de transition d'états, matrice de transition, équations d'équilibrage de charge et distribution stationnaire • Chaînes de Markov à temps continu (et états discrets): définition, diagramme de transition d'état, générateur infinitésimal, équations d'équilibrage de charge et distribution stationnaire • Chaînes de Markov à temps discret et état continu : noyau de transition, caractérisation de la distribution stationnaire • Les chaînes de Markov cachées ou fonctions aléatoires d'une chaîne de Markov Théorie des files d'attente (markoviennes) Caractérisation des arrivées, des départs Nombre de serveurs, buffer d'attente Notation de Kendall Un exemple simple, la file M/M/1 : caractérisation, distribution stationnaire, performances moyennes (délai, taux d'utilisation du serveur) Une file multi-serveurs avec blocage, la file M/M/C/C : caractérisation, distribution stationnaire, probabilité de blocage (formule d'Erlang-B) Simulation de phénomènes aléatoires et méthodes MCMC (Monte Carlo par Chaînes de Markov) Rappels sur les théorèmes limites : loi forte des grands nombres, théorème Central Limite Estimation de probabilités par la Méthode de Monte Carlo Méthodes directes de simulation de variables aléatoires : inversion de la fonction de répartition, algorithme de Box Müller Algorithme d'Acceptation-Rejet Algorithmes de Hastings Metropolis et du Recuit Simulé Algorithme d'échantillonnage de Gibbs Mise en œuvre : programmation avec Python Présentation l'environnement de travail et de quelques librairies scientifiques Python (Numpy, Scipy, Matplotlib, Sympy, Mayavi) Simulation d'une chaîne de Markov à temps discret, simulation d'une chaîne de Markov cachée Simulation de la file M/M/1, évaluation empirique de la stabilité et des performances moyennes Estimation de la valeur de la constante Pi par Monte Carlo Simulation du modèle d'Ising par échantillonnage de Gibbs Optimisation d'une fonction par recuit simulé Compléments : MOOC “Understanding Queues” de l'Institut Mines-Télécom sur EDX, première session massive en mai 2017. > Retour au sommaire Formations Liesse 2017 Published on 01.26.2017 Source URL: http://www.imt-atlantique.fr/node/3777