CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE NON STATIONNAIRE

Champ électromagnétique non stationnaire page 1/2
CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE NON STATIONNAIRE
Dans l’ARQS, tout se passe comme s’il y avait propagation instantanée de l’information
portant sur la variation des sources entre un point P de la distribution et un point M de
l’espace.
VRAI FAUX
La densité de courant de déplacement concerne un courant électronique.
À basse fréquence, la densité de courant d’électron est plus petite que la densité de
courant de déplacement (en norme).
Dans l’ARQS magnétique, le champ magnétique crée par un courant I(t) a la même
expression que si le courant était constant..
Dans l’ARQS magnétique, la loi des nœuds n’est pas utilisable.
Dans l’ARQS magnétique, le phénomène d’induction est négligeable.
Le phénomène d’induction existe dès qu’un champ magnétique règne là où se trouve le
circuit électrique.
Le phénomène d’induction se traduit toujours par un courant induit.
La f.e.m. d’induction est toujours orientée comme l’intensité.
Le coefficient d’autoinduction d’une bobine est proportionnel à l’aire des spires de cette
bobine.
Le coefficient d’autoinduction d’une bobine est proportionnel au nombre de spires de cette
bobine
Le coefficient de mutuelle induction entre deux circuits est toujours positif.
La densité volumique d’énergie magnétique est
2
MAG 0
2
B
u= µ
La puissance dissipée par les courants de Foucault est proportionnelle au carré de la
fréquence.
La puissance dissipée par les courants de Foucault est proportionnelle au volume.
Le flux du vecteur de Poynting est une énergie.
I-Le montage de la figure suivante comprend deux circuits dont l’un
contient une source de tension sinusoïdale de pulsation ω. Ils sont couplés par
inductance mutuelle de coefficient M. Calculer l’impédance ainsi placée aux
bornes de la source et étudier sa variation avec ω.
II-Un solénoïde est parcouru par un courant i(t) = I
0
.sin(ωt). Lorsqu'il
est parcouru par le courant constant I
0
, il crée sur l'axe le champ
B
0
( z ). Une plaque
circulaire d'aluminium (conductivité σ, épaisseur e très faible) de rayon a (avec a << R
rayon du solénoïde) est placée au-dessus du solénoïde et centrée sur son axe.
1-a) Déterminer le champ électrique induit par le solénoïde en un point de la plaque
situé à la distance r de l'axe. (On fera l'approximation que le champ magnétique
B
SOL
( M , t )
crée par le solénoïde est uniforme en tout point de la plaque. On n'explicitera pas la
dépendance spatiale de ce champ.)
b) En déduire la densité volumique de courant induit dans la plaque.
c) En considérant que cette distribution de courant peut être interpréter
comme un ensemble de spires de rayon r (variant de 0 à a ) et de section edr , calculer le moment
magnétique
M
crée par ces courants.
2) Calculer la force instantanée subie par la plaque de la part du solénoïde sachant qu’elle
s’exprime F B=
 →
( . )Mgrad
SOL
.
∆
i(t)
C a
R
C C
L
L E
M

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III-La tige M , de masse m , glisse sans frottement sur les deux rails
horizontaux.
A t = 0, la vitesse est nulle: v (0) = 0 et la charge du condensateur est
nulle: q (0) = 0.
1) Écrire l’équation électrique du circuit.
2) Écrire l’équation mécanique du circuit.
3) En déduire l’expression de v x
dx
dt
( ) =
IV-Soit un fil rectiligne infini parcouru par un courant d’intensité I et un cadre carré
filiforme, de côté a , de résistance R tel que le fil infini est dans le plan du carré. On déplace
le cadre avec une vitesse
v
perpendiculaire au fil.
1) Déterminer la f.e.m. d’induction dans le cadre en négligeant le phénomène
d’autoinduction.
2) En déduire l’intensité i qui circule dans le cadre. Discuter suivant le sens de
v
.
IV-Un condensateur C est constitué de deux disques conducteurs de même rayon a = 3,0 cm
et de même axe Oz . On néglige les effets de bord en supposant que
E
est partout parallèle à Oz à
l'intérieur de C .
1) On note ω la pulsation d’une tension alternative appliquée aux bornes de C ; on cherche
un champ électrique solution des équations de Maxwell à l'intérieur de C sous la forme
E
= E ( r ).cos(ω t )
u
Z
dans la base cylindrique d'origine O , le centre de C .
a) Établir l'équation différentielle vérifiée par E ( r ).
b) Chercher une solution de cette équation sous forme d'une série entière (on pourra
poser ρ
ω
=
r
c
).
2) Que peut-on dire de
E
à l'intérieur de C pour des fréquences inférieures à 100 MHz ?
3) On considère une fréquence inférieure à 100 MHz. Calculer
B
à l'intérieur de C sous la
forme
B
= B ( r, t )
u
θ
.
On donne, dans la base cylindrique:
rot
Z Z r Z
 →
= −
F
H
G
I
K
J
+ −
F
H
G
I
K
J
+ −
F
H
G
I
K
J
Ar
A rA
zuA z
A
rur
rA
r
Au
r
r
1 1
∂
∂θ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂θ
θ
θ
θ
( ) ( )
VI-On rapporte l’espace à une base cartésienne. Dans le demi-espace des z positifs, on place un
métal de conductivité σ (le conducteur vérifie la loi locale d’Ohm). Il est parcouru par un courant décrit par
un modèle volumique avec une densité de courant
J
(M, t) = J(z, t)
u
Y
. De plus, on a J(0, t) = J
0
cos(ωt).
1) En négligeant le courant de déplacement, déterminer en tout point du métal la fonction J(z, t). On
pourra considérer que la dépendance temporelle de tous les champs est sinusoïdale de pulsation ω.
2) Calculer la puissance moyenne <P> dissipée par effet Joule par un morceau du métal étudié de
forme parallélépipédique de section S = ∆x.∆y, de génératrices parallèles à
u
Z
et de longueur infinie.
3) On note I(t) l’intensité du courant qui traverse le morceau de conducteur étudié à la question
précédente.
a) Déterminer I(t) en utilisant la représentation complexe.
b) Quelle est sa valeur efficace I
EFF
.
c) En déduire la valeur de la résistance R du morceau de conducteur étudié. Interpréter la
variation de R avec la pulsation ω.
4-a) Déterminer les expressions des champs magnétiques et électriques dans le conducteur.
b) En déduire la valeur moyenne du vecteur de Poynting dans le conducteur.
c) En déduire la puissance transférée par rayonnement à travers la surface du morceau de
métal étudié plus haut. Conclure.
z
B
a
N
M
y
x
E
R
C q
i
v
I
a