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Olympiades Françaises de Mathématiques 2016-2017
Mathématiques
Françaises
Olympiades
OFM
Envoi Numéro 5
À renvoyer au plus tard le 15 mars
Les consignes suivantes sont à lire attentivement :
Le groupe B est constitué des élèves nés en 2002 ou après, avec les exceptions
suivantes :
* les élèves de Terminale sont dans le groupe A,
* les élèves de Seconde et Première qui étaient à l’OFM en 2015-2016 sont dans
le groupe A.
Les autres élèves sont dans le groupe A.
- Les exercices classés « Groupe B »ne sont à chercher que par les élèves du groupe
B.
- Les exercices classés « communs » sont à chercher par tout le monde.
- Les exercices classés « Groupe A » ne sont à chercher que par les élèves du groupe
A.
- Les exercices doivent être cherchés de manière individuelle.
- Utiliser des feuilles différentes pour des exercices différents.
- Respecter la numérotation des exercices.
- Bien préciser votre nom sur chaque copie.
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Mathématiques
Française
Olympiade
OFM
Exercices du groupe B
Exercice 1. On considère un échiquier 3×3. Au début, on écrit le chiffre 0dans chacune des 9cases.
Ensuite, à chaque étape, on effectue l’opération suivante : on choisit deux cases ayant un côté commun,
puis on rajoute 1au nombre écrit dans ces deux cases, ou bien on retranche 1au nombre écrit dans ces
deux cases. Est-il possible d’obtenir une configuration où le nombre 2017 est écrit dans les 9cases?
Exercice 2. Soit ABC un triangle acutangle. On note Ole centre de son cercle circonscrit. On considère
le cercle ΓBpassant par Aet Bet qui est tangent à (AC), ainsi que le cercle ΓCpassant par Aet Cqui est
tangent à (AB). Une droite ∆passant par Arecoupe ΓBen Xet ΓCen Y. Montrer que OX =OY.
Exercice 3. Trouver tous les entiers strictement positifs a,bet ctels que PGCD(a,b,c) = 1,
a|(b−c)2,b|(a−c)2,c|(a−b)2.
et tels qu’il est possible de construire un triangle non aplati dont les côtés ont pour longueurs a,bet c.
Exercices communs
Exercice 4. Soient a,bet ctrois nombres strictement positifs tels que a+b+c+abc =4. Montrer
que
1+a
b+ca1+b c+ab1+c a+bc>27.
Exercice 5. Trouver toutes les fonctions f:R→Rtelles que pour tous nombres réels x,y∈Ron ait
f(x+y) + f(x)f(y) = f(xy) + f(x) + f(y).
Exercice 6. On considère un quadrilatère convexe ABCD dont les diagonales sont perpendiculaires et
se coupent en E. Soit P∈[AD]un point tel que P6=Aet PE =EC. On suppose que le cercle circonscrit
du triangle BCD coupe [AD]en un point Qdifférent de A. On note Rle point d’intersection de [AC]
avec le cercle passant par Aet tangent à (EP)en P. On suppose que les points B,R,Qsont alignés.
Montrer que [ BCD =90◦.
Exercice 7. Trouver tous les entiers strictement positifs a,bet ctels que (a3+b)(b3+a) = 2c.
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Mathématiques
Française
Olympiade
OFM
Exercices du groupe A
Exercice 8. Trouver tous les polynômes Pà coefficients entiers tels que P(P(n) + n)est un nombre
premier pour une infinité d’entiers n.
Exercice 9. Soient ABCD un quadrilatère inscrit dans un cercle. On note ∆1la droite parallèle à (BC)
par Aet ∆2la droite parallèle à (AD)passant par B. On note Ele point d’intersection de ∆1avec (CD)
et Fle point d’intersection de ∆2avec (CD). La droite perpendiculaire à ∆1passant Acoupe (BC)en
P, et la droite perpendiculaire à ∆2passant par Bcoupe (AD)en Q. On note Γ1le cercle circonscrit du
triangle ADE et Γ2le cercle circonscrit du triangle BFC. Montrer que Γ1et Γ2sont tangents si et seulement
si (DP)et (CQ)sont perpendiculaires.
Exercice 10. Soit n>2un nombre entier. On dispose les n2nombres entiers 1, 2, . . . , n2dans les n2
cases d’un échiquier n×ncomme suit : la première ligne contient les nombres 1, 2, . . . , n(de gauche à
droite), la deuxième ligne contient les nombres n+1, n+2, . . . , 2net ainsi de suite. À chaque étape, on
peut choisir deux cases ayant un côté commun, et ajouter ou soustraire un même entier aux deux nombres
dans ces deux cases.
Trouver toutes les valeurs de npour lesquelles il est possible d’obtenir la configuration où il n’y a que
des 0, et dans ce cas trouver le nombre minimal d’étapes nécessaires pour y parvenir.
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