Énoncés - Animath

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Olympiades Françaises de Mathématiques 2016-2017
Mathématiques
Envoi Numéro 5
À renvoyer au plus tard le 15 mars
Les consignes suivantes sont à lire attentivement :
Le groupe B est constitué des élèves nés en 2002 ou après, avec les exceptions
suivantes :
* les élèves de Terminale sont dans le groupe A,
* les élèves de Seconde et Première qui étaient à l’OFM en 2015-2016 sont dans
le groupe A.
Les autres élèves sont dans le groupe A.
- Les exercices classés « Groupe B »ne sont à chercher que par les élèves du groupe
B.
- Les exercices classés « communs » sont à chercher par tout le monde.
- Les exercices classés « Groupe A » ne sont à chercher que par les élèves du groupe
A.
- Les exercices doivent être cherchés de manière individuelle.
- Utiliser des feuilles différentes pour des exercices différents.
- Respecter la numérotation des exercices.
- Bien préciser votre nom sur chaque copie.
1
de
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Fra
OFM
Mathématiques
Exercices du groupe B
Exercice 1. On considère un échiquier 3 × 3. Au début, on écrit le chiffre 0 dans chacune des 9 cases.
Ensuite, à chaque étape, on effectue l’opération suivante : on choisit deux cases ayant un côté commun,
puis on rajoute 1 au nombre écrit dans ces deux cases, ou bien on retranche 1 au nombre écrit dans ces
deux cases. Est-il possible d’obtenir une configuration où le nombre 2017 est écrit dans les 9 cases ?
Exercice 2. Soit ABC un triangle acutangle. On note O le centre de son cercle circonscrit. On considère
le cercle ΓB passant par A et B et qui est tangent à (AC), ainsi que le cercle ΓC passant par A et C qui est
tangent à (AB). Une droite ∆ passant par A recoupe ΓB en X et ΓC en Y. Montrer que OX = OY.
Exercice 3. Trouver tous les entiers strictement positifs a, b et c tels que PGCD(a, b, c) = 1,
a | (b − c)2 ,
b | (a − c)2 ,
c | (a − b)2 .
et tels qu’il est possible de construire un triangle non aplati dont les côtés ont pour longueurs a, b et c.
Exercices communs
Exercice 4. Soient a, b et c trois nombres strictement positifs tels que a + b + c + abc = 4. Montrer
que
b
c
a
1 + + bc > 27.
1 + + ca 1 + + ab
b
c
a
Exercice 5. Trouver toutes les fonctions f : R → R telles que pour tous nombres réels x, y ∈ R on ait
f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + f(x) + f(y).
Exercice 6. On considère un quadrilatère convexe ABCD dont les diagonales sont perpendiculaires et
se coupent en E. Soit P ∈ [AD] un point tel que P 6= A et PE = EC. On suppose que le cercle circonscrit
du triangle BCD coupe [AD] en un point Q différent de A. On note R le point d’intersection de [AC]
avec le cercle passant par A et tangent à (EP) en P. On suppose que les points B, R, Q sont alignés.
[ = 90◦ .
Montrer que BCD
Exercice 7. Trouver tous les entiers strictement positifs a, b et c tels que (a
3
2
+ b)(b3 + a) = 2c .
de
Ol
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Fra
OFM
Mathématiques
Exercices du groupe A
Exercice 8. Trouver tous les polynômes P à coefficients entiers tels que P(P(n) + n) est un nombre
premier pour une infinité d’entiers n.
Exercice 9. Soient ABCD un quadrilatère inscrit dans un cercle. On note ∆
la droite parallèle à (BC)
par A et ∆2 la droite parallèle à (AD) passant par B. On note E le point d’intersection de ∆1 avec (CD)
et F le point d’intersection de ∆2 avec (CD). La droite perpendiculaire à ∆1 passant A coupe (BC) en
P, et la droite perpendiculaire à ∆2 passant par B coupe (AD) en Q. On note Γ1 le cercle circonscrit du
triangle ADE et Γ2 le cercle circonscrit du triangle BFC. Montrer que Γ1 et Γ2 sont tangents si et seulement
si (DP) et (CQ) sont perpendiculaires.
1
Exercice 10. Soit n > 2 un nombre entier. On dispose les n
2
nombres entiers 1, 2, . . . , n2 dans les n2
cases d’un échiquier n × n comme suit : la première ligne contient les nombres 1, 2, . . . , n (de gauche à
droite), la deuxième ligne contient les nombres n + 1, n + 2, . . . , 2n et ainsi de suite. À chaque étape, on
peut choisir deux cases ayant un côté commun, et ajouter ou soustraire un même entier aux deux nombres
dans ces deux cases.
Trouver toutes les valeurs de n pour lesquelles il est possible d’obtenir la configuration où il n’y a que
des 0, et dans ce cas trouver le nombre minimal d’étapes nécessaires pour y parvenir.
3