Mes Développements d`Agrégation

Mes Développements d’Agrégation
Adrien Laurent
École Normale Supérieure de Rennes
2015 - 2016

Table des matières
Introduction 4
I Couplages 5
1 Couplages d’algèbre 6
2 Couplages d’analyse 10
II Développements 14
1 Automorphismes de KpXq15
2 Borne de Bézout 17
3 Cône nilpotent 19
4 Décomposition de Dunford 22
5 Ellipsoïde de John-Loewner 24
6 Espace de Bergman 27
7 Équation de Hill-Mathieu 30
8 Équation de la chaleur 33
9 Équation de Nagell-Ramanujan 37
10 Équation de Pell-Fermat 39
11 Étude de Opp, qq42
12 Étude du θ-schéma pour l’équation de la chaleur 44
13 Formule des compléments 47
14 Formule sommatoire de Poisson 50
15 Groupe circulaire 53
16 Groupes paveurs 56
17 Image de l’exponentielle 59
18 Inégalité de Hoeffding 61
19 Irréductibilité des polynômes cyclotomiques 64
20 Lemme de Morse 66
21 Méthode de gradient à pas optimal 68
Adrien LAURENT 1 ENS Rennes - Université de Rennes 1

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
22 Méthode de Kacmarz 72
23 Méthode de Laplace 75
24 Méthode de la sécante 78
25 Méthode des petits pas 81
26 Modélisation de suites de variables aléatoires indépendantes 84
27 Partitions d’un entier en parts fixées 87
28 Points extrémaux de la boule unité de LpEq89
29 Polygones réguliers constructibles 91
30 Polynômes irréductibles de Fq94
31 Quelques ordres moyens 97
32 Réduction des endomorphismes normaux 100
33 Simplicité de SO3pRq103
34 Solution élémentaire de l’équation de Schrödinger 105
35 Sous-groupes finis de SO3pRq109
36 Table de S4113
37 Théorème central limite 118
38 Théorème d’extension 120
39 Théorème de Cartan - Von Neumann 123
40 Théorème de Cauchy-Lipschitz 125
41 Théorème de Frobenius-Zolotarev 127
42 Théorème de Grothendieck 130
43 Théorème de Liapounov 133
44 Théorème de Molien 135
45 Théorème de Pascal 138
46 Théorème de structure des groupes abéliens finis 141
47 Théorème de Weierstrass 144
48 Théorème des extrema liés 147
49 Théorèmes d’Abel et taubérien faible 150
50 Théorèmes de Chevalley-Warning et Erdös-Ginzburg-Ziv 152
51 Théorèmes de Schauder et de Cauchy-Arzela-Peano 155
52 Transformée de Fourier rapide 159
53 Un anneau principal non euclidien 162
Adrien LAURENT 2 ENS Rennes - Université de Rennes 1

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
III Développements non utilisés 165
1 Ancienne version du groupe circulaire 166
2 Densité des polynômes orthogonaux 170
3 Ellipse de Steiner 172
4 Exponentielle des matrices symétriques 176
5 Inégalité de Hardy 178
6 Loi de réciprocité quadratique (avec le résultant) 181
7 Théorème d’Ascoli 184
8 Théorème de Steinhaus 186
Adrien LAURENT 3 ENS Rennes - Université de Rennes 1

Introduction
Voici les développements que j’ai préparé pendant mon année d’agrégation.
Je remercie tous mes camarades de classe qui m’ont aidé à les écrire, à les corriger et à les apprendre.
J’ai utilisé certains développements et beaucoup d’idées de ceux-ci, je le préciserai à chaque fois que cela arrive
(même si j’ai souvent ajouté ma touche personnelle à leur travail !).
Je trouve important de préciser que ce fichier est le fruit d’un grand travail de groupe dont je ne suis que
l’humble transcripteur.
Il est assez difficile de savoir ce qui est attendu des candidats en matière de développements : faut-il faire
un développement didactique et compréhensible ou montrer qu’on sait faire des choses complexes ?
La question se pose car l’agrégation est un concours d’enseignement et l’état actuel de l’épreuve rend plutôt
compte d’une course vers des développements complexes que l’on présente sans rien expliquer mais plutôt en
faisant des ellipses pour tenir en 15 minutes.
Je pense qu’il sera apprécié du candidat qu’il fasse des développements complexes et rares mais il est aussi
important que celui-ci montre ses compétences pédagogiques au jury via des exemples simples, des applications,
des dessins... C’est pourquoi je me suis efforcé de présenter pour chaque développement des petites remarques
permettant de comprendre un peu mieux les résultats prouvés. Je suis persuadé que celles-ci peuvent faire la
différence le jour de l’oral entre un bête rabâchage et un exposé réussi.
Aux agrégatifs qui lisent ces lignes, je dis BON COURAGE !
Aux autres lecteurs, je souhaite une bonne lecture et j’espère que vous trouverez ici ce que vous cherchez.
PS : Je tiens à préciser que ce fichier contient beaucoup de développements complexes. Je conseille donc au
lecteur de bien s’approprier les notions associées à ceux-ci avant de les adopter. Certains développements me
paraissent toujours dangereux même après avoir passé des heures dessus (le théorème de Pascal ou les polygones
réguliers constructibles par exemple).
Une dernière précision :
J’autorise et j’encourage tout lecteur à partager ce document si il lui a été utile, mais ceci uniquement à titre
gratuit.
Adrien LAURENT 4 ENS Rennes - Université de Rennes 1