Processus de branchement pour l`infection cellulaire.

Processus de branchement pour l’infection
cellulaire.
Vincent Bansaye & Chi Tran Viet
CMAP, Polytechnique.
15 septembre 2009, Nice.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
1 / 30
Infection et division cellulaire en temps discret
Introduction
Motivations
Modéliser la transmission du patrimoine d’une cellule qui se divise.
Ici on s’intéresse à des parasites qui croissent dans les cellules (mais
on peut imaginer aussi des protéines, des mitochondries ou de
l’énergie dans les cellules, des individus dans une tribu...)
Prendre en compte les répartitions inégales aléatoires : Fortes
dissymétries observées au laboratoire TaMaRa à l’hopital Necker.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Infection et division cellulaire en temps discret
Introduction
Motivations
Modéliser la transmission du patrimoine d’une cellule qui se divise.
Ici on s’intéresse à des parasites qui croissent dans les cellules (mais
on peut imaginer aussi des protéines, des mitochondries ou de
l’énergie dans les cellules, des individus dans une tribu...)
Prendre en compte les répartitions inégales aléatoires : Fortes
dissymétries observées au laboratoire TaMaRa à l’hopital Necker.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
2 / 30
Infection et division cellulaire en temps discret
Vincent Bansaye (CMAP, X)
Introduction
15 septembre 2009, Nice.
3 / 30
Infection et division cellulaire en temps discret
Vincent Bansaye (CMAP, X)
Introduction
15 septembre 2009, Nice.
3 / 30
Infection et division cellulaire en temps discret
Vincent Bansaye (CMAP, X)
Introduction
15 septembre 2009, Nice.
3 / 30
Infection et division cellulaire en temps discret
Vincent Bansaye (CMAP, X)
Introduction
15 septembre 2009, Nice.
3 / 30
Infection et division cellulaire en temps discret
Vincent Bansaye (CMAP, X)
Introduction
15 septembre 2009, Nice.
3 / 30
Infection et division cellulaire en temps discret
Vincent Bansaye (CMAP, X)
Introduction
15 septembre 2009, Nice.
3 / 30
Infection et division cellulaire en temps discret
Vincent Bansaye (CMAP, X)
Introduction
15 septembre 2009, Nice.
3 / 30
Infection et division cellulaire en temps discret
Introduction
S
T := n∈N {0, 1}n = arbre binaire des cellules.
X := loi de reproduction des parasites.
(P(i))i∈T suite iid distribuée comme P ∈ (0, 1).
Zi = nombre de parasites de la cellule i ∈ T.
Conditionnellement à Zi = x et P(i) = p, le nombre de parasites des
cellules filles (Zi0 , Zi1 ) est distribué comme
x
X
(p)
(Xi
(p)
, Xi − Xi
),
i=1
avec (Xi )i≥1 iid distribuées comme X
P i
(p)
(i)
1lU (i) ≤p , avec (Uj )i,j≥1 iid de loi uniforme sur [0, 1].
Xi = Xj=1
j
(Zi )i∈T est une chaîne de Markov indexée par un arbre binaire. Voir
Athreya, Benjamini, Peres ... dans le cas iid, Guyon dans le cas
assymétrique.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
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Infection et division cellulaire en temps discret
Vincent Bansaye (CMAP, X)
Répartition égale ou inégale
15 septembre 2009, Nice.
5 / 30
Infection et division cellulaire en temps discret
Comportement asymptotique
Questions...
Quand est ce que l’organisme guérit ?
Combien y-a-t-il de cellules infectées asymptotiquement ?
Combien y-a-t-il de parasites dans les cellules infectées
asymptotiquement ?
Vincent Bansaye (CMAP, X)
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Infection et division cellulaire en temps discret
Comportement asymptotique
Guérison
Nn := Nombre de cellules infectées à la génération n
:= #{i ∈ {0, 1}n : Zi > 0}.
Guérison := le nombre de cellules infectées devient négligeable
n→∞
:= {Nn /2n −→ 0}
Proposition
Si log(E(X )) ≤ E(log(1/P)), alors p.s. l’organisme guérit.
Sinon, avec probabilité positive, l’organisme ne guérit pas.
Dans le deuxième cas, dès que les parasites survivent, l’organisme ne
guérit pas et les parasites prolifèrent même dans les cellules, i.e. pour
tout K ≥ 1,
#{i : 0 < Zi ≤ K } n→∞
−→ 0.
2n
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Infection et division cellulaire en temps discret
Comportement asymptotique
Guérison
Nn := Nombre de cellules infectées à la génération n
:= #{i ∈ {0, 1}n : Zi > 0}.
Guérison := le nombre de cellules infectées devient négligeable
n→∞
:= {Nn /2n −→ 0}
Proposition
Si log(E(X )) ≤ E(log(1/P)), alors p.s. l’organisme guérit.
Sinon, avec probabilité positive, l’organisme ne guérit pas.
Dans le deuxième cas, dès que les parasites survivent, l’organisme ne
guérit pas et les parasites prolifèrent même dans les cellules, i.e. pour
tout K ≥ 1,
#{i : 0 < Zi ≤ K } n→∞
−→ 0.
2n
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
7 / 30
Infection et division cellulaire en temps discret
Comportement asymptotique
Equivalent du nombre de cellules infectées << 2n
Nn := Nombre de cellules infectées à la génération n
Théorème
(i) Si log(E(X ))/2 < E(P log(1/P)), alors
Nn n→∞
−→ W ∈ (0, ∞) en probabilité.
E(X )n
(ii) Si log(E(X ))/2 > E(P log(1/P)) et log(E(X )) < E(log(1/P)),
E(Nn ) n→∞
−→ c ∈ (0, ∞),
(2γ)n n−3/2
avec 2γ = 2 inf{E((E(X )P)s : s ∈ [0, 1]}< E(X ).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
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Infection et division cellulaire en temps discret
Comportement asymptotique
Equivalent du nombre de cellules infectées << 2n
Nn := Nombre de cellules infectées à la génération n
Théorème
(i) Si log(E(X ))/2 < E(P log(1/P)), alors
Nn n→∞
−→ W ∈ (0, ∞) en probabilité.
E(X )n
(ii) Si log(E(X ))/2 > E(P log(1/P)) et log(E(X )) < E(log(1/P)),
E(Nn ) n→∞
−→ c ∈ (0, ∞),
(2γ)n n−3/2
avec 2γ = 2 inf{E((E(X )P)s : s ∈ [0, 1]}< E(X ).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
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Infection et division cellulaire en temps discret
Comportement asymptotique
Prolongements
Convergence des proportions de cellules inféctées par un nombre
donné de parasites vers des limites déterministes.
Ajout d’une contamination aléatoire extérieure.
Ajout d’une barrière, contaminaion entre cellules ?
Vincent Bansaye (CMAP, X)
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Infection cellulaire en temps continu et espace continu
Introduction
Nous nous intéressons maintenant au temps (et espace) continu :
la quantité de parasites (Pt : t ≥ 0) croit continument dans la
cellule suivant une diffusion de Feller.
p
dPt = gPt dt + 2σ 2 Pt dBt .
la cellule se divise avec un taux r (x) qui peut dépendre de son
infection x. Ici r est monotone.
quand la cellule se divise, une fraction aléatoire F des parasites
se retrouve dans la première cellule fille, tandis que le reste va
d
dans l’autre. F = 1 − F . A nouveau, les répartitions peuvent être
inéquitables.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
10 / 30
Infection cellulaire en temps continu et espace continu
Introduction
Nous nous intéressons maintenant au temps (et espace) continu :
la quantité de parasites (Pt : t ≥ 0) croit continument dans la
cellule suivant une diffusion de Feller.
p
dPt = gPt dt + 2σ 2 Pt dBt .
la cellule se divise avec un taux r (x) qui peut dépendre de son
infection x. Ici r est monotone.
quand la cellule se divise, une fraction aléatoire F des parasites
se retrouve dans la première cellule fille, tandis que le reste va
d
dans l’autre. F = 1 − F . A nouveau, les répartitions peuvent être
inéquitables.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
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Infection cellulaire en temps continu et espace continu
Introduction
Nous nous intéressons maintenant au temps (et espace) continu :
la quantité de parasites (Pt : t ≥ 0) croit continument dans la
cellule suivant une diffusion de Feller.
p
dPt = gPt dt + 2σ 2 Pt dBt .
la cellule se divise avec un taux r (x) qui peut dépendre de son
infection x. Ici r est monotone.
quand la cellule se divise, une fraction aléatoire F des parasites
se retrouve dans la première cellule fille, tandis que le reste va
d
dans l’autre. F = 1 − F . A nouveau, les répartitions peuvent être
inéquitables.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Infection cellulaire en temps continu et espace continu
Introduction
Propriété de branchement : conditionellement à leur infection initiale,
les cellules évoluent indépendamment.
Ref : Dawson & al (02) ou Evans-Steinsaltz (08) pour une approche
superprocessus, Rouault & al pour les processus de Markov
branchant.
Note : Ce modèle peut etre vu comme une fragmentation aléatoire où
la masse du fragment croît suivant une diffusion de Feller et le
fragment se casse en deux morceaux à un taux qui peut dépendre de
sa masse.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
11 / 30
Infection cellulaire en temps continu et espace continu
Introduction
Propriété de branchement : conditionellement à leur infection initiale,
les cellules évoluent indépendamment.
Ref : Dawson & al (02) ou Evans-Steinsaltz (08) pour une approche
superprocessus, Rouault & al pour les processus de Markov
branchant.
Note : Ce modèle peut etre vu comme une fragmentation aléatoire où
la masse du fragment croît suivant une diffusion de Feller et le
fragment se casse en deux morceaux à un taux qui peut dépendre de
sa masse.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Infection cellulaire en temps continu et espace continu
Introduction
Propriété de branchement : conditionellement à leur infection initiale,
les cellules évoluent indépendamment.
Ref : Dawson & al (02) ou Evans-Steinsaltz (08) pour une approche
superprocessus, Rouault & al pour les processus de Markov
branchant.
Note : Ce modèle peut etre vu comme une fragmentation aléatoire où
la masse du fragment croît suivant une diffusion de Feller et le
fragment se casse en deux morceaux à un taux qui peut dépendre de
sa masse.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
11 / 30
Infection cellulaire en temps continu et espace continu
Introduction
Les parasites ’grouillent’ dans les cellules en division...
On suppose que la quantité de parasites évolue comme un processus
de naissance et de mort supercritique et que le nombre initial N de
parasites est grand. On considère une renormalisation standard :
birth rate = b+Nσ 2 ,
death rate = d +Nσ 2 ,
σ > 0,
N → ∞.
En divisant la quantité de parasites par N, on obtient à la limite une
diffusion de Feller :
p
dPt = (b − d)Pt dt + 2σ 2 Pt dBt .
Ici g = (b − d) > 0 et la quantité de parasites croit geométriquement.
La population de cellules reste discrète.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
12 / 30
Infection cellulaire en temps continu et espace continu
Introduction
Les parasites ’grouillent’ dans les cellules en division...
On suppose que la quantité de parasites évolue comme un processus
de naissance et de mort supercritique et que le nombre initial N de
parasites est grand. On considère une renormalisation standard :
birth rate = b+Nσ 2 ,
death rate = d +Nσ 2 ,
σ > 0,
N → ∞.
En divisant la quantité de parasites par N, on obtient à la limite une
diffusion de Feller :
p
dPt = (b − d)Pt dt + 2σ 2 Pt dBt .
Ici g = (b − d) > 0 et la quantité de parasites croit geométriquement.
La population de cellules reste discrète.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
12 / 30
Infection cellulaire en temps continu et espace continu
Introduction
Les parasites ’grouillent’ dans les cellules en division...
On suppose que la quantité de parasites évolue comme un processus
de naissance et de mort supercritique et que le nombre initial N de
parasites est grand. On considère une renormalisation standard :
birth rate = b+Nσ 2 ,
death rate = d +Nσ 2 ,
σ > 0,
N → ∞.
En divisant la quantité de parasites par N, on obtient à la limite une
diffusion de Feller :
p
dPt = (b − d)Pt dt + 2σ 2 Pt dBt .
Ici g = (b − d) > 0 et la quantité de parasites croit geométriquement.
La population de cellules reste discrète.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
12 / 30
Infection cellulaire en temps continu et espace continu
Introduction
Questions ...
On note Vt l’ensemble des cellules vivantes au temps t et Xti la
quantité de parasites dans la cellule i au temps t quand i ∈ Vt .
L’organisme guérit quand
lim #{i ∈ V (t) : Xti > 0}/#Vt = 0
t→∞
Les parasites prolifèrent dans les cellules quand
lim sup #{i ∈ Vt : Xti ≥ eβt }/#Vt > 0
pour un β > 0.
t→∞
Dans le cas intermédiaire, on parlera d’ ’infection modérée.’
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
13 / 30
Infection cellulaire en temps continu et espace continu
Introduction
Questions ...
On note Vt l’ensemble des cellules vivantes au temps t et Xti la
quantité de parasites dans la cellule i au temps t quand i ∈ Vt .
L’organisme guérit quand
lim #{i ∈ V (t) : Xti > 0}/#Vt = 0
t→∞
Les parasites prolifèrent dans les cellules quand
lim sup #{i ∈ Vt : Xti ≥ eβt }/#Vt > 0
pour un β > 0.
t→∞
Dans le cas intermédiaire, on parlera d’ ’infection modérée.’
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
13 / 30
Infection dans une lignée cellulaire
Quantité de parasites dans une lignée cellulaire.
Combien de parasites y-a-t-il dans une cellule typique ? Pour
répondre, on suit une lignée cellulaire et on relève la quantité
(Yt : t ≥ 0) de parasites à l’intérieur :
Yt = XtI
avec I = (0...0) ∈ Vt .
Ce processus suit une diffusion de Feller (Pt : t ≥ 0), plus des sauts
multiplicatifs F qui correspondent à la division de la cellule et se
produisent au taux r (Yt ) :
Z t
Z tp
Yt = Y0 +
gYs ds +
2σ 2 Ys dBs
0
0
Z tZ
−
1lθ≤r (Ys− ) fYs− Q(ds, dθ, df ).
0
R+ ×[0,1]
où Q est une mesure de Poisson sur E := R+ × R+ × [0, 1] d’ intensité
ds dθ P(F ∈ .).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
14 / 30
Infection dans une lignée cellulaire
Quantité de parasites dans une lignée cellulaire.
Combien de parasites y-a-t-il dans une cellule typique ? Pour
répondre, on suit une lignée cellulaire et on relève la quantité
(Yt : t ≥ 0) de parasites à l’intérieur :
Yt = XtI
avec I = (0...0) ∈ Vt .
Ce processus suit une diffusion de Feller (Pt : t ≥ 0), plus des sauts
multiplicatifs F qui correspondent à la division de la cellule et se
produisent au taux r (Yt ) :
Z t
Z tp
Yt = Y0 +
gYs ds +
2σ 2 Ys dBs
0
0
Z tZ
−
1lθ≤r (Ys− ) fYs− Q(ds, dθ, df ).
0
R+ ×[0,1]
où Q est une mesure de Poisson sur E := R+ × R+ × [0, 1] d’ intensité
ds dθ P(F ∈ .).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
14 / 30
Infection dans une lignée cellulaire
Quantité de parasites dans une lignée cellulaire.
Combien de parasites y-a-t-il dans une cellule typique ? Pour
répondre, on suit une lignée cellulaire et on relève la quantité
(Yt : t ≥ 0) de parasites à l’intérieur :
Yt = XtI
avec I = (0...0) ∈ Vt .
Ce processus suit une diffusion de Feller (Pt : t ≥ 0), plus des sauts
multiplicatifs F qui correspondent à la division de la cellule et se
produisent au taux r (Yt ) :
Z t
Z tp
Yt = Y0 +
gYs ds +
2σ 2 Ys dBs
0
0
Z tZ
−
1lθ≤r (Ys− ) fYs− Q(ds, dθ, df ).
0
R+ ×[0,1]
où Q est une mesure de Poisson sur E := R+ × R+ × [0, 1] d’ intensité
ds dθ P(F ∈ .).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
14 / 30
Infection dans une lignée cellulaire
Comportement asymptotique pour r constant
Critère d’extinction pour une diffusion de Feller avec sauts
multiplicatifs.
Théorème
(i) Si g ≤ E(log(1/F ))r , alors
P(∃t > 0 : Yt = 0) = 1.
(ii) Si g > E(log(1/F ))r , alors
P( lim Yt = ∞) > 0.
t→+∞
De plus, pour tout 0 ≤ β < g − E(log(1/F ))r ,
P( lim e−βt Yt = ∞) > 0.
t→+∞
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
15 / 30
Infection dans une lignée cellulaire
Comportement asymptotique pour r constant
Critère d’extinction pour une diffusion de Feller avec sauts
multiplicatifs.
Théorème
(i) Si g ≤ E(log(1/F ))r , alors
P(∃t > 0 : Yt = 0) = 1.
(ii) Si g > E(log(1/F ))r , alors
P( lim Yt = ∞) > 0.
t→+∞
De plus, pour tout 0 ≤ β < g − E(log(1/F ))r ,
P( lim e−βt Yt = ∞) > 0.
t→+∞
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
15 / 30
Infection dans une lignée cellulaire
Esquisse de preuve pour r constant
Introduisons une bonne renormalisation (Yt : t ≥ 0)
Ȳt = Yt exp (Kt − gt)
où
Z tZ
Kt = −
1lθ≤r log(f )Q(du, dθ, df ).
0
R+ ×[0,1]
Le processus Ȳ satisfait l’EDS suivante :
Z t
q
g 2σ 2 Y¯s dBs .
Ȳt = Y0 +
exp Kt /2 − t
2
0
(1)
C’est une martingale continue qui converge p.s. quand t → ∞.
En utilisant à nouveau la formule d’Ito pour u(t0 − t, Ȳt ), on obtient
!!
λy0
Ey0 exp(−λȲt ) = E exp − R t
σλ 0 eKs −gs ds + 1
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
16 / 30
Infection dans une lignée cellulaire
Comportement asymptotique dans le cas r monotone
Critère d’extinction pour une diffusion de Feller avec sauts
multiplicatifs.
Proposition
Dans le cas r croissant,
Si il existe x0 tel que g ≤ E(log(1/F ))r (x0 ), alors
P(∃t > 0, Yt = 0) = 1.
Si g > E(log(1/F )) supx∈R+ r (x), alors
P( lim Yt = ∞) > 0.
t→∞
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
17 / 30
Infection dans une lignée cellulaire
Comportement asymptotique dans le cas r monotone
Critère d’extinction pour une diffusion de Feller avec sauts
multiplicatifs.
Proposition
Dans le cas r croissant,
Si il existe x0 tel que g ≤ E(log(1/F ))r (x0 ), alors
P(∃t > 0, Yt = 0) = 1.
Si g > E(log(1/F )) supx∈R+ r (x), alors
P( lim Yt = ∞) > 0.
t→∞
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
17 / 30
Guérison ou infection modérée
Critère de guérison dans le cas r constant
On considère maintenant les distributions empiriques :
X
U(t) E
f (Xti )/#Vt = E f (Xt ) ,
i∈Vt
où U(t) est uniformement distribué dans Vt .
Quelle est l’évolution de la distribution de la quantité de parasites
dans une cellule choisit uniformement au temps t quand t → ∞ ?
U(t) d
Xt
' Yt
(t → ∞)?
VRAI pour les arbres binaires discrets mais FAUX pour les arbres
continus.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
18 / 30
Guérison ou infection modérée
Critère de guérison dans le cas r constant
On considère maintenant les distributions empiriques :
X
U(t) E
f (Xti )/#Vt = E f (Xt ) ,
i∈Vt
où U(t) est uniformement distribué dans Vt .
Quelle est l’évolution de la distribution de la quantité de parasites
dans une cellule choisit uniformement au temps t quand t → ∞ ?
U(t) d
Xt
' Yt
(t → ∞)?
VRAI pour les arbres binaires discrets mais FAUX pour les arbres
continus.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
18 / 30
Guérison ou infection modérée
Critère de guérison dans le cas r constant
On considère maintenant les distributions empiriques :
X
U(t) E
f (Xti )/#Vt = E f (Xt ) ,
i∈Vt
où U(t) est uniformement distribué dans Vt .
Quelle est l’évolution de la distribution de la quantité de parasites
dans une cellule choisit uniformement au temps t quand t → ∞ ?
U(t) d
Xt
' Yt
(t → ∞)?
VRAI pour les arbres binaires discrets mais FAUX pour les arbres
continus.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
18 / 30
Guérison ou infection modérée
Critère de guérison dans le cas r constant
On considère maintenant les distributions empiriques :
X
U(t) E
f (Xti )/#Vt = E f (Xt ) ,
i∈Vt
où U(t) est uniformement distribué dans Vt .
Quelle est l’évolution de la distribution de la quantité de parasites
dans une cellule choisit uniformement au temps t quand t → ∞ ?
U(t) d
Xt
' Yt
(t → ∞)?
VRAI pour les arbres binaires discrets mais FAUX pour les arbres
continus.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
18 / 30
Guérison ou infection modérée.
Critère de guérison dans le cas r constant
Le long d’une lignée cellulaire, les divisions se produisent avec un taux
r TANDIS QUE ...
... le long de la lignée ancestrale d’un individu choisit uniformément au
temps t, les divisions ’se produisent approximativement’ au taux 2r
quand t → ∞ [Samuels (71), Biggins (76), Chauvin and al (91)].
Alors,
U(t) d
Xt
et
∼Y
(t → ∞),
et est une diffusion de Feller (Pt : t ≥ 0) qui est multipliée avec
avec Y
un taux 2r par des v.a. iid distribuées comme F .
U(t)
et > 0)
E #{i ∈ Vt : Xti > 0}/#Vt = P(Xt
> 0) ∼ P(Y
quand t → ∞.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
19 / 30
Guérison ou infection modérée.
Critère de guérison dans le cas r constant
Le long d’une lignée cellulaire, les divisions se produisent avec un taux
r TANDIS QUE ...
... le long de la lignée ancestrale d’un individu choisit uniformément au
temps t, les divisions ’se produisent approximativement’ au taux 2r
quand t → ∞ [Samuels (71), Biggins (76), Chauvin and al (91)].
Alors,
U(t) d
Xt
et
∼Y
(t → ∞),
et est une diffusion de Feller (Pt : t ≥ 0) qui est multipliée avec
avec Y
un taux 2r par des v.a. iid distribuées comme F .
U(t)
et > 0)
E #{i ∈ Vt : Xti > 0}/#Vt = P(Xt
> 0) ∼ P(Y
quand t → ∞.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
19 / 30
Guérison ou infection modérée.
Critère de guérison dans le cas r constant
Le long d’une lignée cellulaire, les divisions se produisent avec un taux
r TANDIS QUE ...
... le long de la lignée ancestrale d’un individu choisit uniformément au
temps t, les divisions ’se produisent approximativement’ au taux 2r
quand t → ∞ [Samuels (71), Biggins (76), Chauvin and al (91)].
Alors,
U(t) d
Xt
et
∼Y
(t → ∞),
et est une diffusion de Feller (Pt : t ≥ 0) qui est multipliée avec
avec Y
un taux 2r par des v.a. iid distribuées comme F .
U(t)
et > 0)
E #{i ∈ Vt : Xti > 0}/#Vt = P(Xt
> 0) ∼ P(Y
quand t → ∞.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
19 / 30
Guérison ou infection modérée.
Critère de guérison dans le cas r constant
Théorème
(i) Si g ≤ 2E(log(1/F ))r , alors l’organisme guérit p.s. :
#{i ∈ Vt : Xit > 0}
= 0 a.s
t→+∞
#Vt
lim
(ii) Si g > 2E(log(1/F ))r , alors les parasites prolifèrent dans les
cellules avec probabilité positive : Pour tout β < g − 2E(log(1/F ))r ,
P lim sup
t→∞
#{i ∈ Vt : Xit ≥ eβt }
> 0 > 0.
#Vt
Dans le deuxième cas, la prolifération a lieu dès que les parasites
survivent, ce qui est le cas avec probabilité 1 − exp(−gx0 /σ 2 ).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
20 / 30
Guérison ou infection modérée.
Critère de guérison dans le cas r constant
Théorème
(i) Si g ≤ 2E(log(1/F ))r , alors l’organisme guérit p.s. :
#{i ∈ Vt : Xit > 0}
= 0 a.s
t→+∞
#Vt
lim
(ii) Si g > 2E(log(1/F ))r , alors les parasites prolifèrent dans les
cellules avec probabilité positive : Pour tout β < g − 2E(log(1/F ))r ,
P lim sup
t→∞
#{i ∈ Vt : Xit ≥ eβt }
> 0 > 0.
#Vt
Dans le deuxième cas, la prolifération a lieu dès que les parasites
survivent, ce qui est le cas avec probabilité 1 − exp(−gx0 /σ 2 ).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
20 / 30
Guérison ou infection modérée.
Critère de guérison dans le cas r constant
Théorème
(i) Si g ≤ 2E(log(1/F ))r , alors l’organisme guérit p.s. :
#{i ∈ Vt : Xit > 0}
= 0 a.s
t→+∞
#Vt
lim
(ii) Si g > 2E(log(1/F ))r , alors les parasites prolifèrent dans les
cellules avec probabilité positive : Pour tout β < g − 2E(log(1/F ))r ,
P lim sup
t→∞
#{i ∈ Vt : Xit ≥ eβt }
> 0 > 0.
#Vt
Dans le deuxième cas, la prolifération a lieu dès que les parasites
survivent, ce qui est le cas avec probabilité 1 − exp(−gx0 /σ 2 ).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
20 / 30
Guérison ou infection modérée.
Critère de guérison dans le cas r constant
Théorème
(i) Si g ≤ 2E(log(1/F ))r , alors l’organisme guérit p.s. :
#{i ∈ Vt : Xit > 0}
= 0 a.s
t→+∞
#Vt
lim
(ii) Si g > 2E(log(1/F ))r , alors les parasites prolifèrent dans les
cellules avec probabilité positive : Pour tout β < g − 2E(log(1/F ))r ,
P lim sup
t→∞
#{i ∈ Vt : Xit ≥ eβt }
> 0 > 0.
#Vt
L’organisme peut guérir p.s. malgré une croissance g des parasites
elevé et un taux de division r faible, et bien que la quantité de
parasites dans une lignée cellulaire explose avec probabilité positive.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Guérison ou infection modérée.
Esquisse de preuve.
Tout d’abord, nous prouvons que pour tout t ≥ 0,
et > 0)
E(#Vt )−1 E #{i ∈ Vt : Xit > 0} = P(Y
et → 0. De plus,
Si g ≤ 2E(log(1/F ))r , alors Y
#{i ∈ Vt : Xit > 0}
E(#Vt ) #{i ∈ Vt : Xit > 0}
.
=
#Vt
#Vt
E(#Vt )
En ajoutant que E(#Vt )/#Vt tend vers 1/W ∈ (0, ∞) quand t → ∞,
on obtient
#{i ∈ Vt : Xit > 0} t→∞
−→ 0
#Vt
en probabilité.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Guérison ou infection modérée.
Infection cellulaire dans le cas r ↑
La situation est très differente : l’arbre généalogique de la population
de cellules n’est plus un arbre connu (par exemple un arbre de Yule) et
des dépendances supplémentaires entre les longueurs des branches
apparaissent.
Considérons maintenant le cas où
r (x) = 0
for
x < x0 ,
r (x) = ∞
for
x ≥ x0 .
La quantité de parasites dans chaque cellule est inférieur à x0 (pas de
prolifération), mais en prenant g suffisamment fort, il n’y a pas de
guérison.
On parle d’ ’infection modérée’ et on va ici déterminer quand elle se
produit.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
23 / 30
Guérison ou infection modérée.
Infection cellulaire dans le cas r ↑
La situation est très differente : l’arbre généalogique de la population
de cellules n’est plus un arbre connu (par exemple un arbre de Yule) et
des dépendances supplémentaires entre les longueurs des branches
apparaissent.
Considérons maintenant le cas où
r (x) = 0
for
x < x0 ,
r (x) = ∞
for
x ≥ x0 .
La quantité de parasites dans chaque cellule est inférieur à x0 (pas de
prolifération), mais en prenant g suffisamment fort, il n’y a pas de
guérison.
On parle d’ ’infection modérée’ et on va ici déterminer quand elle se
produit.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
23 / 30
Guérison ou infection modérée.
Infection modérée dans le cas r ↑
Théorème
(i) Si il existe x0 ≥ 0 tel que g < E(log(1/F ))r (x0 ), alors l’infection est
modérée p.s. :
#{i ∈ Vt : Xti ≥ A}
lim sup E
= 0.
#Vt
A→∞ t≥0
(ii) Si g > E(log(1/F )) supx∈R+ r (x), alors les parasites prolifèrent
dans les cellules avec probabilité positive
P lim sup
t→∞
#{i ∈ Vt : Xit ≥ eβt }
>0 >0
#Vt
pour 0 < β < g − E(log(1/F )) supx∈R+ r (x).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Guérison ou infection modérée.
Infection modérée dans le cas r ↑
Théorème
(i) Si il existe x0 ≥ 0 tel que g < E(log(1/F ))r (x0 ), alors l’infection est
modérée p.s. :
#{i ∈ Vt : Xti ≥ A}
lim sup E
= 0.
#Vt
A→∞ t≥0
(ii) Si g > E(log(1/F )) supx∈R+ r (x), alors les parasites prolifèrent
dans les cellules avec probabilité positive
P lim sup
t→∞
#{i ∈ Vt : Xit ≥ eβt }
>0 >0
#Vt
pour 0 < β < g − E(log(1/F )) supx∈R+ r (x).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Guérison ou infection modérée.
Moderate infection in the case when r ↑
1)
< µt , f >' E(f (At ))
avec (At : t ≥ 0) une diffusion de Feller (Pt : t ≥ 0) qui subit des sauts
supplémentaires :
au taux 2r (x), le processus saute de x à Fx
au taux E(r (At )), le processus saute à la hauteur S donnée par
P(S ∈ dx) =
r (x)P(At ∈ dx)
.
E(r (At ))
2) Calcul dans le cas f (x) = x α .
3) Arguments de couplage.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Guérison ou infection modérée.
Moderate infection in the case when r ↑
1)
< µt , f >' E(f (At ))
avec (At : t ≥ 0) une diffusion de Feller (Pt : t ≥ 0) qui subit des sauts
supplémentaires :
au taux 2r (x), le processus saute de x à Fx
au taux E(r (At )), le processus saute à la hauteur S donnée par
P(S ∈ dx) =
r (x)P(At ∈ dx)
.
E(r (At ))
2) Calcul dans le cas f (x) = x α .
3) Arguments de couplage.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
25 / 30
Guérison ou infection modérée.
Moderate infection in the case when r ↑
1)
< µt , f >' E(f (At ))
avec (At : t ≥ 0) une diffusion de Feller (Pt : t ≥ 0) qui subit des sauts
supplémentaires :
au taux 2r (x), le processus saute de x à Fx
au taux E(r (At )), le processus saute à la hauteur S donnée par
P(S ∈ dx) =
r (x)P(At ∈ dx)
.
E(r (At ))
2) Calcul dans le cas f (x) = x α .
3) Arguments de couplage.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Guérison ou infection modérée.
Questions ?
? critère de guérison pour r ↑.
? le cas r ↓.
? le cas r non monotone.
? Généralisation à un processus de Markov le long des branches et
un noyau de transition au moment de la division quelconques. Voir
Guyon (06) pour le cas discret.
? Généralisation à un nombre aléatoire d’enfants. Voir Delmas et
Marsalle (08) pour le cas discret.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Processus de Markov indexé par un arbre de Galton Watson.
avec J-F Delmas, L. Marsalle and C. Tran Viet
Description du modèle
A partir de maintenant, le taux de division r est constant et
la quantité de parasites dans les cellules évolue suivant un
processus de Markov (Xt : t ≥ 0).
chaque cellule se divise en un nmombre aléatoire K de cellules
filles, avec m = E(K ) > 1.
si la cellule mère contient une quantité x de parasites et se divise
en k cellules filles, alors la quantité de parasites dans les cellules
filles est donnée par
P k (x, dx1 ...dxk )
C’est un processus de Markov branchant.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Processus de Markov indexé par un arbre de Galton Watson.
avec J-F Delmas, L. Marsalle and C. Tran Viet
Description du modèle
A partir de maintenant, le taux de division r est constant et
la quantité de parasites dans les cellules évolue suivant un
processus de Markov (Xt : t ≥ 0).
chaque cellule se divise en un nmombre aléatoire K de cellules
filles, avec m = E(K ) > 1.
si la cellule mère contient une quantité x de parasites et se divise
en k cellules filles, alors la quantité de parasites dans les cellules
filles est donnée par
P k (x, dx1 ...dxk )
C’est un processus de Markov branchant.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Processus de Markov indexé par un arbre de Galton Watson.
avec J-F Delmas, L. Marsalle and C. Tran Viet
Description du modèle
A partir de maintenant, le taux de division r est constant et
la quantité de parasites dans les cellules évolue suivant un
processus de Markov (Xt : t ≥ 0).
chaque cellule se divise en un nmombre aléatoire K de cellules
filles, avec m = E(K ) > 1.
si la cellule mère contient une quantité x de parasites et se divise
en k cellules filles, alors la quantité de parasites dans les cellules
filles est donnée par
P k (x, dx1 ...dxk )
C’est un processus de Markov branchant.
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Processus de Markov indexé par un arbre de Galton Watson.
avec J-F Delmas, L. Marsalle and C. Tran Viet
Processus auxiliaire
E
X
U(t) et ))
f (Xti )/#Vt = E f (Xt ) ' E(f (Y
i∈Vt
où
et : t ≥ 0) suit un processus de Markov
entre deux sauts, (Y
(Xt : t ≥ 0).
il saute de plus au taux m.r.
la distribution de ces sauts est donné par le noyau
P(x, dy ) = m
−1
X
k ∈N
Vincent Bansaye (CMAP, X)
P(K = k )
k
X
P k (x, Ri−1 dy Rk −i )
i=1
15 septembre 2009, Nice.
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Processus de Markov indexé par un arbre de Galton Watson.
avec J-F Delmas, L. Marsalle and C. Tran Viet
Processus auxiliaire
E
X
U(t) et ))
f (Xti )/#Vt = E f (Xt ) ' E(f (Y
i∈Vt
où
et : t ≥ 0) suit un processus de Markov
entre deux sauts, (Y
(Xt : t ≥ 0).
il saute de plus au taux m.r.
la distribution de ces sauts est donné par le noyau
P(x, dy ) = m
−1
X
k ∈N
Vincent Bansaye (CMAP, X)
P(K = k )
k
X
P k (x, Ri−1 dy Rk −i )
i=1
15 septembre 2009, Nice.
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Processus de Markov indexé par un arbre de Galton Watson.
avec J-F Delmas, L. Marsalle and C. Tran Viet
Loi des grands nombres pour un processus de Markov
indexé par un arbre de Galton Watson continu.
Théorème (avec J-F Delmas, L. Marsalle et C. Tran Viet)
Si le processus auxiliaire est If the auxiliary process is ergodic with
stationary distribution µ, then for every bounded function f ,
P
Z
i
i∈Vt f (Xt ) t→∞
−→
fµ
#Vt
Applications : age cellulaire, croissance linéaire des parasites,
marches branchantes non locales.
Note : dans le cas discret, des lois des grands nombres similaires ont
été établies par Benjamini et Peres (94) ou Guyon (08).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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Processus de Markov indexé par un arbre de Galton Watson.
avec J-F Delmas, L. Marsalle and C. Tran Viet
Bilan
L’assymétrie dans la répartition favorise l’organisme au sens qu’il
y a moins de cellules infectées (avec des effets de seuils).
Le temps de division continu présente des différences qualitatives
et ’favorise’ aussi la guérison de l’organisme.
A taux de division constant, il y a guérison ou prolifération. A taux
non constant, on peut oberver un régime intermédiaire (’infection
modéree’).
Vincent Bansaye (CMAP, X)
15 septembre 2009, Nice.
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