Plus courts chemins dans un graphe

E. W. Dijkstra
Plus court chemin
Algorithme de Dijkstra
Plus courts chemins dans un graphe
F. Guinand, S. Balev
Master I - Le Havre
F. Guinand, S. Balev
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Algorithme de Dijkstra
Plan
1
E. W. Dijkstra
2
Plus court chemin
3
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Algorithme de Dijkstra
Le plus court chemin d’un graphe n’est jamais celui
que l’on croit, il peut surgir de nulle part, et la plupart
du temps il n’existe pas
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Edsger Wybe Dijkstra (1930 - 2002)
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E.W. Dijkstra
mathématicien et informaticien
début en physique théorique
contributions majeures en informatique
notion de sémaphore, section critique, dîner des
philosophes
programmation structurée → sus au goto
contributeur de Algol W, Algol.
théorie des graphes (1950s, 60s)
=⇒ prix Turing en 1972
notion d’autostabilisation en informatique répartie (1974)
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L’informatique n’est pas plus la science des
ordinateurs que l’astronomie n’est celle des
télescopes
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Tester un programme peut démontrer la présence de
bugs, jamais leur absence
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La programmation par objets est une idée
exceptionnellement mauvaise qui ne pouvait naître
qu’en Californie
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Pourquoi s’intéresse t-on à ces problèmes ?
1
postier chinois et plus généralement problèmes de
tournées
2
ordonnancement
3
routage
4
programmation dynamique
5
labyrinthe
6
investissements/gestion de stocks
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Plus court chemin
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Types de problèmes
le problème de la détermination d’un plus court chemin
entre deux sommets,
le problème de la détermination des plus courts chemin
d’un sommet vers l’ensemble des autres sommets du
graphe,
le calcul du plus court chemin pour l’ensemble des couples
de sommets du graphe.
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Contraintes
si les longueurs sont toutes positives ou nulles
si les longueurs sont toutes égales à l’unité
si le graphe et les longueurs sont quelconques
si le graphe est sans circuit
si le graphe est connexe ou fortement connexe (graphe
orienté)
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algorithme de Dijkstra
algorithme de Bellman-Ford
algorithme de Floyd-Warshall
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Problème
Dans un graphe orienté G(V , A), trouver les plus courts
chemins à partir d’un sommet de départ s ∈ V vers tous les
autres sommets.
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Principe
On maintient
T - ensemble de sommets traités
d(v ), v ∈ V - longueur du plus court chemin de s à v qui ne
passe que par des sommets de T
À chaque itération
on choisit le sommet non-traité le plus proche de T
on l’ajoute à T
on met à jour les d de ses voisins
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Algorithme – version simple
T ←∅
Pour v ∈ V Faire
d(v ) ← ∞
finPour
d(s) ← 0
TantQue (T 6= V )
v ← argmin{d(u) : u 6∈ T }
T ← T ∪ {v }
Pour u ∈ voisins(v ) Faire
d(u) ← min{d(u), d(v ) + wvu }
finPour
finTantQue
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Exemple
a
4
7
b
5
c
1
1
4
1
d
2
e
g
f
2
5
1
1
h
2
i
4
j
Trouver les plus courts chemins de c vers tous les autres
sommets
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Question
On a les longueurs des chemins, mais comment obtenir les
chemins eux-mêmes ?
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Maintien des chemins
T ←∅
Pour v ∈ V Faire
d(v ) ← ∞
finPour
d(s) ← 0
pred(s) ← null
TantQue (T 6= V )
v ← argmin{d(u) : u 6∈ T }
T ← T ∪ {v }
Pour u ∈ voisins(v ) Faire
Si (d(u) > d(v ) + wvu ) Alors
d(u) ← d(v ) + wvu
pred(u) ← v
finSi
finPour
finTantQue
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Terminaison et correction
Démonstration par récurrence sur la taille de T avec les
hypothèses suivantes :
Pour v ∈ T , d(v ) est la longueur du plus court chemin de s
àv
Pour v 6∈ T , d(v ) est la longueur du plus court chemin ne
passant que par sommets de T pour arriver en v
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Complexité
Implémentation naïve : O(n2 )
n itérations de la boucle TantQue
recherche du sommet avec d minimum : O(n)
On peut réduire la complexité en utilisant des structures de
données performantes
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File prioritaire
Une structure de données permettant de stocker des éléments
triés (partiellement) en fonction de leur « priorité » et d’extraire
rapidement l’élément de priorité minimum. Opérations :
F.estVide() : permet de vérifier si la fille est vide
F.extraireMin() : permet de récupérer l’élément de priorité
minimum
F.ajouter(e, p) : permet d’ajouter l’élément e de priorité p.
Si e est déjà dans F, change sa priorité.
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Algorithme – avec file de priorité
Pour v ∈ V Faire
d(v ) ← ∞
finPour
d(s) ← 0
F.initialiser()
F.ajouter(s, 0)
TantQue (non F.estVide())
v ← F.extraireMin()
Pour u ∈ voisins(v ) Faire
Si (d(u) > d(v ) + wvu ) Alors
d(u) ← d(v ) + wvu
F.ajouter(u, d(u))
finSi
finPour
finTantQue
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File prioritaire – implémentation avec listes
Liste non-trié
F.estVide() : O(1)
F.extraireMin() : O(n)
F.ajouter(e, p) : O(1)
Liste trié
F.estVide() : O(1)
F.extraireMin() : O(1)
F.ajouter(e, p) : O(n)
Dans les deux cas, la complexité de l’algorithme de Dijkstra
reste O(n2 )
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File prioritaire – implémentation performante
Heureusement, il existe des structures de données, telles que
les tas ou les arbres binaires de recherche équilibrés
permettant de rendre performantes les deux opérations :
F.estVide() : O(1)
F.extraireMin() : O(log n)
F.ajouter(e, p) : O(log n)
Avec ce type de structures, la complexité de l’algorithme de
Dijkstra passe à O(m + n log n)
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Complexité – récapitulation
Impléméntation naïve : O(n2 )
Implémentation efficace : O(m + n log n)
Exemple. Soit n = 1000 et m = 10000
Impléméntation naïve : ≈ 1 000 000 opérations
Implémentation efficace : ≈ 20 000
Accélération : ≈ ×50
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Exercice
Démontrer que l’algorithme de Dijkstra effectue un parcours
dans le graphe
Rappel. Un parcours d’un graphe à partir d’un sommet s est la
génération d’une liste L de sommets, telle que :
L contient tous les sommets de G atteignables à partir de
s;
s est le premier élément de L ;
chaque sommet de G est au plus une fois dans L ;
pour chaque sommet v 6= s dans L il existe un voisin de v
avant lui dans L
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Limitations
L’algorithme de Dijkstra ne s’applique que pour des graphes
dont le poids des arêtes/arcs est positif ou nul.
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Exemple pour lequel Dijkstra ne s’applique pas
a
−2
1
2
c
b
d
−5
4
2
5
e
f
Trouver les plus courts chemins de a vers tous les autres
sommets
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Le cas de poids négatifs
Comment adapter l’algorithme de Dijkstra pour le cas de poids
négatifs ?
Procedure maj((u, v ) ∈ E)
d(v ) = min{d(v ), d(u) + wuv }
FinProcedure
Donne la valeur correcte de d(v ) si u et le sommet avant v
dans le plus court chemin de s à v et si la valeur de d(u)
est correcte
Quel que soit le nombre d’appels, d(v ) reste une borne
supérieure sur la distance entre s et v
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Le cas de poids négatifs
Considérons le plus court chemin entre s et v :
s − u1 − u2 − · · · − uk − v
Si la séquence des mises à jour inclut (s, u1 ), (u1 , u2 ), . . . (uk , v )
dans cet ordre (mais pas forcement consécutivement), la
distance de s à v sera correctement calculée.
Mais comment savoir le bon ordre ? → Mettre à jour tous les
arcs n − 1 fois.
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Algorithme de Bellman-Ford
Pour v ∈ V Faire
d(v ) ← ∞
finPour
d(s) ← 0
Répéter n − 1 fois
Pour e ∈ E faire
maj(e)
finPour
finRépéter
Amélioration possible : s’arrêter si pendant une itération il n’y a
pas eu de mise à jour.
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Exercices
Correction et complexité de l’algorithme de Bellman-Ford
Le problème du plus court chemin est mal posé dans le
cas de circuits négatifs. Néanmoins, on peut modifier
l’algorithme de Bellman-Ford pour détecter ces circuits.
Comment ?
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Le plus court chemin entre toutes les paires de
sommets
Principe :
d(i, j, k ) - la longueur du plus court chemin entre i et j en
utilisant des sommets intermédiaires seulement parmi
{1, . . . , k }
Au début d(i, j, 0) = wij si (i, j) ∈ E et ∞ sinon
On ajoute un sommet k à chaque itération en mettant à
jour tous les d(i, j, k )
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Algorithme de Floyd-Warshall
Pour i de 1 à n Faire
Pour j de 1 à n Faire
d(i, j) = wij ou ∞
finPour
finPour
Pour k de 1 à n Faire
Pour i de 1 à n Faire
Pour j de 1 à n Faire
d(i, j) = min{d(i, j), d(i, k ) + d(k , j)}
finPour
finPour
finPour
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Exercices
Correction et complexité de l’algorithme de Floyd-Warshall
Détection de cycles négatifs ?
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