Les plus courts chemins

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Trouver le plus court chemin
Une application moderne de la théorie des graphes: le navigateur
GPS.
Comment trouver rapidement le chemin le plus court?

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Plus court chemin dans un graphe
Les carrefours sont les sommets, les routes sont les arêtes.
Comment encoder les distances?
Une fonction de poids sur un graphe (V,E, ψ)est une fonction
E→R. Un graphe pondéré est un graphe muni d’une fonction de
poids.
Ici le poids est typiquement une longueur (toujours ≥0).
Le poids ou la longueur d’un parcours est la somme des poids des
arêtes qui le compose.
La distance d(u,v)est la longueur du plus court chemin de uvers
v.
Ceci généralise la notion de longueur =nombre d’arêtes d’un
parcours.

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Plus court chemin et plus court parcours
Pourquoi le plus court chemin, et non le plus court parcours?
Parce que c’est la même chose!
Théorème: Pour un graphe avec une fonction de poids ≥0, si le
plus court parcours entre uet vest de longueur d, alors le plus
court chemin entre uet vest aussi de longueur d.

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Le problème du plus court chemin
Le problème du plus court chemin: étant donnés un graphe et
deux sommets uet v, trouver le chemin le plus court de uvers v.
Solution évidente: essayer tous les chemins! Temps de calcul
énorme. On veut un algorithme plus efficace.