stt-4400 / stt-6210 analyse de tableaux de fréquences

STT-4400 / STT-6210
ANALYSE DE TABLEAUX DE FRÉQUENCES
Notes de cours rédigées par
Sophie Baillargeon
[email protected]val.ca
à partir des notes et exercices réalisés par
Louis-Paul Rivest, Marc Simard, Nadia Ghazzali, Chantal Mérette,
Claude Belisle, Thierry Duchesne, Aurélie Labbe et Lajmi Lakhal Chaieb.
Automne 2013
Département de mathématiques et de statistique
Faculté des sciences et de génie

Table des matières
Table des matières i
Préface vi
Introduction 1
Définitions ................................ 2
Pour approfondir la notion de variable ................ 4
Rappels concernant les tests d’hypothèses .............. 11
Matière couverte par ces notes de cours ................ 24
1 Tableaux de fréquences à une variable : distributions utiles 29
1.1 Définitions et outils descriptifs .................. 30
1.1.1 Différents formats de jeux de données .......... 31
1.1.2 Graphiques ........................ 32
1.2 Expérience avec la loi Poisson .................. 33
1.2.1 Rappel sur la loi Poisson ................. 33
1.2.2 Estimation ponctuelle du paramètre λ......... 34
1.2.3 Tests d’hypothèses sur le paramètre λ.......... 35
1.2.4 Intervalle de confiance pour λ.............. 37
1.3 Expérience avec la loi binomiale ................. 38
1.3.1 Rappel sur la loi binomiale ................ 38
1.3.2 Estimation ponctuelle d’une proportion π....... 40
1.3.3 Tests d’hypothèses sur une proportion π........ 41
1.3.4 Intervalle de confiance pour une proportion π..... 49
1.4 Expérience avec la loi multinomiale ............... 52
1.4.1 La loi multinomiale .................... 53
1.4.2 Estimation ponctuelle du paramètre π= (π1, . . . , πJ). 54
1.4.3 Test d’hypothèses sur la valeur de π= (π1, . . . , πJ). . 55
i

1.4.4 Intervalle de confiance pour π= (π1, . . . , πJ)...... 58
1.5 Pour aller plus loin ........................ 59
1.5.1 Généralisation du test sur les paramètres d’une loi mul-
tinomiale ......................... 59
1.5.2 Test d’adéquation de données à une loi ......... 60
1.5.3 Commentaire à propos du caractère non paramétrique
de certains des tests présentés dans ce chapitre . . . . . 64
1.6 Résumé des formules concernant les tableaux de fréquences à
une variable ............................ 65
2 Tableaux de fréquences à deux variables : relation entre deux
variables catégoriques 68
2.1 Définitions et outils descriptifs .................. 69
2.1.1 Types d’échantillonnage ................. 74
2.1.2 Estimation des probabilités d’intérêt .......... 81
2.1.3 Qu’est-ce que l’association entre deux variables caté-
goriques ? ......................... 88
2.1.4 Graphiques ........................ 89
2.2 Tests d’association entre deux variables nominales ....... 96
2.2.1 Test d’indépendance et test d’homogénéité de sous-
populations ........................ 96
2.2.2 Cas particulier des tableaux 2 ×2 : test de comparaison
de deux proportions ...................105
2.2.3 Petits échantillons : test de Fisher ............111
2.3 Décrire et mesurer l’association entre deux variables nominales 119
2.3.1 Probabilités conditionnelles ...............119
2.3.2 Résidus ..........................120
2.3.3 Coefficient de Cramer ...................123
2.3.4 Cas particulier des tableaux 2×2: différence de pro-
portions ..........................124
2.3.5 Cas particulier des tableaux 2×2: risque relatif . . . . 126
2.3.6 Cas particulier des tableaux 2×2: rapport de cotes
(odds ratio) ........................128
2.3.7 Quelles mesures demeurent utilisables lorsque l’échan-
tillonnage est multiple ? .................132
2.4 Cas particulier des variables ordinales ..............136
2.4.1 Association entre deux variables ordinales : coefficients
de corrélation .......................137
ii

2.4.2 Association entre une variable nominale et une variable
ordinale ..........................147
2.5 Cas particulier des données pairées ...............148
2.5.1 Différents formats de jeux de données ..........149
2.5.2 Sensibilité et spécificité ..................152
2.5.3 Test de la symétrie de la loi conjointe ..........154
2.5.4 Test d’homogénéité des marginales ...........155
2.5.5 Lien entre les deux tests .................157
2.5.6 Cas particulier du tableau 2×2: le test de McNemar . 157
2.5.7 Mesures d’accord entre les variables Xet Y......158
2.5.8 Interprétation des statistiques pour données pairées . . 159
2.6 Résumé des formules concernant les tableaux de fréquences à
deux variables ...........................162
3 Tableaux de fréquences à trois variables 170
3.1 Définitions et outils descriptifs ..................170
3.1.1 Tableaux conditionnels versus tableau marginal . . . . 170
3.1.2 Graphiques ........................173
3.2 Association conditionnelle versus association marginale . . . . 174
3.2.1 Paradoxe de Simpson ...................177
3.2.2 Indépendance conditionnelle versus marginale . . . . . 179
3.3 Cas particulier des tableaux 2×2×K: homogénéité de l’as-
sociation conditionnelle ......................180
3.3.1 Test d’homogénéité de l’association conditionnelle . . . 180
3.3.2 Mesure commune d’association conditionnelle . . . . . 181
3.3.3 Test d’indépendance conditionnelle ...........182
3.4 Résumé des formules concernant les tableaux de fréquences à
trois variables ...........................183
4 Modèles linéaires généralisés (GLM) 185
4.1 Composantes d’un GLM et notation ...............186
4.1.1 Régression logistique : composantes du modèle . . . . . 189
4.1.2 Régression Poisson : composantes du modèle ......190
4.1.3 Comparaison de différents GLM .............191
4.2 Interprétation des paramètres ..................192
4.2.1 Variables explicatives catégoriques ............192
4.2.2 Lien identité : effet additif ................194
4.2.3 Lien logarithmique : effet multiplicatif .........194
iii

4.2.4 Lien logit : rapport de cotes ...............195
4.2.5 Autres liens ........................196
4.2.6 Interactions ........................197
4.3 Ajustement du modèle ......................198
4.3.1 Exemple de maximum de vraisemblance : régression
Poisson simple avec lien logarithmique .........198
4.3.2 Algorithme numérique de maximisation .........200
4.3.3 Estimation du paramètre de dispersion φ........206
4.4 Format de données : une ligne par individu versus données
groupées ..............................207
4.4.1 Régression logistique avec des données groupées . . . . 211
4.4.2 Régression Poisson avec des données groupées . . . . . 211
4.5 Inférence sur les paramètres ...................213
4.5.1 Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance . . 213
4.5.2 Test de Wald sur un paramètre .............213
4.5.3 Test de rapport de vraisemblance sur plusieurs para-
mètres ...........................214
4.6 Prédiction de Y..........................217
4.6.1 Prédiction par intervalle de confiance ..........217
4.7 Validation du modèle .......................218
4.7.1 Définition de la déviance .................218
4.7.2 Statistiques d’ajustement du modèle : la déviance et la
statistique khi-deux de Pearson .............220
4.7.3 Étude des valeurs prédites et des résidus pour valider
les postulats du modèle .................224
4.8 Correction pour sur ou sous dispersion .............229
4.9 Étapes d’une analyse de données avec un GLM ........230
4.10 Régression logistique pour une variable réponse polytomique . 235
4.10.1 Réponse nominale : modèle logit généralisé .......235
4.10.2 Réponse ordinale : modèle à rapports de cotes propor-
tionnels ..........................237
4.11 Régression logistique conditionnelle ...............239
4.12 Notes complémentaires ......................240
4.12.1 Modélisation de taux : régression Poisson avec variable
offset ............................240
4.12.2 Comparaison d’un GLM avec un modèle linéaire clas-
sique sur une variable réponse transformée . . . . . . . 241
4.13 Résumé des formules concernant les modèles linéaires généralisés243
iv