Probabilités III – Introduction à l`évaluation d`options

Mod`ele `a temps discret
Vers le temps continu
Technique de simulation et r´eduction de variance
Probabilit´es III – Introduction `a l’´evaluation
d’options
IAE – Master 2 de Gestion de Portefeuille
Jacques Printems
Promotion 2012–2013
IAE – Master 2 de Gestion de Portefeuille Probabilit´es III – Introduction `a l’´evaluation d’options

Mod`ele `a temps discret
Vers le temps continu
Technique de simulation et r´eduction de variance
1Mod`ele `a temps discret
Mod`ele `a une p´eriode
Arbitrage, compl´etude
Le mod`ele binomial
2Introduction aux mod`eles en temps continu
Limite du mod`ele binomial lorsque N→+∞
Un mod`ele simple des prix d’actifs
Embryon de calcul stochastique
3Technique de simulation et r´eduction de variance
M´ethode de Monte-Carlo
R´eduction de variance
Variables de contrˆole.
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Mod`ele `a temps discret
Vers le temps continu
Technique de simulation et r´eduction de variance
Mod`ele `a une p´eriode
Arbitrage, compl´etude
Le mod`ele binomial
Option – exemple
Une option europ´eenne d’achat (Call europ´een) est un contrat
dont les conditions sont les suivantes :
•` A un moment futur d´etermin´e `a l’avance, d´esign´e sous le
terme maturit´e ou date d’expiration ou encore ´ech´eance,
son d´etenteur peut
•acheter un actif d´etermin´e, d´esign´e sous le terme d’ actif
sous-jacent ou simplement sous-jacent pour un
•montant prescrit, d´esign´e sous le terme de prix d’exercice ou
encore par l’anglais strike.
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Mod`ele `a temps discret
Vers le temps continu
Technique de simulation et r´eduction de variance
Mod`ele `a une p´eriode
Arbitrage, compl´etude
Le mod`ele binomial
Asym´etrie du risque
Notons STla valeur de l’actif risqu´e `a l’´ech´eance Tde l’option et
Kle prix d’exercice. Que peut-il se passer `a la date T?
Soit ST>K: le d´etenteur de l’option ach`ete donc l’actif au
prix d’exercice, not´e K. On dit qu’il y a exercice de l’option.
Le vendeur de l’option doit donc ˆetre en mesure de fournir la
diff´erence ST−K.
Soit ST<K: le d´etenteur de l’option ach`ete directement
l’actif au prix du march´e.
Le vendeur de l’option n’a rien `a faire.
Le risque est du cˆot´e du vendeur de l’option.
Q : Comment r´etribuer ce risque ? Quel prix pour cette option ?
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Mod`ele `a temps discret
Vers le temps continu
Technique de simulation et r´eduction de variance
Mod`ele `a une p´eriode
Arbitrage, compl´etude
Le mod`ele binomial
Bilans sym´etriques
Valeur de l’option `a l’´ech´eance :
•Bilan du point de vue du vendeur : `a l’´ech´eance de l’option, le vendeur
doit fournir la quantit´e
ST−Ksi ST>K,
0 si ST<K.
Donc, dans le cas d’une option d’achat, le vendeur doit fournir la
quantit´e (ST−K)+= max(ST−K,0) `a l’´ech´eance de l’option.
•Bilan du point de vue de l’acheteur : `a l’´ech´eance de l’option, dans le
cas o`u ST>K, il ach`ete un bien de valeur STau prix K, son gain est
donc de ST−K; dans le cas contraire, son gain est nul.
•Valeur de l’option `a l’´ech´eance =(ST−K)+.
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