Textes de TD

Travaux dirigés d’électricité
1ère année
Année 2016-2017
Arnaud LE PADELLEC
[email protected]
Travaux dirigés d’électricité
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Présentation
Tous les exercices d’acoustique qui seront abordés en Travaux Dirigés cette année sont
regroupés dans ce fascicule. Il est demandé aux étudiants de préparer la séance de travaux
dirigés.
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Thème 1 : électrostatique
Exercice 1 : loi de Coulomb
Deux charges ponctuelles q1 et q2 sont placées sur l'axe Ox aux points M1 et M2 d'abscisses
respectives +a et -a.
1. Ecrire l'expression vectorielle de la force F21 qu'exerce q2 sur q1. Exprimer son intensité
et préciser son orientation (direction et sens) si les charges sont de même signe. Même
question pour la force F12 exercée par la charge q1 sur q1. A.N.: q1 = q2 = 10 µC, a = 1m.
2. Représenter le vecteur champ électrostatique E(P) au point P situé sur l'axe Oz
perpendiculaire à Ox à la côte z dans les 3 cas suivants:
q1 = q2 = q
q1 = q2 = -q
q1 = - q2 = q avec q > 0
3. Donner en fonction de z et de a l'expression du vecteur champ électrostatique E(P) dans
le cas où q1 = q2 = q > 0. Ecrire l'expression du module de E(P). Montrer qu'il existe une
distance z0 pour laquelle ce module est maximum. Quel est le lieu géométrique des
points de l'espace où le module du champ électrostatique est maximum ?
4. Examiner le problème dans le cas où q1 = - q2 = q > 0.
Exercice 2 : différence de potentiel entre deux points
Une charge ponctuelle positive q est placée au point O d'un repère R(Oxy).
1. On considère les cercles C1 et C2 de centre O et de rayons respectifs r1 et r2. Un point
M du plan est repéré par ses coordonnées polaires r = OM et ϕ = (Ox, OM) ou par ses
coordonnées cartésiennes x et y.
a. Le point M se déplace sur le cercle C1 depuis le point A0(r1, ϕ0) au point
A1(r1, ϕ1) avec ϕ0 différent de ϕ1. Calculer la circulation du champ E(M) créé
par la charge q.
b. Même question lorsqu'on se déplace le long du rayon vecteur caractérisé par
l'angle ϕ0 depuis le point A0(r1, ϕ0) au point B0(r2, ϕ0) situé sur le cercle C2.
c. Même question lorsqu'on se déplace sur la droite qui joint le point A0(r1, ϕ0) au
point B1(r2, ϕ1).
d. Calculer la circulation depuis le point A0 au point B1 selon le chemin constitué
par le rayon vecteur A0B0 et l'arc de cercle B0B1.
2. Soit E0(M) un champ extérieur uniforme dans tout le plan: E0 = E0 ex, avec E0 > 0.
Calculer la différence de potentiel VA - VB entre les points A(xA, yA) et B(xB, yB) due à
l'existence de ce champ. Exprimer VA - VB en fonction de xA, yA, xB, yB puis des
coordonnées rA, ϕA et rB, ϕB des points A et B.
3. Soit E(M) = E0x ex un champ extérieur; calculer la différence de potentiel VA - VB entre
les points A(xA, yA) et B(xB, yB) due à l'existence de ce champ.
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Thème 2 : condensateurs
Exercice 3 : principe du microphone à condensateur
Considérons un condensateur constitué de deux armatures planes et parallèles. La distance entre
les deux armatures est d = 2 mm. L’aire de la surface de chacune des armatures est S= 100 cm².
1. Calculer la capacité électrique C du condensateur.
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2. On charge le condensateur avec un générateur de tension continue U = +6 V. Calculer
la charge des armatures QA et QB.
3. On suppose que le champ électrostatique entre les deux armatures est uniforme. Calculer
son intensité E.
4. Calculer l’énergie emmagasinée par le condensateur W.
5. On déconnecte le condensateur du générateur de tension puis on écarte les deux
armatures ; nouvelle distance d’. Montrer que la tension aux bornes du condensateur est
maintenant : U’ = Ud' / d. Montrer que l’énergie emmagasinée est maintenant
W’ = Wd' / d.
6. D’où provient l’énergie W’ - W ?
Exercice 4 : capacité équivalente
Quelle est la capacité CAB du condensateur équivalent à toute l’association ?
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Thème 3 : électrocinétique
Exercice 5 : généralités
1. Quels sont les dipôles placés en série ou en dérivation (en parallèle) ?
2. Représenter les tensions sur le schéma en convention récepteur pour D1 et D2 et en
convention générateur pour D3, D4. Dans ces conditions les tensions aux bries des
dipôles valent respectivement 5V, +8V, 7V et −4V. Calculer les tensions UAD et UBC.
3. On choisit l’origine des potentiels (masse) au point D. Calculer les potentiels VA, VB et
VC. Calculer les potentiels aux points A, C et D si le point B est relié à la masse. Que
devient le l’intensité du courant qui traverse D3 si les points B et D sont tous les deux
reliés à la masse.
4. Les intensités qui traversent les dipôles sont respectivement I1 = 1A, I2 = 2A, I3 = −1A
et I4 = −2A. Calculer les intensités des courants I5, I6, I7 et I8.
5. Calculer les puissances électriques mis en jeu dans chaque dipôle. Quels sont les dipôles
récepteurs, quels sont dipôles générateurs ?
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Exercice 6 : dipôles
Un dipôle D1 constitué d’une source de courant idéale (I1 = 2A) en parallèle avec une résistance
R1 = 4 Ω, est connecté à un dipôle D2 comprenant une source de tension idéale de force
électromotrice E2 = 3 V en série avec une résistance R1 = 4Ω.
1. En respectant les conventions de la figure, tracer sur un même graphe les
caractéristiques U = f(I) de chacun des dipôles D1 et D2.
2. Déterminer le point de fonctionnement du circuit graphiquement et par le calcul.
3. Calculer les puissances reçues (algébriquement) par les dipôles D1 et D2. Calculer les
puissances reçues par les quatre dipôles et préciser le type de fonctionnement de chaque
dipôle (générateur ou récepteur).
Exercice 7 : ponts diviseurs
Soient les montages suivants :
1. Montage de gauche
Utiliser la formule du diviseur de tension pour déterminer la différence de potentiel
VB −VM en fonction de E et des résistances R1, R2, R3 et R4. Déterminer l’expression du
courant I3 en utilisant le pont diviseur de courant et l’équivalence générateur linéaire de
tension et générateur linéaire de courant.
2. Montage de droite
Déterminer le courant I4 qui circule dans la résistance R4 en fonction de Ig et des
résistances R1, R2, R3 et R4 en utilisant le pont diviseur de courant.
Exercice 8 : théorème de Thévenin
On considère le circuit suivant; déterminer l'intensité du courant dans la résistance de 30 Ω en
appliquant le théorème de Thévenin entre A et B.
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Exercice 9 : théorème de superposition et théorème de Millman
1. Déterminer la tension UAB en utilisant le théorème de superposition. On donne
R1 = 10 Ω, R2 = 15 Ω, R = 10 Ω, E1 = 20 V et E2 = 12 V.
2. Déterminer cette même tension UAB en utilisant le théorème de Millman.
Exercice 10
On considère les circuits ci-dessous pour lesquels E = 10V, R1 = 5Ω et R2 = 10 Ω, C = 40 µF
et L = 50mH.
Calculer les tensions aux bornes de chaque dipôle quand le régime permanent est établi.
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Thème 4 : magnétisme
Exercice 11 : force de Lorentz
Un semi-conducteur parallélépipédique (ayant n électrons de conduction par m3) est utilisé
comme sonde à effet Hall à l’intérieur d’une pince ampèremètrique. Une source de courant,
intégrée dans la pince, alimente la sonde avec une densité de courant J. La pince entoure un fil
parcourut par un courant I qui crée dans la pince un champ homogène B perpendiculaire à J.
B
d
j
z
h
y
x
l
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1. Exprimer la vitesse de dérive moyenne vd des électrons dans le semi-conducteur et
représenter cette vitesse sur le schéma.
2. En déduire l’expression de la force magnétique moyenne qui s’applique sur les électrons
du semi-conducteur et représenter cette force sur le schéma.
3. Montrer qu’un champ électrique EH apparaît perpendiculaire à J. Représenter ce champ
et la force électrique qui en découle.
4. A l’état stationnaire, c’est à dire lorsque l’équilibre des forces est réalisé, exprimer EH
en fonction des données du problème. En déduire l’expression de la tension de Hall VH.
5. Le matériau magnétique à l’intérieur de la pince concentre les lignes de champ
magnétique engendrées par le courant I. Il en résulte que le champ B dans la pince peut
être considéré homogène avec une valeur égale à celui créé par un fil infini à une
distance moyenne égale au rayon a de la pince ; il faut cependant remplacer µ0, la
perméabilité magnétique du vide, par µ = µrµ0 la perméabilité magnétique du matériau.
Calculer le champ magnétique dans la pince lorsque I = 1 A, a = 1 cm et µr = 1000. En
déduire la tension de Hall VH mesurée à l’aide de la pince sachant que n = 1015 cm-3,
J = 50x103 A m-2 et l = 2 mm.
Exercice 12 : principe du canon magnétique
Deux rails rectilignes, conducteurs, parallèles et distants de l sont disposés dans un plan
horizontal. Une barre rigide MN, conductrice de résistance R, assujettie à rester perpendiculaire
aux deux rails, peut se déplacer sans frottement sur ces derniers. Entre les extrémités A et A’
des deux rails, on dispose un générateur de force électromotrice E. L’ensemble est plongé dans
un champ magnétique B extérieur uniforme et vertical.
B
y
B
M
A
E
O
x
l
A
I
N
h
A l’instant t = 0, la barre MN est à l’origine de repère (Oxyz) et sa vitesse est nulle.
1. A t = 0, il apparaît un courant I dans le circuit. Exprimer I en fonction de E et R.
2. Donner la direction, le sens et la norme de la force de Laplace FL qui agit sur le barreau.
3. Calculer l’expression de la vitesse v(t) du barreau.
4. En déduire la position x(t) du barreau à chaque instant t.
5. En supposant que les extrémités libres des deux rails sont repérées par l’abscisse x = h,
calculer le temps nécessaire à la barre MN pour quitter les deux rails.
6. Quelle est l’énergie gagnée par la barre à cet instant ?
Exercice 13 : énergie magnétostatique propre d’une ligne unifilaire ; inductance propre
Un cylindre conducteur plein, infiniment long, d’axe z’z et de rayon a est parcouru par un
courant d’intensité constante I dans le sens du vecteur unitaire ez de la base cylindrique
(eρ, eϕ, ez). La perméabilité magnétique du conducteur est identique à celle µ0 du vide.
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1. Après avoir explicité le champ magnétostatique créé par ce conducteur en tout point M
situé à la distance ρ de l’axe z’z et en utilisant la méthode énergétique, donner
l’expression intégrale de l’inductance propre L d’une longueur l du cylindre.
2. Commenter chacun des termes qui interviennent dans le calcul de L et conclure.
Exercice 14 : loi de Biot et Savart
1. Une spire circulaire de rayon R, d'axe z’Oz est parcourue par un courant d'intensité I.
Déterminer le champ B sur l'axe de la spire à la distance z du centre.
2. On considère deux demi-spires de même rayon R, de centre O, d'axe z'Oz, parcourues
par des courants de même intensité et de même sens. Déterminer le champ B sur l'axe,
à la distance z du centre.
Exercice 15 : théorème d’Ampère
On considère un solénoïde mince d’axe z’Oz supposé de longueur infinie comportant n spires
par unité de longueur et parcouru par un courant d’intensité I.
I
•
O
z
A partir notamment de la connaissance du champ magnétostatique sur l’axe, démontrer que :
1. Hors de l’axe Oz, B(M) = B(ρ) ez par des considérations de symétries et d’invariances,
2. Le champ magnétostatique est uniforme à l’intérieur en utilisant le théorème d’Ampère,
3. Le champ magnétostatique est nul à l’extérieur en utilisant le théorème d’Ampère.
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Thème 5 : régimes variables
Exercice 16 : courant variable ; régime transitoire
Dans le circuit ci-dessous : E = 6V, R = 30Ω et L = 100mH. L’interrupteur K est initialement
ouvert. Il est fermé à l’instant t = 0.
1. Etablir l’équation différentielle qui régit l’évolution temporelle de l’intensité du courant
iL traversant l’inductance L après la fermeture de l’interrupteur K (l’application du
théorème de Thévenin permet de simplifier la résolution de cette question). Déterminer
iL(t) et représenter son évolution au cours du temps. Calculer l’instant pour lequel
l’intensité iL(t) atteint les 3/4 de sa valeur finale.
2. Déterminer l’expression de la tension uL(t) aux bornes de l’inductance L.
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Exercice 17 : courant variable ; régime forcé
Le dipôle de bornes A et B représenté sur la figure est soumis à la tension v(t) = V0 cos(ωt).
1. Calculer l’impédance Z du dipôle. En déduire l’expression en fonction du temps de
l’intensité i du courant traversant le condensateur de capacité C2.
2. Etablir les expressions en fonction du temps des intensités iL et iC des courants qui
circulent respectivement dans la bobine d’inductance propre L et dans le condensateur
de capacité C1.
3. Déterminer les pulsations ω1 et ω2 telles que l’intensité i(t) est respectivement nulle
(ω1) et infinie (ω2).
4. La fréquence correspondant à ω1 est 5 kHz et celle correspondant à ω2 est 2, 5 kHz.
Sachant que C1 = 14 nF, calculer L1 et C2 exprimés respectivement en mH et en nF.
5. Pour la pulsation ω3 telle que L1C2ω3 2 = 1 (ce qui correspond à la résonance série entre
la bobine et le condensateur de capacité C2), montrer que l’intensité iC(t) qui circule
dans C1 ne dépend pas de l’un des éléments du dipôle étudié ; établir l’expression
complète de ce courant en fonction du temps, exprimée en mA, sachant que V0 = 20 V.