1 Nombre de Stirling 2 Exponentiation rapide 3 Exponentiation et

TP 4
1 Nombre de Stirling
Le nombre des partitions de l’ensemble {1,2,...,n}en kparties non vide est appel´e le
nombre de Stirling et est not´e S(n, k). Il satisfait :
•S(n, 1) = S(n, n) = 1, et
pour 1 < k < n on a
•S(n, k) = S(n−1, k −1) + k·S(n−1, k).
Ecrire un algorithme qui, pour net kdonn´es, 1 ≤k≤n, affiche S(n, k).
2 Exponentiation rapide
Il sagit de calculer expo(x, n) = xnpour un entier npositif. Une m´ethode est la suivante :
expo(x, n) = 
1si n = 0,
(expo(x, n/2))2si n est pair,
x×expo(x, n−1
2)2autrement.
Avec cettte m´ethode a25 est calcul´e comme a×(a×a2)222
´
Ecrire l’algorithme qui effectue ce calcul. Est-t-il plus efficace que l’algorithme na¨ıf ?
3 Exponentiation et nombre de Fibonacci
Le n-i`eme et (n−1)-i`eme terme de la suite de Fibonacci sont donn´ees par :
(fn, fn−1) = (f1, f0)·1 1
1 0n−1
Ecrire un programme qui, en utilisant l’exponentiation, pour un ndonn´e affiche fn.
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