Un théorème de JW Pitman

S ÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (S TRASBOURG )
T HIERRY J EULIN
M ARC YOR
Un théorème de J. W. Pitman
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 13 (1979), p. 521-532
<http://www.numdam.org/item?id=SPS_1979__13__521_0>
© Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1979, tous droits réservés.
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Un théorème de J.W.
(T. Jeulin ,
Pitman
avec
Le but de cette note est de donner
St
Xs .
s ~t
sup
=
"
mouvement brownien réel issu de
un
X
soit
0, et
a même loi
2S-X
Alors
2014201420142014
nouvelle démonstration
( L5~ ) :
d’un théorème dû à J.W. Pitman
Théorème : a) Soit
une
Yor )
de M.
appendice
un
qu’un processus de Bessel
2014201420142014201420142014201420142014201420142014~20142014201420142014201420142014201420142014201420142014
d’ordre 3 issu de 0 .
a’)>
Soit
Z
inf
J~ =
processus de Bessel d’ordre 3 issu de
un
Z., .
Alors
2014201420142014
Rappelons d’abord,
sont
en
2J-Z
est
continues
mouvement brownien 0
un
2014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
suivant
Pitman,
en
effet l’ensemble U
que les assertions
( resp,
u :
( resp. V )
)
v ::
et sup u(t) = + oo ( resp, v(0) = 0 et
t
en outre U et V de la
topologie de la
leurs tribus boréliennes
et V
a)
et
lim
a’)
inf
v(s).
Soit
en
outre q
(4)
telles que
u(0)
v(t) = +o~ ),
convergence
=
on
un
et pour
v
E
fq(u)
réciproques
=
qu
et que :
-u
réel,
applications
v
(~’)>
note
V,
~t
[mesurables]
et
u
0
On munit
compacte et
u(s)~
sup
t
On vérifie facilement que les
applications
’
t -~ +~
s
v(t) =
des
respectives.
u(t) =
U, définissons
Pour u E
sont
et soit
équivalentes.
Considérons
U
Oy
f (u) -
=
(q-,~) ù
( q~ q- ~ ) Y .
v
522
Notons
Po (
la
Qo )
resp.
applications coordonnées
faisant des
processus de Bessel d’ordre
an))
3 )
un
mouvement brownien
issu de 0 ,
a)
(V,V) )
resp.
(
resp,
un
a’) signifient :
et
=
X .
sup
saire
(
qS-X
soit
et donc
un
Xt
un
Soit
en
existe
(Q-~)
homogène
qSt - X.. ,
une
est
It =
:
q
inf
Pitman)
et soit
pour que
2 .
=
Rs = (q-1) St
processus de Markov
un
homogène,
il
[universellement mesurable]
fonction
t~ 0,
(Q-~)
La loi de
h (Rt)
p.s..
ayant pour densité
-"2014r
03C6(a,b) =
avec
=
telle que, pour tout
E (It J Rt) =
rapport à la
(q-2)>
Rt
le théorème de
d’après
Pour que R soit
qu’il
0 ,
Une condition néces-
réel, q > 1.
un
processus de Markov
est nécessaire
pour
outre q
suffisante,
(diaprés 1’)).
par
mouvement brownien réel issu de
.
Démon s t rat i on : soient
h : !R
proposition élémentaire suivante :
la
cependant
Proposition : Soit
(2b-a) exp( - -)
mesure
de
Lebesgue
sur
A
( a+ £ b )
1R2
page
195),
on
obtient,
q ~ 2,
E(St |1
Rt) = Rt -
k(r)
=
(
tw2Rt )>
(
)
Pour q
=
2,
h(x) = ~x
,
q-~
q-~
(
(U,U) (
sur
Qo = f2(Po) .
Notons
St
probabilité
convient ! ).
Le fait que la condition soit suffisante est
l’objet
de la suite
...
523
(+)
Adoptant maintenant
(
allons démontrer
nous
est donc
Z
sur un
une
démarche inverse de celle de Pitman
processus de Bessel d’ordre
un
probabilisé complet filtré
espace
F,
les conditions habituelles : Z
est
une
0, telle que, par
en
une
0, défini
issu de
3,
=
positive, nulle
l’énoncé a’).
plutôt redécouvrir...)
ou
,
vérifiant
F ,P )
=t
continue
(F )-semi-martingale
application elassique
de la
formule d’ Ito :
B
Pour
-t
Z
=
simplifier,
1 Zs
on
Soit
X
engendrée
par X . De
=
’
(1’)
En outre
=
s i,
sup(( t, Zt
brownien.
est la filtration
engendrée
(Z )
=
a),
est la
(Xt~)
(Jt ~
a)
plus petite
et faisant des variables
=
Z )
T =
d’où
sup
( voir
X -
est
(X )-temps
t),
(Ta’
IR*+)
Cette caractérisation de la filtration
{Xt+)
a6
déduit de
que :
nous
a
(Z )
incité à
les grossissements successifs des filtra-
sur
tions à l’aide de fins d’ensembles
(Xs+)
on
filtration continue à droite, contenant
temps
une
et
couple (a,t) ,
des
utiliser des résultats
et
est fin dtensem-
d’arrêt ,
pour tout
pour le
,p.522,
a )>
Ta = d a ( (1’) ), ci a
un
xt ;
=
X
inf(( t,
[5]
alors
( ~a ~
=
Jt
inf
pour ae
[dûment complétée]
la filtration
discret) d’où :
cas
(Ztj-prévisible, Ta
l’égalité :
(X )
vient :
inf(( Jt ;
même résultat dans le
(+)
(F ) -mouvement
un
(Ft)
suppose que
et soit
2J-Z
=
s t, Js~
pour
ble
soit
Z , dûment complétée,
par
da
ds
(
et
optionnels,
plus exactement que
-quasi-ma.rtingale ) , puis
Cf. la remarque de M. Yor
pour montrer que Z est
en
que
X
=
appendice.
2J - Z
(Zs)
est
est
une
une
524
(X
qui
=t+ )-martingale,
saurait être autre
ne
nien, puisque
Introduisons
o(n)
+00
un
pour
(T(n),
|N)
ne
désigne
la tribu
P
est une
!N
désigne
on
continue à droite contenant
des
(Z.)-
temps d’arrêt .
(
resp.
(Z03B1t
P
)-,
(
en
"
étant des fins d’ensembles
a ~ IR*+)
(~] ~ lemme ~7 ) ( voir
IR+XR engendrée par P et
de
~T
fT! B " o(n)
,
aussi
M )
les intervalles
n
E iN
)
.
P~
la
faisant
prévisible .
outre , les
il résulte
P-mesurables,
que
et
et
P03B1 , resp. ? )
(X. )- )>
"
0
=
(Z~
)
==t
par
(Z )
resp.
resp.
est l’ensem-
o(0)
telles que
2014~R~ ~
o(~~ ~
algèbre de Boole engendrant P ;
"
(Ta,
o( :
n~ !N . Pour
plus petite filtration
des
supplémentaires : A
quelques notations
ble des suites croissantes
=
[B,B]t = t.
=
=
qu’un mouvement brow-
est la tribu
sur
stochastiques
Par suite
o(n+~)
(F2’] ~
lemme ~7
et
proposition ~8 ) :
i) si
H
(03B1)-p
H
est
processus mesurable
un
P
sur
est donnée
positif,
nul en
0,
projection
sa
pa r:
)
(2)
(03B1)-pH =
(n), T «(n+4 )
joù
la
o
~ la partie martingale .
(
On fait la convention
tif, pU (
=
nelle )
de
il)>
est
B
U ) désigne
0/0
la
==
0 ~
)
,
dont
on
note
2014201420142014201420142014201420142014
et pour U processus mesurable
projection
(Zt)-prévisible
U ) .
une
r
C
(Z )-semi-martingale et
(
=
posi-
option-
525
(3) B03B1t =B.-j
est
(
)-mouvement brownien.
(zf
un
Les crochets
obliques
Explicitons : pour
sont relatifs à la filtration
processus de Bessel d’ordre
un
la
probabilité d’atteinte d’un point
La
propriété
Y"
(4)
a
6
R~
est
de Markov forte de Z donne alors
(Z ) ).
3, issu
égale
(~2J ~
de
à inf(
lemme
x
~R ~
,a/x).
~
2~ ) :
JL) .
=
Z
La formule d’Ito pour les fonctions convexes donne :
Ma
M
(5)
On
a
= 1 :::...,
a
-
donc : Z
est
sition canonique:
(6)
C
03B1t
Nous
Lemme 4 :
1 (a
z )
20142014
s2
dB,
dBs
.
)-semi-martingale continue,
une
(6)
Z
=
B03B1 + C03B1 ,
de
décompo-
où
t
C est
1(T03B1(n)sT03B1(n+1))
n~N
en venons
croissant
ble
Je
=
’0o r
au
)
point crucial :i
la projection duale
2J. En outre,
(Z~ )-prévisible
pour tout t ~
pour tout
du processus
H P03B1-mesura-
borné ,
(7)
=
Démonstration : a) Soit
H
D’après (2) ,
t~
pour tout
un
processus
P03B1-mesurable borné,
nul
en
0 .
526
(2)
/-t
E(
H dJ )
=
)
(T
n&)N
n~’N
Y03B1(n+1)s
03B1(n+1)
03B1(n)
(0
B. ~(n)~Z.~(n~) )
’
puisque (T
"
c((n)"
)=
la
(n+1) )
(
st
porté
par
projection
duale
(Zt)-prévisible
(4) ::
E((
0
H
dJs )
s
Z ) .
de
~
~
(T
(Z ~c(n+~))
)
o(n+~)
nous
=
J ,
on
obtient
T
Tt~s’
~~n)~(n~)J’
°~
~
1(03B1(n)zs03B1(n+1)) zs-03B1(n)
b) Il
Jg
=
Z
r~ .
0
et que le
"
~2014~
2-~
~g
est
-
~T
_
’*
(o(n)
/-t
à l’aide de
>
’"S
03B1(n+1)
processus croissant J
jP désignant
>
s~
°J
Y03B1(n)s
’
reste à calculer
J~.
Or~ pour
un
dJs
dJ~ ))
20142014~20142014 dJ~ ) .
Zg-~(n) ~
processus de Bessel
d’ordre 5~ issu de x~
~(
x ( J o)
=
~J
La
propriété
T
fini,
soit
Z-2J
locale~
x
o~
J’o
de Markov donne
E((
dy=i.x .
x
donc, pour
tout
(Zt)-temps
d’arrêt T ,
ZT) = 2 E ( JT) ,
est
soit
=?o)dy=J~o(~-Z)
y
x
ou
J = ~
Z-
.
( 2014-ds
Zg
0
2J~
est
une
(Z.)-martingale
=
527
o(
c)
Si H est P
L
-’t
-mesurable, borné
H~
f
~0
=
est donc
par h~
est
ds
majoré
(Z)-martingale
une
Lemme 2 :: pour
par
de carré
d’espérance nulle ; (6) implique
donc
IR+ ,
alors
que, pour tout
(Z-) s
t ,
et
note
Var(
X, t)>
ï. t ) - E(
0 ,
’
’
s
une
s
=
=
(0=t0
(
t1
"
=t )>
tn
...
))})
X. i ~ ~
-Ztj|=1~
~i+~1~!
E
Var( Z~ X ~ t)
==
sup
E(Zt) ,
+
Var(
~’
est finie pour tout t .
Var(
en
(7) .
*S+
i=0’’
veut montrer que
on
nulle
intégrable,
(XS+) s tt -quasi-martingale.
étant continu dans L , il suffit de montrer
est
(X ) ( -quasi-martingale .
t
Pour toute subdivision
on
t .
une
t est
s( t
s
Démonstration :
h~
Z~)
n
B(
=
E(
=
|1 ;
U. (Z. -Z.. ) ) ;
U.
Vti(Zti+1-Zti));|Vti|1 , V..
pour
un
sup {E(to
Hg dZg ) ; |H|1,
(7)
=
pour
un
r
sup
~2 Ejrt
.
E(
Z~)
s
(
=
Le lemme 2 et
P -mesurable
classe
2t/~)~ ~
l’égalité (7) ,
que
(7)
est
-mesurable pour
pour
par
encore
tout 03B1~A ,
application
0(6~ ~
continue , cqfd .
et H processus
du théorème de
valable pour tout processus H
borné. Ceci équivaut à dire que : Z-2J
(X )-martingale
un
d’où le lemme 2 .
borné , entrainent,
monotone,
1-mesurable
~H~~ ~ H ~
H
o
=
P -mesurable
H
03B1~A)
est
une
528
Remarques : ~) La filtration
2)
Il
est
en
fait continue à droite.
faut pas déduire hâtivement du lemme 2 que toute
ne
est
tingale
(X )
ayant été prouvée
M. Yor, dans
la fausseté de cette assertion
(X =t )-semi-martingale,
une
dans l’article
les
sur
"faux-amis",
écrit
avec
volume .
ce
Appendice.
Sur
le supremum
du mouvement brownien :
les théorèmes de P.
Lévy
et J.
Pitman .
(M. Yor )
A.
Une
question
de J. Pitman.
Contrairement à T.
Jeulin,
nous
démonstration du théorème de Pitman
( af,
le début de
issu de
0,
et soit
S~
=
Jeulin )
que
Soit
(Xt) t> 0
un
Alors,
sup
tout de
S.
"
=
J"
(
def
~
On note encore
(
resp.
En
ve
X )
ment ici à
(Zt)
notre
une
nous
sa
une
première
Z
=
issu de
2S - X est
(
en
(
(Xt) )>
complétée,
A4 .
ne
question de Pitman
loi )
que :
la filtration naturelle de Z
et rendue continue à droite.
semble pas
Plus
réel,
0 a
pour tout t ..
resp.
forme
rappelons :
mouvement brownien
Z ) ,
approche
du théorème
sous
suite, d’après Pitman,
convenablement
fait,
complète
inf
de donner
s~t
un processus de Bessel d’ordre 3,
Remarquons
essayé
présenté
de
l’exposé
Théorème A4 (J. Pitman):
avons
pouvoir
aboutir à la preu-
répondons
modestement,
nous
([5]
fin de la
,p.523,
seule-
note(ii) )
529
en
faisant la remarque suivante : si l’on sait
de
ou une
gène ) -
autre )
en
(*)
alors
fait,
on
utilisera
V t,
E(
Jti Zt ) =
peut
on
est
(Zt)
que
Bessel d’ordre
Jtl Zt) -
montrer facilement que
est
Si
est
(
métho-
inhomo-
uniquement :
E(
3, issu
une
par
processus de Markov
un
un
processus de
de 0 .
2. Sur les processus de Bessel d’ordre
n
(
n e
iN’~).
,
processus de Bessel d’ordre n, issu de
un
i.e.:
issu de 0, et
0,
est
un
mouvement brownien à valeurs
désigne
la
norme
(Bt )
dans
déjà (
euclidienne,
il
découle d’une application simple de la formule d’Ito que :
(a)>
( et 2 - nt,
croissant
t~
0 )>
égal à
4
est
une
t
e2
martingale continue. de processus
ds
.
L’intérêt de cette remarque provient du résultat d’unicité
suivant, dû à T.Jeulin
( l6’ ) _
T.Yamada
coefficients
(b) Si
sur
espace de
processus à valeurs
3. Retour
un
au
qui emploie pour cela des résultats
de
équations différentielles stochastiques à
höldériens,
sur un
( en loi )
les
( ~2~ )
d’ordre
03B1 1
( en fait, ici 03B1 = i ) :
probabilité filtré,
positives, nul
en
( ~ t,t ) 0 )
0, qui vérifie
est
un
est
(a) f
processus de Bessel d’ordre n .
théorème de Pitman.
Comme annoncé dans le
paragraphe 4 ,
nous
admettons
( ~ ),
et
démontrons le théorème A~ .
Si deux processus H et K,
adaptés à
une
filtration
(F )
diffè-
530
rent d’une
(Ft)-martingale
Appliquant
locale,
la formule d’Ito à
note:
on
Z2 ,
( mod.
H S K
(F )
).
il vient :
t
=
(1)
=-
2t0 Zs dXs
Il résulte
(c)
Z
pour
(Z ) ),
est
une
Z2
Z
4
semi-martingale continue
o
(1 ).
La mesure aléatoire
par
t+
(2)
+
d’après (b),un
t +
~
t+
étant
dSg
et à
portée
44 XtSt
t0 Xs dSs
(Z ) ))
par
(mod.
(mod.
2S~
=
Z~
(X) ))
(X) ) ~
)
il vient ï
+
(mod.
(mod.
(X~) ))
(Xt) ) ,
=
(mod.
et la connaissance de la loi
pour t fixé -
et
(X )
.
Z~-3t
=
Z2t ~
2 Xt
2 XtZt
Or, d’après (~ ) ~
D’après (2)
partie martingale
parties
En utilisant la formule ::
et donc ::
donc
ds .
intégration
3t
(X )) (et
pour
est Le même relativement à
{s|)
~
t.
+
de cette formule que :
( qui
Revenons à
par
Zs dSs
et le processus croissant de la
continue de
est
déjà
4t0
+
voir
l’exposé
de
d’où::
Zt’
(c)~ ~
(
=
Z
vérifie
(Z ) ) .
conjointe
Jeulin ),
du
couple
on at
0.
(a)
pour
n
processus de Bessel d’ordre 3 .
=
3,
et est
donc,
531
4. Le théorème de P.
Lévy.
La méthode utilisée
aussi de démontrer très
précédemment permet
simplement le
(P.Lévy) : Soit
Théorème A2
un
de
issu
0, et soit
s
Yt _ 2 t0
conséquence, ~
d’après (b),
de
fait,
en
Par
Y
t ,
.
dS$
est
par si
= ~ , et
d’ordre 1 .
avec
n
t
,
Xs
Ss 1 .
=
est
donc ,
t > 0,
Z ~r X
l’exposé
de Jeulin
).
l’égalité
pour tout t .
,
découle immédiatement de
X.
laquelle résulte
,
portée
de Y est rendue aisée par
t
(3’)>
Y dX +
(a)
loi)
on a :
j0t
voir
Zt
=
X ,
égalité
vérifie
en
Toute la difficulté de l’étude du processus Z
contre, l’étude
(3)
Cette
=
d’Ito,
t = - 2
est
Y = S - X
0 .
issude
la formule
que, pour tout
ce
Xt
d~ ordre ’~ ,
dSs
réel,
2014201420142014
processus de Bessel
un
Remarque finale ::
provient
sup
Ys dYs +
la mesure aléatoire
car
(
=
D’après
Dé mon s t ra t i on :
Alors
X .
t
de Bessel
un processus
En
St
mouvement brownien
0
t>
=
A
(Y s
des deux
portée
.
arguments suivants :
et
par ( |Ys 0 }
charge pas t sI Ys
s
ne
=
,
=
0
(
~4, ~
chap. VI).
532
Références :
[1]
Dellacherie C. ,Meyer
P.A.: A propos du travail de Yor
sissement des tribus. Séminaire de Probabilités
sur
XII, Lect.
le grosNotes in
Math. 649, Springer 1978 .
[2]
Jeulin T.: Grossissement d’une filtration et
(
[3]
[4]
dans
Lévy
ce
volume )
P. : Processus stochastiques et mouvement brownien. Paris
Meyer P.A. : Un
cours
sur
les
1948.
intégrales stochastiques. Séminaire
Probabilités X, Lect. Notes in Math.
[5]
applications
de
511 , Springer 1976.
Pitman J.W.: One dimensional Brownian motion and the three-dimensional Bessel Process.
[6] Yamada T.
:
rentielles
Sur
une
Adv. Appl. Prob. 7, 511 -526, 1975 .
construction des solutions
stochastiques
Séminaire de Probabilités
dans le
cas
XII, Lect.
d’équations diffé-
non-lipschitzien.
Notes in Math.
649, Springer 1978