Invariance de jauge U(1) en théori

Les samedis de la physique à Bruxelles
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Cours d’initiation à la physique quantique
MODULE IV
THEORIES DE JAUGE
Partie 1 : Invariance de jauge en Mécanique
Quantique
Partie 2: Invariance de jauge U(1) en théorie
des champs
Patrick Driessen
Année 2011 –2012

Sommaire
1Introduction 2
1.1L'invariance de jauge 2
1.2Rappel sur le théorème de Noether 3
1.3Invariance de jauge en électromagnétisme classique 6
2L'invariance de jauge en mécanique quantique 9
2.1Théorie non-relativiste de Schrödinger 9
2.2Invariance de jauge locale 14
2.3L'effet d' Aharonov et Bohm 22
2.4Théorie relativiste de Dirac 24
3Invariance U(1) pour le champ scalaire complexe 25
3.1Définition de la charge 25
3.2Interprétation géométrique de la transformation de jauge 27
3.3Expression de l'opérateur charge en théorie quantique des champs 31
3.4Rappel sur la séparation du champ hermitien en modes normaux 32
3.5La décomposition du champ complexe en modes normaux 35
3.6Relation de commutation des opérateurs de création et d'annihilation 38
3.7L’Hamiltonien du champ scalaire complexe 40
3.8L’impulsion du champ 45
3.9La charge du champ 50
3.10Couplage du champ scalaire complexe avec le champ électromagnétique 52
4Bibliographie 63
4.1Mécanique Quantique 63
4.2Théorie des champs 63
4.3Théories de jauge 63
4.4Algèbre Géométrique 63

Cours d'initiation à la physique quantique 2
Partie 1 : Invariance de jauge en mécanique quantique
1 Introduction
1.1 L'invariance de jauge
Il est frappant de remarquer que 3 des théories les mieux établies sont des théories de jauge. Ce
sont l'électrodynamique quantique (QED), la théorie électrofaible, et la chromodynamique
quantique (QCD). En outre, de très nombreux efforts ont été consacrés, avec un certain succès,
à reformuler la théorie de la Relativité Généralisée (GR) en ce sens. Il est effectivement
possible d'écrire GR comme une théorie de jauge, à condition d'ajouter les degrés de liberté de
torsion dans la connexion. Ainsi, le groupe de Cambridge (Lasenby, Doran et Gull) a réussi à
reformuler la gravitation comme une théorie de jauge, avec le tenseur métrique pour jauger les
translations et la torsion pour jauger les rotations. Au lieu que ces tenseurs soient vus
traditionnellement comme faisant partie d'une connexion géométrique dans un espace courbe,
ils apparaissent alors comme des champs de jauge physiques, dans un espace plat !
Le succès du principe de jauge en théorie quantique des champs est qu'il permet, une fois le
Lagrangien libre connu, de générer de façon précise le Lagrangien d'interaction. Dans le cas
de la Relativité Générale, le principe est assez différent parce que le Lagrangien est supposé
essentiellement connu (c'est celui de Hilbert, ou des variations de celui-ci) et les
transformations que l'on peut "jauger", c'est-à-dire les transformations qui doivent laisser le
Lagrangien invariant, agissent sur le repère local de coordonnées. Ce sont par exemple des
transformations "externes" comme les translations et les rotations du repère local de
coordonnées. L'idée ici est d'essayer de deviner quel est le groupe le plus large des
transformations admissibles. Par exemple, on doit évidemment au moins jauger les translations
et les rotations, mais on pourrait aussi jauger les dilatations et les cisaillements (shear). Chaque
fois que l'on considère des nouveaux degrés de liberté dans les transformations, il apparaît soit
des nouveaux champs de jauge, soit des degrés de liberté supplémentaires dans les champs de
jauge existants, et donc des équations du champ supplémentaires. En tous cas, le statut de GR
comme théorie de jauge est bien moins établi que celui des théories quantiques des champs. La
forme du Lagrangien est un tant soit peu contrainte, car les champs qui constituent la
connexion, et leurs degrés de liberté, sont fixés par le groupe d'invariance du Lagrangien. Mais
rien ne garantit que l'on possède vraiment le Lagrangien correct.
Le développement du principe de jauge a été très laborieux. Pendant de nombreuses décades, le
concept de l'invariance de jauge a été considéré comme une pure curiosité mathématique de la
théorie de Maxwell. Avec l'avènement de la théorie quantique, on a constaté que l'invariance
de jauge du potentiel vecteur du champ EM doit s'accompagner de l'invariance de l'équation de
Schrödinger pour une transformation de phase de la fonction d'onde. Ces transformations de
phase forment un groupe à un paramètre que l'on a dénommé U(1). C'est le cas le plus simple
possible, et il est dit "Abélien", parce que les transformations de U(1) commutent entre elles.
Ce sont des transformations considérées comme "internes" parce qu'elles n'agissent pas sur le
repère d'espace-temps, mais uniquement comme des rotations dans le plan complexe de la
fonction d'onde. Malgré sa simplicité, le groupe U(1) permet de montrer que si la phase de la
fonction d'onde dépend de la position, ce que l'on appelle une invariance "locale" (par contraste
avec l'invariance globale où la phase est la même dans tout l'espace), alors le Lagrangien libre
du champ de Dirac par exemple, permet de générer automatiquement le Lagrangien
d'interaction de la particule chargée avec le champ électromagnétique.

3 Cours d'initiation à la physique quantique
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Le principe a été ensuite étendu au cas de groupes plus complexes, non commutatifs (non
Abéliens). Nous illustrerons le mécanisme pour le cas non Abélien le plus simple qui est celui
de l'interaction forte entre nucléons. Dans ce cas, le Lagrangien est invariant pour les rotations
du spin isotopique, et le groupe d'invariance est SU(2).
Avant la découverte des quarks dans les années 60, on voyait l'interaction nucléon-nucléon
comme due à l'échange de mésons  (ou pions), ces derniers étant encore considérés comme
des particules élémentaires. C'est pourquoi l'interaction était relativement simple, et le groupe
SU(2) était suffisant pour la traiter. A présent, nous savons que les nucléons et les pions sont
constitués de quarks, et il faut donc étendre la théorie de l'interaction forte aux quarks et aux
gluons pour obtenir une théorie de jauge, à savoir la Chromodynamique Quantique (QCD).
Mais c'est nettement plus compliqué, à cause du nombre de types de quarks et de gluons qui
interviennent. Dans ce cas, il faut étendre le groupe d'invariance du Lagrangien à SU(3), qui
compte 8 paramètres.
Ici nous ne nous intéresserons qu'à la théorie de l'interaction pion-nucléon, comme le prototype
simple mais non trivial de théorie de jauge. Elle est simple parce que, d''une part les pions
peuvent être vus en première approximation comme des champs scalaires, et la quantification
de ces champs est particulièrement facile. D'autre part, le groupe d'invariance SU(2) est
homéomorphe au groupe SO(3) des rotations à 3 dimensions qui est très bien connu et dont les
opérations peuvent être visualisées aisément. En appliquant le principe d'invariance de jauge
locale nous pourrons trouver la forme générale du terme d'interaction entre nucléons et pions.
Ensuite nous attaquerons les équations de Yang & Mills qui généralisent la théorie de jauge du
système pion-nucléon, et qui peuvent s'appliquer à d'autres groupes non-commutatifs comme
SU(3) par exemple.
Finalement nous essayerons de donner une vue picturale et une interprétation physique de ce
que représente l'invariance de jauge locale. L'énorme majorité des livres sur le sujet présentent
l'invariance pour des transformations internes comme un principe mathématique totalement
abstrait. Cependant il y a des raisons de penser que toutes les transformations internes pourront
un jour être décrites comme des transformations externes de l'espace-temps, et que donc les
théories de jauge pourraient être bien moins abstraites qu'elles ne semble er abord. nt au premi
Notons que nous utiliserons ici la plupart du temps les unités naturelles (), sauf
lorsqu'il s'agira d'effectuer une comparaison avec des données expérimentales, auquel cas nous
réintroduirons temporairement les facteurs nécessaires pour que les dimensions soient
évidentes.
1.2 Rappel sur le théorème de Noether
Un élément essentiel pour les théories de jauge est le théorème de Noether qui relie toute loi
d'invariance du Lagrangien (par exemple l'invariance pour une transformation de phase) à un
(ou plusieurs) courants conservés, et de là, à autant de "charges" constante dans le temps.
Travaillons d'abord dans le domaine des champs classiques (non quantiques) mais relativistes.
Considérons une densité Lagrangienne qui dépend d'une collection de champs et de leurs
dérivées premières :