Devoir Surveillé : no IV

—- Le mercredi 27 janvier 2016
Devoir Surveillé : no IV
Exercice 1
Soit n un entier naturel.
1 Déterminer, suivant les valeurs de n, les restes de la division euclidienne de 3n par 11.
On a :
31 ≡ 3 (mod 11)
32 ≡ 9 (mod 11)
33 ≡ 5 (mod 11)
34 ≡ 4 (mod 11)
35 ≡ 1 (mod 11)
Ainsi pour tout entier naturel n, en posant la
Ainsi :
35k
5k+1
3
35k+2
35k+3
35k+4
division de n par 5, on obtient n = 5k + r où 0 ≤ r < 5
≡1
≡3
≡9
≡5
≡4
(mod
(mod
(mod
(mod
(mod
11)
11)
11)
11)
11)
2 En déduire que 20162016 + 41 est divisible par 11.
Déjà en posant la division euclidienne de 2016 par 11 ; on a 2016 = 11 × 183 + 3 ;
ainsi 2016 ≡ 3 (mod 11) ;
puis 20162016 ≡ 32016 (mod 11) ;
En posant la division euclidienne de 2016 par 5, on a 2016 = 5 × 403 + 1
comme 2016 est de la forme 5k + 1 ; on déduit 32016 ≡ 3 (mod 11)
20162016 ≡ 32016 (mod 11) et 32016 ≡ 3 (mod 11) donc 20162016 ≡ 3 (mod 11)
Enfin en ajoutant 41 ; 20162016 + 41 ≡ 44 (mod 11), or 44 = 11 × 11, donc 20162016 + 41 ≡ 0 (mod 11),
ce qui prouve que 20162016 + 41 est divisible par 11.
Exercice 2
Résoudre dans N
3x2 − 27x + 54 ≡ 0(7)
Déjà −27 ≡ 1(7) car −27 = −4 × 7 + 1
Par ailleurs −54 ≡ −2(7) car −54 = −8 × 7 + 2
Ainsi
3x2 − 27x + 54 ≡ 0(7) ⇐⇒ 3x2 + x − 2 ≡ 0(7)
On complète alors ce tableau de congruences modulo 7.
Modulo 7, x est congru à
Modulo 7,
3x2 + x − 2
est congru à
Ainsi 3x2 + x − 2 ≡ 0(7) ⇐⇒ x ≡ 3(7) ou x ≡ 6(7)
S = {7k + 3; 7k + 6\k ∈ N}
Exercice 3
1
0
1
2
3
4
5
6
5
2
5
0
1
1
0
1 Quels sont selon les valeurs de n ∈ N les restes de la division de 7n par 4 ?
On a sans difficulté 7 ≡ 3(4)
72 ≡ 1(4) ,car 49 = 4 × 12 + 1
Ainsi pour tout entier naturel n, en posant la division de n par 2, on obtient n = 2k + r où 0 ≤ r < 1
72k ≡ 1 (mod 4)
≡ 3 (mod 4)
72k+1
Conclusion :
• Si n est pair, n = 2k, comme 72k ≡ 1 (mod 4), le reste de la division euclidienne de 7n par 4 est 1
• Si n est impair, n = 2k + 1, comme 72k+1 ≡ 3 (mod 4), le reste de la division euclidienne de 7n par
4 est 3
2 Déterminer alors les entiers naturels n tels que
7n+1 − (n + 1)7n − 1 ≡ 0 (4)
On raisonne modulo 4 :
Modulo 4, n est congru à
0
1
2
3
Modulo 4, −(n + 1) est congru à
3
2
1
0
1
3
1
3
3
2
1
0
3
1
3
1
1
2
3
0
Modulo 4,
7n
est congru à
Modulo 4, −(n + 1)7n est congru à
Modulo 4,
Modulo 4,
7n+1
est congru à
7n+1 − (n + 1)7n − 1
est congru à
Avec le tableau de congruences, on trouve 7n+1 − (n + 1)7n − 1 ≡ 0(4) ⇐⇒ n ≡ 3(4)
S = {4k + 3\k ∈ N}
Exercice 4
On considère l’équation (F) : 11x2 − 7y 2 = 5, où x et y sont des entiers relatifs.
1 Démontrer que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x2 ≡ 2y 2 (mod 5).
si le couple (x ; y) est solution de (F), alors 11x2 − 7y 2 = 5 .
Comme 11 ≡ 1 (mod 5) et −7 ≡ −2 (mod 5)
11x2 − 7y 2 = 5 entraîne x2 − 2y 2 ≡ 5 (mod 5) et ainsi x2 − 2y 2 ≡ 0 (mod 5)
soit x2 ≡ 2y 2 (mod 5)
2 Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :
Modulo 5, x est congru à
0
1
2
3
4
Modulo 5, x2 est congru à
0
1
4
4
1
Modulo 5, y est congru à
0
1
2
3
4
0
2
3
3
2
Modulo 5,
2y 2
est congru à
Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x2 et de 2y 2 par 5 ?
Pour réaliser la condition nécessaire x2 − 2y 2 ≡ 0 (mod 5) , le reste de la division euclidienne de x2 et
de 2y 2 par 5 doit être 0.
2
3 En déduire que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x et y sont des multiples de 5.
Avec les tableaux de congruences, on voit que si (x; y) est solution de (F) alors nécessairement
x ≡ 0 (mod 5) et y ≡ 0 (mod 5) , c’est-à-dire x et y sont des multiples de 5.
4 Démontrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple (x ; y) n’est pas solution de (F). Que
peut-on en déduire pour l’équation (F) ?
• Méthode 1 : On raisonne par l’absurde ,
on suppose que x et y sont des multiples de 5 ; alors il existe des entiers k et l tels que x = 5k et
y = 5l ;
alors 11x2 − 7y 2 = 25(11k 2 − 7l 2 ) et on remarque que 11x2 − 7y 2 ≡ 0 (mod 25) alors que
5 ≡ 5 (mod 25), on ne peut donc pas avoir 11x2 − 7y 2 = 5 car ils ne sont pas congrus modulo 25.
• Méthode 2 : Toujours par l’absurde !
(x; y) est solution de (F) entraîne 11x2 − 7y 2 = 5 donc 11(5k)2 − 7(5l)2 = 5
soit 11 × 5k 2 − 7 × 5l 2 = 1
ceci signifie avec le théorème de Bézout que 5k 2 et 5l 2 sont premiers entre eux.
Ceci est absurde car 5 est un diviseur commun de ces deux nombres.
On peut donc conclure que l’équation (F) n’a pas de solution.
Exercice 5
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse
choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète,
ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
•
Proposition 1 : « Le reste de la division euclidienne de 1111 par 8 est 3 ».
•
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 5.
On a 112 = 121 et 121 = 8 × 15 + 1 ce qui donne 112 ≡ 1 (mod 8)
5
On déduit 112 ≡ 1 (mod 8)
soit 1110 ≡ 1 (mod 8)
en multipliant par 11 on a 1111 ≡ 11 (mod 8), or 11 ≡ 3 (mod 8)
On a ainsi 1111 ≡ 3 (mod 8) ; on peut donc écrire 1111 = 8k + 3, avec 0 ≤ 3 < 8,
ainsi Le reste de la division euclidienne de 1111 par 8 est 3.
Proposition 2 : « L’entier n2 − 3n − 10 n’est jamais un nombre premier ».
Notons N = n2 − 3n − 10 = (n − 5)(n + 2)
♥ Si n = 5 alors N = 0 n’est pas premier.
♥ Si n = 6 alors N = 8 n’est pas premier.
♥ Si n ≥ 7 alors n + 2 ≥ 9 et n − 5 ≥ 2 N n’est pas premier car il a au moins trois diviseurs distincts 1,
n + 2 et n − 5.
« L’entier n2 − 3n − 10 n’est jamais un nombre premier ».
3