PHY244juin2013

UE PHY244 – Vibrations, ondes et optique ondulatoire, 2012-2013
L2 Université Joseph Fourier, Grenoble
UE PHY244 - Examen terminal session 2 – 1er juillet 2013 – durée 3h – 4 pages
Calculatrice autorisée, documents interdits, téléphone portable interdit
On veillera à répondre en justifiant de façon précise et concise.
Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l’ordre qu’on jugera le plus bénéfique.
Chacun des 5 exercices compte pour environ 4 points. A l’intérieur d’un même exercice, certaines
questions peuvent être traitées indépendamment. Il ne faut donc pas rester bloqué(e) sur une question.
Un résultat numérique donné sans unité ne sera pas pris en compte. Une réponse non justifiée non plus.
Les grandeurs complexes seront notées avec une barre (soulignement).
గ
గ
Formulaire : …‘•ሺ ߠ െ ଶ ሻ ൌ •‹ ߠ ; …‘•ሺ ߠ ൅ ଶ ሻ ൌ െ•‹ ߠ
Exercice 1 : Oscillations harmoniques
Une masse m est accrochée à un ressort horizontale de raideur k fixé à un mur par son autre extrémité.
La figure (a) représente la position d´équilibre de l’ensemble ”ressort + masse m”. Une deuxième masse
M est poussée lentement contre la première jusqu`à comprimer le ressort d’une quantité A (voir figure
(b)). On lâche alors la masse M sans vitesse initiale à l’instant t = 0 et les deux masses se mettent en
mouvement vers la droite sans frottement sur le support horizontal. On repère la masse m par sa position x
par rapport à sa position d’équilibre.
1. Dès l’instant où la masse m atteint son point d’équilibre x = 0 (instant t0), la masse M n’est plus en
contact avec m (voir figure (c)) et continue à se déplacer vers la droite avec la vitesse v0 (à l’instant t0).
a- Faire le bilan des forces pour le système constitué par les deux masses M et m entre les instants t = 0 et
t 0.
Etablir l’équation différentielle du mouvement de ce système.
En déduire la pulsation ߱଴ de cet oscillateur harmonique.
b- Etablir les équations horaires de la position x(t) et de la vitesse v(t) de la masse m entre les instants
t = 0 et t0 .
c- Etablir l’expression de l’instant t0 pour lequel la masse M se décolle de la masse m. En déduire
l’expression de v0.
d- Retrouver l’expression de la vitesse v0 en écrivant la conservation de l’énergie totale.
e- Application numérique : m = 9,0 kg, M = 7,0 kg, k = 100 N/m, A = 20 cm. Calculer ߱଴ , t0 et v0.
1
2. On s’intéresse maintenant au mouvement de la masse m à partir de la situation (c) (c’est-à-dire pour
t > t0 : figure (d)).
a- Ecrire l’équation différentielle du mouvement de la masse m dans ce cas.
b- En déduire l’expression de la pulsation propre ߱ଵ de cet oscillateur harmonique. Calculer sa valeur
numérique.
c- Compte tenu des nouvelles conditions initiales (à l’instant t = t0), établir l’équation horaire de la
position x(t) de la masse m à t > t0.
Exercice 2 : Corde de guitare
On considère une corde de guitare de masse linéique µ, de tension T et de longueur L. On peut montrer en
utilisant le principe fondamental de la dynamique qu’une onde se propageant sur cette corde doit
2
2
satisfaire à l’équation de d’Alembert ∂ y2 = 12 ∂ 2y où y représente l’ébranlement transversal de la corde, x
∂x
c ∂t
la direction de propagation de l’onde et c la célérité de l’onde.
1.
Par une analyse dimensionnelle, déterminer la célérité de l’onde c en fonction de la masse linéique µ et
de la tension T.
2.
On s’intéresse à une onde se propageant sur cette corde, s’écrivant sous la forme complexe suivante :
‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ ݁ܣ‬௜ሺఠ௧ି௞௫ሻ ൅ ‫ ݁ܤ‬௜ሺఠ௧ା௞௫ሻ avec A et B réels.
Que décrivent le premier et le deuxième terme dans cette expression ?
Relier k et ω.
3.
La corde de guitare est fixée à ses deux extrémités. A partir de la première condition aux limites, en
x = 0, exprimer B en fonction de A.
En déduire la valeur de R = (B/A)² et donner une justification physique à sa valeur.
4.
A partir de la deuxième condition aux limites, en x = L, indiquer la condition imposée sur k. En
déduire que les fréquences de résonance s’écrivent : f n = nc où n est un entier.
2L
5.
A partir des deux questions précédentes, donner l’expression réelle de y(x, t) en fonction des
constantes A, ω, L, et de l’entier n. Comment appelle-t-on ce type d’onde ?
6.
La note fondamentale produite par cette corde de guitare est un La(3), de fréquence f1 = 440 Hz. La
longueur de la corde est L = 1,00 m et sa masse linéique est µ = 0,100 g/m. Quelle doit être la tension
T0 de la corde pour que celle-ci soit accordée (on veillera à utiliser le bon nombre de chiffres
significatifs pour le résultat numérique).
7.
La corde suivante de la guitare a une masse linéique µƍ = 0,075 g/m. En déduire la fréquence f1’ de sa
note fondamentale dans le cas où sa tension est la même que pour la corde du La(3). Est-elle plus
grave ou plus aiguë que le La(3) ?
8.
Comparaison Guitare – Flûte de pan
La flûte de pan est constituée de tuyaux ouverts de longueurs diīérentes, dans lesquels une onde
sonore stationnaire produit des notes diīérentes selon la longueur du tuyau.
Entre l’onde de pression et l’onde de déplacement, laquelle est parfaitement analogue (mêmes
conditions aux limites) à l’onde y(x, t) de la corde ? Justifier.
De quelle longueur devra être le tuyau produisant le La(3) comme note fondamentale ? On prendra
pour la vitesse de propagation du son dans l’air : c = 340 m/s.
2
Exercice 3 : Polarisations, polariseur et lames à retard de phase
1. Ecrire les coordonnées (x,y,z) du champ électrique ‫ܧ‬ሬԦ d’une onde plane monochromatique
d’amplitude E0 se propageant dans la direction z, dans le sens des z croissants, et polarisée
rectilignement à +45° de l’axe x.
2. Cette onde traverse un polariseur rectiligne P dont la direction de transmission est parallèle à l’axe
ሬሬሬሬԦ
x. Ecrire les coordonnées du champ électrique ‫ܧ‬
௉ transmis par P. Dire dans quelle direction cette
onde est polarisée et quelle est son intensité IP en fonction de l’intensité incidente I0.
3. On remplace ce polariseur P par une lame demi-onde D dont les axes neutres sont parallèles à x et
ሬሬሬሬԦ
y. Ecrire les coordonnées du champ électrique ‫ܧ‬
஽ transmis par D. Dire dans quelle direction l’onde
transmise est polarisée et quelle est son intensité ID en fonction de l’intensité incidente I0.
4. On remplace cette lame demi-onde D par une lame quart d’onde Q dont l’axe lent est parallèle à y.
ሬሬሬሬԦ
Ecrire les coordonnées du champ électrique ‫ܧ‬
ொ transmis par Q. Décrire précisément la nature de la
polarisation transmise. Quelle doit être l’épaisseur e de cette lame Q si elle est en quartz
(biréfringence ∆n = 1,00×10-2) et faite pour être utilisée à Ȝ = 600 nm ? (on donnera la valeur
numérique de e en µm)
Exercice 4 : Interférences au croisement de deux faisceaux laser
Deux ondes planes cohérentes, de même amplitude et de même pulsation ω mais de directions de
propagation différentes, se croisent dans l’air (dont on suppose l’indice de réfraction égal à 1 dans cet
exercice), dans une certaine zone de l’espace au voisinage du point O (voir figure ci-dessous). On
cherche à exprimer le profil d’intensité dans le plan (xOy), en fonction de l’angle Į d’inclinaison
relative des deux rayons lumineux. On notera Ȝ la longueur d’onde.
x
α
z
O
y
1. En supposant que les deux ondes sont en phase au point O, origine du système de coordonnées
& ))))&
(x,y,z), justifier que leur déphasage relatif en un point M du plan (xOy) repéré par r = OM s’écrit
& & &
ij = (k2 − k1 ) ⋅ r .
& &
& & &
2. Quelle est la norme des vecteurs d’onde k1 et k2 ? Construire le vecteur K = k2 − k1 : quelle est sa
direction ? sa norme ? Démontrer alors que ij =
4ʌ § Į ·
sin ¨ ¸ x .
Ȝ
©2¹
3. En utilisant le résultat du cours I = 2 I0 (1+cos ϕ), en déduire l’allure des franges
d’interférences observées sur un écran placé dans le plan (xOy) : direction ? interfrange i ?
4. Calculer l’interfrange i dans le cas où Ȝ = 532 nm et Į = 10° (on donnera le résultat en µm).
5. Montrer que lorsque Į est très faible on peut écrire i § Ȝ/Į. Quelle doit être l’unité de Į dans cette
formule ? Pour quelle valeur de Į (donner un ordre de grandeur en degré) a-t-on un interfrange
bien visible à l’œil nu (disons i § 0,5 mm) ?
6. Pour quelle valeur de Į l’interfrange est-il minimum ? Quelle est alors la valeur de l’interfrange ?
Ce résultat vous rappelle-t-il quelque chose que vous avez vu en acoustique ?
3
7. On remplace l’écran par une plaque photographique, permettant d’enregistrer les variations
d’intensité lumineuse : la plaque, une fois le développement réalisé, a une transparence
proportionnelle à l’intensité reçue. Expliquer en quoi cette technique permet de réaliser des
réseaux dits « holographiques », c'est-à-dire des structures périodiques dont la période, de l’ordre
du micromètre, peut être facilement ajustée. De tels réseaux sont utilisés en spectrométrie.
Exercice 5 : Un interféromètre pour mesurer l’indice de l’air
On utilise ici un interféromètre un peu différent de celui de Michelson : l’interféromètre de MachZehnder, schématisé ci-dessous.
séparatrice
miroir
écran
cellule à gaz
laser
séparatrice
miroir
1. Expliquer le principe de cet interféromètre.
On observe sur l’écran des franges rectilignes, montrant que les deux ondes se superposent à la
sortie de l’interféromètre avec un petit angle d’inclinaison. On ne cherche pas ici à expliquer
l’origine de ces franges, mais plutôt à exploiter leur évolution lorsque la pression dans la cellule à
gaz varie.
2. La cellule à gaz est constituée d’un cylindre fermé par deux fenêtres de verre, contenant une
couche d’air d’épaisseur h dont on peut faire varier la pression au moyen d’une pompe. Lorsque
l’on fait diminuer la pression dans la cellule, initialement à pression atmosphérique, justifier
qu’on observe un défilement des franges d’interférences.
3. Ecrire l’expression de la variation de différence de marche ∆δ due à la variation de pression dans
la cellule, lorsqu’on passe de la pression atmosphérique au vide. On notera h l’épaisseur
intérieure de la cellule et nair l’indice de l’air à pression atmosphérique (qu’on ne supposera pas
égal à 1 dans cet exercice).
4. D’autre part, que vaut ∆δ si on observe le défilement de N franges lorsqu’on éclaire le dispositif
avec un laser de longueur d’onde Ȝ ?
5. Déduire des réponses aux questions 3 et 4 une relation entre nair, N, h et ߣ.
6. On fait l’expérience avec un laser HeNe rouge de longueur d’onde Ȝ = 632,8 nm. L’épaisseur de
la couche d’air est h = 50,0 ± 0,5 mm. On repère sur l’écran un point correspondant à une frange
brillante. En faisant progressivement le vide, on détecte le passage en ce point de 21 franges
brillantes, pour finir sur une frange quasiment noire lorsque le vide est réalisé. Que vaut N ? En
déduire la valeur de l’écart nair - 1.
7. Faire un calcul d’incertitudes et donner le résultat final sous la forme nair = … ± … Commenter ce
résultat.
8. Que proposez-vous pour améliorer encore la précision de cette mesure ?
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