TD4 - ESPCI - Catalogue des Cours

Travaux Dirigés de Physique Quantique : Oscillateur harmonique perturbé- TD
4
OSCILLATEUR HARMONIQUE PERTURBE
1./ Perturbation stationnaire
1
Une particule de masse m est soumise à un potentiel harmonique Vˆ ( 0) = kxˆ 2 . Une
2
1
0
1
faible perturbation Vˆ ( ) = (δ k ) xˆ 2 s’ajoute à Vˆ ( ) .
2
1-/ Montrer que les corrections en énergie, au premier et au second ordre (au sens de la
théorie des perturbations) de l’état fondamental de l’oscillateur sont respectivement :
1δk
1 ⎛δ k ⎞
2
E =
=ω et E ( ) = − ⎜
⎟ =ω
4 k
16 ⎝ k ⎠
k
où ω est la fréquence angulaire de l’oscillateur : ω =
m
2-/ Montrer, par un calcul exact, que les expressions précédentes représentent une très bonne
approximation de l’énergie de l’oscillateur.
2
(1)
On donne :
L’expression de l’opérateur position X̂ en fonction des opérateurs création et annihilation
aˆ † et aˆ :
=
Xˆ =
aˆ + aˆ † )
(
2mω
dont les actions sur un état n de l’oscillateur non perturbé sont respectivement :
aˆ † n = n + 1 n + 1
,
aˆ n = n n − 1
2./ Perturbation dépendant du temps
Oscillateur harmonique perturbé par un champ électrique créneau
On considère un oscillateur harmonique à une dimension x , de masse m et de pulsation
1⎞
⎛
ω0 , de charge q . Soient φn et En = ⎜ n + ⎟ =ω0 les états propres et valeurs propres de son
2⎠
⎝
Hamiltonien Ĥ 0 . Pour t < 0 , l’oscillateur est dans l’état fondamental φ0 . A t = 0 , il est soumis
à un « créneau » de champ électrique de durée τ ; la perturbation correspondante s’écrit :
⎧− qE xˆ pour 0 ≤ t ≤ τ
Vˆ ( t ) = ⎨
pour t < 0 et t > τ
⎩0
E est l’amplitude du champ. Soit P0→n la probabilité de trouver l’oscillateur dans l’état
φn après la fin du créneau.
(a) Calculer P0→1 en utilisant la théorie des perturbation dépendant du temps au
premier ordre. Comment varie P0→1 avec τ , ω0 étant fixé.
(b) Montrer que pour obtenir P0→2 , il faut pousser le calcul de perturbation dépendant
du temps au moins jusqu’au second ordre. Calculer P0→2 à cet ordre de perturbation.
D. Marchand
1
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4
Les outils...
I-/ RAPPEL DE COURS SUR L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
Pˆ 2 1
ˆ
• Hamiltonien de l’oscillateur harmonique non perturbé : H =
+ mω 2 Xˆ 2
2m 2
⎡
E
Hˆ
1 ⎢ Pˆ 2
(sans dimension) →
on pose : ε =
= ⎢
+
=ω
=ω 2 ⎢ m=ω
⎣
⎤
Xˆ 2 ⎥
et :
= ⎥
⎥
mω ⎦
⎧ ˆ
Xˆ
X
=
⎪
=
⎪⎪
mω variables réduites
⎨
⎪
ˆ
⎪ Pˆ = P
⎪⎩
m=ω
⎡ Xˆ , Pˆ ⎤ = i= ⇒ ⎡ Xˆ , Pˆ ⎤ = i
⎣
⎦
⎣⎢
⎦⎥
)
(
(
)(
)
1
1 ˆ
1 i ⎡ ˆ ˆ ⎤
− X,P
Hˆ = Pˆ 2 + Xˆ 2 =
X − iPˆ Xˆ + iPˆ
⎢⎣
⎥⎦
2
2
2
2 i
aˆ†
aˆ
⎛
⎞
1⎞
1⎟ ⎛ ˆ 1⎞
⎛ †
ˆ
†
ˆ
⎜
ˆ aˆ +
= ⎜ N + ⎟ =ω
H = ⎜ aˆ aˆ + ⎟ → H = =ω aN
⎜
2⎠
2⎟ ⎝
2⎠
⎝
ˆ
⎝ N
⎠
( Xˆ − iPˆ ) ⎪⎪⎧ Xˆ = 12 ( aˆ + aˆ ) ⎪⎪⎧ Xˆ = 2m=ω ( aˆ + aˆ )
⇒⎨
d'où : ⎨
i
ˆ
ˆ
ˆ
⎪
( X + iP ) ⎪⎩P = 2 ( aˆ − aˆ ) ⎪⎪⎩Pˆ = i m=2ω ( aˆ − aˆ )
1
⎧ †
⎪⎪aˆ = 2
⎨
⎪aˆ = 1
⎪⎩
2
†
†
†
†
⎡⎣ aˆ , aˆ † ⎤⎦ = 1ˆ
⎧⎪aˆ † n = n + 1 n + 1
où aˆ † et aˆ sont les opérateurs création et annihilation.
⎨
⎪⎩aˆ n = n n − 1
D. Marchand
2
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II- / Problèmes stationnaires
I-/ Théorie des perturbations stationnaires - Définition :
L’étude quantique des systèmes physiques conservatifs (c’est-à-dire dont l’Hamiltonien ne
dépend pas explicitement du temps) est basée sur l’équation aux valeurs propres de
l’opérateur Hamiltonien.
La théorie des perturbations stationnaires est une méthode d’approximation qui permet dans
certains cas, d’obtenir analytiquement des solutions approchées de cette équation aux valeurs
propres.
D. Marchand
3
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Résultats de la théorie :
La théorie est applicable lorsque l’Hamiltonien Ĥ du système étudié peut être mis sous la
forme
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
H=
H
+ W
W<<H
0
N
N0
perturbation
(
)
hamiltonien
non perturbe
• Perturbation d’un niveau non dégénéré Enb 0g :
• -Correction au premier ordre à l’énergie :
La correction au premier ordre à une énergie non dégénérée Enb 0g est simplement égale à la
valeur moyenne du terme de perturbation Ŵ dans l’état propre non perturbé ϕ n .
En = En( 0) + ϕn Ŵ ϕ n
En( )
1
• -Correction au premier ordre au vecteur propre :
ϕ p Ŵ ϕn
ψ n = ϕn + ∑ ( 0)
ϕp
( 0)
p ≠ n En − E p
correction au 1er ordre
• -Correction au second ordre à l’énergie :
En( 2) = ∑
p≠n
d’où, à l’ordre 2 :
En = E
( 0)
n
ϕ p Ŵ ϕn
2
En( 0) − E (p0)
ϕ p Ŵ ϕn
2
+ ϕ n Ŵ ϕ n + ∑
p ≠ n En( 0) − E (p0)
1
En( )
2
En( )
Perturbation d’un niveau dégénéré Enb 0g :
La correction au premier au premier ordre de l’énergie est obtenue en diagonalisant la
perturbation dans le sous-espace de dégénérescence associé à Enb 0g . Les vecteurs propres
correspondent à l’approximation d’ordre 0.
III- / Problèmes non stationnaires
Le développement en perturbation
Les 3 représentations :
• Soit ψ S ( t0 )
un vecteur d’état en représentation de Schrödinger, i.e. son
évolution dans le temps est régie par l’équation de Schrödinger. La représentation de
Schrödinger emploie une transformation unitaire ACTIVE :
ψ S ( t ) = Uˆ ( t , t0 ) ψ S ( t0 ) = Uˆ † ( t0 , t ) ψ S ( t0 )
où Uˆ ( t , t0 ) est l’opérateur d’évolution.
D. Marchand
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Le vecteur est transformé mais tous les opérateurs sont constants dans le temps (à moins
qu’ils ne dépendent EXPLICITEMENT du temps). Les vecteurs de base sont inchangés. Les
opérateurs sont définis par leur action sur les vecteurs de base.
• La représentation de Heisenberg utilise une transformation unitaire équivalente
mais PASSIVE. Le vecteur d’état est constant :
ψ H = ψ S ( t0 ) = Uˆ ( t0 , t ) ψ S ( t ) = Uˆ † ( t , t0 ) ψ S ( t )
Les vecteurs de base sont modifiés et par conséquent, les opérateurs aussi. L’opérateur Aˆ H ( t )
(dans la nouvelle base) s’exprime en fonction de Aˆ ( t ) (dans l’ancienne base) par la relation :
S
Aˆ H ( t ) = Uˆ ( t0 , t ) Aˆ S ( t ) Uˆ
†
( t0 , t ) = Uˆ † ( t , t0 ) Aˆ S ( t )Uˆ ( t , t0 )
Passage d’une représentation à l’autre :
La représentation de Heisenberg est obtenue par une transformation unitaire, pour tout instant
t , à partir de la représentation de Schrödinger :
ψ H = Uˆ ( t0 , t ) ψ S ( t ) = Uˆ † ( t , t0 ) ψ S ( t ) = ψ S ( t0 )
Les éléments de matrice de tout opérateur  sont indépendants de la représentation.
ψ S ( t ) Aˆ S ( t ) Φ S ( t ) = ψ S ( t ) Uˆ ( t , t0 ) Uˆ † ( t , t0 ) Aˆ S ( t ) Uˆ ( t , t0 ) Uˆ † ( t , t0 ) Φ S ( t )
= ψ H Uˆ † ( t , t0 ) Aˆ S ( t ) Uˆ ( t , t0 ) Φ H = ψ H Aˆ H ( t ) Φ H
Les prédictions de la mécanique quantique sont indépendantes de la représentation.
• La représentation d’interaction (dite : intermédiaire)
Supposons que le Hamiltonien d’un système quelconque soit Hˆ 0S ( t ) (en représentation de
i ˆ
− H 0 S ( t − t0 )
Schrödinger) et l’opérateur (unitaire) d’évolution correspondant, soit Uˆ 0 ( t , t0 ) = e =
.
Nous avons :
d
i= Uˆ 0 ( t , t0 ) = Hˆ 0 S ( t ) Uˆ 0 ( t , t0 ) avec Uˆ 0 ( t0 , t0 ) = Iˆ et Uˆ 0 ( t , t0 ) Uˆ †0 ( t , t0 ) = Iˆ
(1)
dt
Supposons maintenant que le système soit perturbé de telle façon que son Hamiltonien
devienne Hˆ S ( t ) = Hˆ 0 S ( t ) + WˆS ( t ) . Pour un tel système, le vecteur d’état en représentation
d’interaction, ψ I ( t ) est défini à partir du vecteur d’état en représentation de Schrödinger
par :
ψ I ( t ) = Uˆ 0† ( t , t0 ) ψ S ( t )
Comment évolue ψ I ( t ) ?
i=
d
d
⎡⎛ d
d
⎤
⎞
ψ I ( t ) = i= Uˆ 0† ( t , t0 ) ψ S ( t ) = i= ⎢⎜ Uˆ 0† ( t , t0 ) ⎟ ψ S ( t ) + Uˆ 0† ( t , t0 ) ψ S ( t ) ⎥
dt
dt
dt
⎠
⎣⎝ dt
⎦
†
†
= −Uˆ ( t , t ) Hˆ ( t ) ψ ( t ) + Uˆ ( t , t ) Hˆ ( t ) ψ ( t )
0
0
0S
S
0
0
S
S
d ˆ†
U 0 ( t , t0 ) = Uˆ 0† ( t , t0 ) Hˆ 0 ( t ) )
dt
Nous pouvons maintenant écrire :
(où nous avons utilisé (1) = −i=
†
D. Marchand
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i=
4
d
ψ I ( t ) = − Uˆ 0† Hˆ 0 S ( t ) Uˆ 0 Uˆ 0† ψ S ( t ) + Uˆ 0† Hˆ S ( t ) Uˆ 0 Uˆ 0† ψ S ( t )
dt
Hˆ 0 I ( t )
Hˆ I ( t )
ψ I (t )
ψ I (t )
⎡
⎤
⎢
= − H 0 I ( t ) ψ I ( t ) + H 0 I ( t ) + WI ( t ) ⎥ ψ I ( t ) = WI ( t ) ψ I ( t )
⎢ ⎥
Hˆ I ( t )
⎢⎣
⎥⎦
c’est-à-dire :
d
ψ I ( t ) = Wˆ I ( t ) ψ I ( t )
dt
qu’on peut encore écrire sous la forme d’une équation intégrale :
1
d ψ I ( t ) = Wˆ I ( t ) ψ I ( t ) dt
i=
t
t
1 ˆ
'
d
ψ
t
=
WI ( t ' ) ψ I ( t ' ) dt '
(
)
∫ I
i= t∫0
t0
i=
ψ I ( t ) = ψ I ( t0 )
t
1
+ ∫ Wˆ I ( t ' ) ψ I ( t ') dt '
i= t0
équation intégrale qui peut être résolue par itérations.
Le ket ψ I ( t ) peut alors être développé en série de puissances de la forme :
ψ I (t )
t
t
t'
⎧⎪
⎫⎪
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
dt 'WI ( t ' )∫ dt "WI ( t ") + "⎬ ψ I ( t0 )
= ⎨ I + ∫ dt 'WI ( t ' ) +
2 ∫
i
=
i
=
(
)
t0
t0
t0
⎩⎪
⎭⎪
La représentation d’interaction assigne une dépendance en temps aux vecteurs et aux
opérateurs.
Quand doit-on utiliser la représentation d’interaction ?
La représentation d’interaction est souvent utilisée lorsque Hˆ 0 S est indépendant du temps et
WˆS ( t ) une petite correction par rapport à Hˆ 0 S . Supposons que le problème gouverné par
Hˆ ait déjà été résolu, soit exactement, soit de façon approchée. Supposons que
0S
WˆS ( t ) = 0 pour t ≤ 0 . Alors ψ I ( 0 ) = ψ S ( 0 ) . En négligeant les termes d’ordre supérieur, à
1, nous avons :
ψ I (t ) = ψ I (0) +
i ˆ
t
1 ˆ
WI ( t ') ψ I ( 0 ) dt '
i= ∫0
i ˆ
H 0t
− H 0t
avec Wˆ I ( t ) = e = WˆS ( t ) e =
Soit
{ n } une
base
propre
orthonormée
de Ĥ 0 et
soit m l’état
du
système
à
t = 0, i.e. ψ I ( 0 ) = m . Nous avons : Hˆ 0 m = Em m .
D. Marchand
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Travaux Dirigés de Physique Quantique : Oscillateur harmonique perturbé- TD
4
La probabilité P ( Ek , t ) de trouver le système dans l’état propre k de Ĥ 0 à l’instant t , i.e. la
k ψ I (t )
probabilité de trouver la valeur propre Ek , est
2
(les prédictions en mécanique
quantique sont indépendantes de la représentation).
t
t
1
1 i ( Ek − Em )t '
k ψ I ( t ) = k m + ∫ k Wˆ I ( t ') m dt ' = ∫ e =
k WˆS ( t ') m dt '
i= 0
i= 0
avec k m = 0 . Nous avons donc :
2
t
t
i
( Ek − Em )t '
1
1
=
P ( Ek , t ) = 2 ∫ e
k WˆS ( t ') m dt ' = 2 ∫ eiωkmt ' k WˆS ( t ') m dt '
= 0
= 0
2
Ek − Em
est la pulsation de Bohr de la transition k ↔ m .
=
En notation condensée, cette probabilité s’écrit :
où ω km =
1
P ( Ek , t ) = 2
=
t
∫e
2
Wkm ( t ' ) dt '
iωkm t '
0
Où Wkm ( t ' ) = k WˆS ( t ' ) m est l’élément de matrice de la perturbation entre les états propres
k et m de Ĥ 0 .
C’est le résultat au premier ordre, de la théorie des perturbations dépendant du temps.
P ( Ek , t ) est la probabilité de transition k ↔ m pour une durée t de l’interaction.
Si t est la durée de la perturbation « branchée » à l’origine t = 0 alors :
t
∫e
iωkmt '
0
∞
k WˆS ( t ') m dt ' = ∫ eiωkmt ' k WˆS ( t ') m dt '
0
1
Et, au facteur 2 près, la probabilité au premier ordre est le module au carré de la transformée
=
de Fourier de l’élément de matrice de la perturbation, transformée de Fourier prise pour la
E − Em
pulsation de Bohr ωkm = k
de la transition considérée.
=
Si WˆS ( t ) est indépendant du temps, i.e., un terme petit et constant est ajouté au temps t = 0 à
l’Hamiltonien, alors :
2
P ( Ek , t ) =
=
D. Marchand
2
( Ek − Em )
2
2
i
− Em t
=
i
− Ek t
=
2 e
e
−1
1
−e
= 2 k WˆS m
i
i
( Ek − Em ) =
( Ek − Em )
=
=
2
2
k WˆS m
Ek − Em
⎛ω t ⎞
2sin
4sin 2 ⎜ km ⎟
t =
2
2=
⎝ 2 ⎠
( =ωkm )
1
k WˆS m
2
=
k WˆS m
i
( Ek − Em )t
=
2
7
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4
⎛θ −ϕ ⎞
où nous avons utilisé le fait que eiθ − eiϕ = 2sin ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
Au second ordre :
t
t
t'
1
1
ˆ ( t ') dt "Wˆ ( t ") ψ ( t )
ψ I( 2) ( t ) = ψ I ( t0 ) + ∫ dt 'Wˆ I ( t ') ψ I ( t0 ) +
dt
W
'
I
I
I
0
2
∫
i= t0
( i= ) t∫0
t0
Supposons comme précédemment que WˆS ( t ) = 0 pour t ≤ 0 . Alors ψ I ( 0 ) = ψ S ( 0 ) = m
( 2)
k ψI
(t )
t
t
t'
1
1
= k m + ∫ dt ' k Wˆ I ( t ') m +
dt '∫ dt " k Wˆ I ( t ' ) Wˆ I ( t ") m
2 ∫
N i= 0
i
=
( ) 0 0
=0
En injectant la relation de fermeture ∑ j
de la base { n } de états propres de
j
j
l’Hamiltonien non perturbé Hˆ 0 S entre Wˆ I ( t ' ) et WI ( t ") , on obtient :
t
1
k ψ I( 2) ( t ) = k m + ∫ dt ' k Wˆ I ( t ') m + "
N i= 0
=0
"
1
( i= )
2
t
t'
0
0
∑ ∫ dt '∫ dt " k WˆI ( t ') j
j
j Wˆ I ( t ") m
Soit en repassant en représentation de Schrödinger :
i ˆ
i ˆ
U † ( t ,0 )
U ( t ,0 )
H0 S t
− H0 S t
=
=
(En se rappelant que Wˆ I ( t ) = eN
WˆS ( t ) e
)
( 2)
k ψI
(t )
t
i
( Ek − Em )t '
1
=
= ∫ dt ' e
k Wˆ S ( t ') m + "
i= 0
"
1
( i= )
2
t
t'
0
0
∑ ∫ dt '∫ dt " e
j
(
)
i
Ek − E j t '
=
k WˆS ( t ' ) j
( E j − Em )t "
j Wˆ S ( t ") m e =
i
En notation condensée, cette probabilité s’écrit au second ordre inclus :
1
P ( Ek , t ) = 2
=
t
∫e
0
2
1
Wkm ( t ') dt ' + 4
=
iωkmt '
t
∑ ∫ dt 'e
j
0
t'
Wkj ( t ') ∫ dt "W jm ( t ") e
iωkj t '
2
iω jmt "
0
Au second ordre interviennent des états propres j intermédiaires entre les états k et m
susceptibles d’être couplés avec ces états.
D. Marchand
8
Travaux Dirigés de Physique Quantique : Oscillateur harmonique perturbé- TD
4
C
orrigé
1./ Perturbation stationnaire
1
0
1
1
1-/ Le Hamiltonien de l’oscillateur est Hˆ = Hˆ ( ) + Hˆ ( ) avec Hˆ ( ) = (δ k ) xˆ 2 . La base
2
( 0)
standard est constituée des états propres n de Ĥ , Hamiltonien de l’oscillateur non
perturbé. Ces états sont orthonormés, i.e. : n' n = δ nn' .
La correction au premier ordre de l’énergie du fondamental est :
1
1
1
E ( ) = n = 0 Hˆ ( ) n = 0 = δ k 0 xˆ 2 0
2
⎤
2
=
= ⎡
=
⎢ 0 aˆ 2 + aˆ †2 0 + 0 aa
ˆ ˆ † 0 + 0 aˆ † aˆ 0 ⎥ =
0 xˆ 2 0 =
0 ( aˆ + aˆ † ) 0 =
⎥ 2mω
2mω
2mω ⎢ =0
=1
=0
⎣
⎦
Par conséquent :
FG IJ
H K
1
=
1 δk
=ω
E b1g = δ k
=
2
2 mω 4 k
La correction au second ordre est : E
( 2)
1
j Hˆ ( ) 0
=∑
2
(2)
E0 − E j
j ≠0
(1)
2
1
1
=
j Hˆ (1) 0 = δ k j xˆ 2 0 = δ k
j ( aˆ + aˆ † ) 0
2
2
2mω
j devant être différent de zéro, le seul terme donnant une contribution non nulle est le terme
en j = 2 .
2
=
1
0 = 2 2 . D’où : j Hˆ ( ) 0 =
δk
2
2mω
1
5
et puisque : E0 = =ω et E2 = =ω
2
2
( 2) ⇒
( aˆ )
† 2
E
( 2)
=
1
1 ⎛δ k ⎞
2
= − (δ k ) 2 3 = − ⎜
⎟ =ω
mω
16
16 ⎝ k ⎠
2
(3)
FG IJ
H K
1
1 k
2-/ L’énergie de l’état fondamental de l’oscillateur non perturbé est E0 = =ω = =
2
2 m
et par conséquent, l’énergie de l’oscillateur perturbé est :
FG
H
1 k +δ k
E= =
m
2
D. Marchand
IJ
K
1
2
FG
H
1
δk
= =ω 1 +
k
2
IJ
K
1
2
1
2
9
Travaux Dirigés de Physique Quantique : Oscillateur harmonique perturbé- TD
4
soit, puisque δ k << k (i.e. H b1g << H b 0g ) :
R|S
|T
FG IJ + 0FG δ k IJ U|V
H K H k K |W
1
1δk 1 δk
E = =ω 1 +
−
2
2 k 8 k
On voit dans (4) que les termes en
δk
2
3
(4)
FG δ k IJ correspondent
HkK
2
respectivement aux
k
corrections du premier et second ordre de la théorie des perturbations. Celle-ci fournit donc ici
une très bonne approximation de l’énergie exacte de l’oscillateur.
et
2./ Perturbation dépendant du temps
Oscillateur harmonique perturbé par un champ électrique créneau
(a) Au premier ordre des perturbations dépendant du temps :
1)
P0(→
1 =
1
=2
2
τ
∫ dt e
V01 ( t ) =
iω0t
0
V01
=2
ω0τ
⎛
⎜ sin 2
⎜ ω
0
⎜⎜
⎝ 2
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
2
=
aˆ + aˆ † ) 1 = − qE
(
2mω0
V01 = −qE 0 xˆ 1 = − qE 0
= −qE
2
=
0 ⎡⎣ 1 + 1 2 + 1 0 ⎤⎦
2mω0
=
2mω0
Puisque la base des états propres de l’oscillateur est orthonormée ( n m = δ nm )
D’où :
1)
P0(→
1 =
ωτ
2 q 2E 2
sin 2 0
3
2
=mω0
(b)
V02 = − qE 0 xˆ 2 = − qE 0
=
aˆ + aˆ † ) 2 = − qE
(
2mω0
=
0 ⎡⎣ 2 + 1 3 + 2 1 ⎤⎦ = 0
2mω0
Puisque la base des états propres de l’oscillateur est orthonormée ( n m = δ nm )
(1)
Donc : P0→2
1
= 2
=
τ
∫ dt e
2
V02 ( t ) = 0 . On doit pousser le calcul de perturbation au second
i 2ω0t
0
ordre.
2
=ω0
1
=ω0
0
D. Marchand
10
Travaux Dirigés de Physique Quantique : Oscillateur harmonique perturbé- TD
4
Si l’on s’intéresse à une transition 0 ↔ 2 , le seul état intermédiaire susceptible d’être
couplé par l’opérateur x̂ est l’état 1 . La correction au premier ordre est nulle, comme nous
l’avons vu précédemment puisque W02 = 0 .
Au second ordre on a :
( 2)
2 ψI
(τ )
τ
τ
⎛ eiω0t − 1 ⎞
W W
⎛1⎞
= ⎜ ⎟ W21W10 ∫ dt eiω0t ∫ dt ' eiω0t ' = − 21 2 10 ∫ dt eiω0t ⎜
⎟
=
⎝ i= ⎠
⎝ iω0 ⎠
0
0
0
2
t
W21W10 ⎛ e 2iω0τ − 1 eiω0τ − 1 ⎞
W21W10 2iω0τ
e
=−
−
− 2eiω0τ + 1
⎟=−
2 ⎜
2 2
iω0 = ⎝ 2iω0
iω0 ⎠
2ω0 =
(
=−
)
ωτ
2W21W10 iω0τ
e sin 2 0
2
2
ω0 =
Et par conséquent :
2
2W21W10
2
ω0τ
P0→2 (τ ) = 2 ψ I
(τ )
W01 = V01 = −qE
=
et W12 = V12 = 2V01
2mω0
( 2)
( 2)
=
ω
2
0
sin 4
2
Avec :
D’où
2 q 4E 4
2q 4E 4 ⎛ ω0τ ⎞
q 4E 4 4
4 ω0τ
=
τ pour ω0τ << 1
P0→2 (τ ) = 2 2 6 sin
2 2 6⎜
2
= m ω0
= m ω0 ⎝ 2 ⎟⎠ 8= 2 m 2ω02
( 2)
D. Marchand
4
11