Electronique quantique

PA101
Electronique quantique
6ème Cours
"La relation temps-énergie"
"L'oscillateur harmonique"
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Qu’avons-nous déjà appris ?
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‰ Les 7 postulats de la théorie quantique constituent la "boîte à outil" du physicien
pour traiter (en principe) de tout problème nécessitant cette théorie.
‰ Deux grandeurs physiques sont dites incompatibles lorsqu'elles ne peuvent pas
être mesurées simultanément. Il existe un critère simple d'incompatibilité : la non
commutation des observables associées
‰ Il existe une relation d'incertitude de Heisenberg pour tout couple de grandeurs
physiques incompatibles. Le second membre de l'inégalité fait intervenir le
commutateur des 2 observables, et dépend de l'état quantique du système à l'instant
considéré.
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Progression
‰ Les grands concepts
‰ L'énoncé des principes de la théorie quantique
‰ l'utilisation et les conséquences du formalisme de la théorie quantique
‰ Les principes de la physique statistique
‰ Illustrations quantique-statistique
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Plan de la séance
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‰ Retour sur la stationnarité, à la lumière des postulats
‰ Etats presque stationnaires et relation temps-énergie
‰ L'oscillateur harmonique : énergies et états stationnaires par la méthode de
Dirac
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Retour sur la stationnarité
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‰ Considérons un état propre de l’hamiltonien :
Alors
ih
dψ
dt
ψ (t ) = ψ (0) exp( −iEt / h )
= H ψ = Eψ
Calculons la probabilité que la mesure de
H ψ = Eψ
A effectuée à l’instant t donne la valeur
propre an comme résultat :
gn
P( an , t ) = ∑
u exp( − iEt / h ) ψ ( 0 )
i
n
i =1
ψ (0) ψ (0)
2
gn
=∑
i =1
u ψ (0)
i
n
2
ψ (0) ψ (0)
= P( an , 0 )
Pour un état stationnaire, l’ensemble de toutes les distributions de probabilité sont
indépendantes du temps. Cela donne une interprétation physique claire à la notion
quantique de stationnarité.
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Retour sur la stationnarité
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Etat stationnaire
Etat non stationnaire
ψ (t ) = ψ (0) exp( −iEt / h )
ψ (t ) ≠ ψ (0) exp( −iEt / h )
P
t=t0
P
t=t1
t=t0
t=t1
Probabilités de
résultats de mesure
(spectre discret)
a0 a1
a4
…
A
Probabilité de présence
(spectre continu)
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a0 a1
a4
…
A
Etats presque stationnaires
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‰ Etats presque stationnaires :
Un état stationnaire possède par nature une «durée de
vie infinie». Ceci est impossible. En revanche un état
«presque» stationnaire peut être réalisé. Comment
| a(E) |
2
apprécier l’évolution temporelle d’un tel état ? Prenons
par exemple le cas d’un spectre énergétique continu :
Δ E (petit)
E
ψ (0) = ∫ a ( E ) ϕ E dE
P(bm , t ) = um ψ (t )
≈ u m ϕ E0
2
2
= ∫ a( E ) exp(−iEt / h) um ϕ E dE
∫ a( E ) exp(−iEt / h)dE
2
ω = E/h
ΔE . Δt ≈ h
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2
E0
Δω .Δt ≈ 1
On se rappelle de la relation
inverse
entre
largeur
temporelle et largeur spectrale
Etats presque stationnaires
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Attention ! Il ne s'agit pas d'incertitude au sens de l'inégalité de
Heisenberg, car le temps n'est pas une grandeur physique.
‰ Le temps caractéristique d’évolution du système est relié à l’incertitude à-priori en
énergie par la relation d’incertitude temps-énergie ΔE. Δt ≈ h
‰ Pour mesurer l’énergie d’un système avec une précision ΔE , il est nécessaire que
la durée de la mesure soit au moins égale à
Δt
donné par la relation d’incertitude
temps-énergie
‰ La durée de vie d’un état est inversement proportionnelle à l’élargissement
énergétique causé par les mécanismes d’interactions rendant cet état non
stationnaire
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Etats presque stationnaires
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‰ Exemple : la désexcitation d'un atome dans un état excité. Si la durée moyenne de
la désexcitation est τ , la largeur de raie vaut typiquement
dans ce cas de "largeur naturelle de la raie" .
τ
hν
Δν ≈
1
2πτ
.
On
parle
I
1
2πτ
ν
I τ = 1 ns ⇒ Δν ≈ 1.6 × 108 Hz
τ
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t
Etats presque stationnaires
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‰ La "largeur naturelle de la raie" est atteinte de façon spectaculaire dans l'effet
Mössbauer. Il s'agit dans ce cas de la désexcitation de noyaux radioactifs d'un solide
par l'émission de photons gamma. On peut en effet montrer que les nucléons
s'arrangent au sein du noyau à la manières des électrons dans les atomes, donnant
lieu à des états excités et un état fondamental. La demie vie radioactive pouvant être
longue, la largeur de raie peut être extrêmement faible. On la mesure alors par
spectroscopie Doppler* ! Cet effet donne lieu à une technique fine d'analyse physicochimique des matériaux.
* décalage de la fréquence proportionnellement à la vitesse
Δν
Δν
ν
v
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=
v
c
v
10 −3
−12
= =
=
3
.
3
×
10
!
8
c 3 × 10
ν
Oscillateur harmonique
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‰ L'oscillateur harmonique a une très grande importance en physique. De très
nombreux systèmes ou effets (vibrations moléculaires, phonons dans les solides,
lumière quantifiée…) peuvent être modèlisés sous forme d'oscillateurs harmoniques.
‰ La méthode de recherche des états stationnaires présentée ici est
due à Dirac. Elle va nous permettre d'exploiter très efficacement notre
formalisme. Elle est également d'un très grand intérêt, car à la base de
la "seconde quantification" qui exprime les excitations des systèmes
multiparticulaires couplés d'une façon très commode. Vous verrez
cela… plus tard ?
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Oscillateur harmonique
V (x ) =
1
mω 2 x 2
2
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V(x)
H = P + 1 mω2 X 2
2m 2
On définit les opérateur
2
a
d’annihilation et
a+
de
création, et l’opérateur nombre N par :
x
⎞ + 1 ⎛ mω
⎞
1 ⎛ mω
i
i
⎟
⎜
⎜
⎟
+
P
a=
X
=
−
a
X
P
mωh ⎟⎠
2 ⎜⎝ h
2 ⎜⎝ h
mωh ⎟⎠
N = a+a
ih
⎞ 1 ⎛ mω 2
⎞⎛ mω
i
i
i
1 ⎛ mω
i
⎞
⎜
⎟
⎜
N= ⎜
X−
P ⎟⎜
X+
P ⎟⎟ = ⎜
X +
P 2 + [X , P ]⎟
h
mωh
2⎝ h
mωh ⎠ 2 ⎝ h
mωh ⎠⎝ h
⎠
1 ⎛ mω 2
i
⎞
P 2 − 1⎟
N = a+a = ⎜
X +
2⎝ h
mωh
⎠
RQ :
12/22
D'où
H = hω ( N + 1 / 2)
Diagonaliser
H revient donc à diagonaliser N
X+=X et P+=P. Donc a et a+ sont bien adjoints
Oscillateur harmonique
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Les commutateurs constituent une clé importante pour la suite :
1 ⎛ mω 2
i
⎞
P 2 + 1⎟
aa = ⎜
X +
2⎝ h
mωh
⎠
1 ⎛ mω 2
i
⎞
P 2 − 1⎟
a a= ⎜
X +
2⎝ h
mωh
⎠
Soit
φn
[a, a + ] = 1
+
+
un état propre de H (ou N) pour la valeur propre (inconnue réelle) n :
φn N φn = φn a a φn = n φn φn = a φn
+
(
2
)
D’où
n≥0
a φ0 = 0
N
a (N φn ) = a a a φn = a aa − 1 φn = a aa + φn − a + φn
+
+
+
+
+
+
na + φn = Na + φn − a + φn = ( N − 1)a + φn
⇒
Na + φn = (n + 1)a + φn
⇒ a + φn
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est état propre de l’opérateur nombre pour la valeur propre
(n +1)
Oscillateur harmonique
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‰ L'opérateur a+ permet à partir d'un état propre de N (ou de H = hω ( N + 1 / 2) ) d'en
obtenir un autre, de valeur propre n
+1
‰ De même on montre facilement que l'opérateur
a permet à partir d'un état propre
de H (ou N) d'en obtenir un autre, de valeur propre n-1
‰ Ces opérateurs permettent donc de descendre (monter) dans l'échelle des valeurs
propres. Or ce processus est fini, puisqu'on a la condition
Nécessairement il faut passer par 0, puisque
n≥0.
a φ0 = 0
propre négative ne doit être générée). Ceci implique n entier !
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(aucune valeur
Oscillateur harmonique
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V(x)
Conclusion immédiate :
E3
E n = hω (n + 1 / 2 )
E2
avec n entier ≥ 0. Les niveaux d'énergie sont équidistants !
E1
La très élégante méthode de Dirac évite la résolution
E0
directe de l'équation de Schrödinger.
Celle-ci reste nécessaire pour trouver la forme des états stationnaires. Cependant une
méthode plus simple consiste d'abord à résoudre
⎛ mω
iP ⎞
⎟
⎜
⎜ h X + mhω ⎟ φ0 = 0
⎠
⎝
dφ 0
φ0
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mω
=−
x dx
h
⇒
⇔
a φ0 = 0
:
h d
mω
φ0 (x ) = 0
xφ0 ( x ) +
h
mω dx
φ0 ( x ) = A ⋅ exp(− mωx 2 / 2h )
1
∞
2
⎛ mω ⎞ 4
∫−∞ φ0 (x ) dx = 1 ⇒ A = ⎜⎝ πh ⎟⎠
x
Oscillateur harmonique
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Pour les états de nombre quantique n > 0 , on utilise le fait que
propre pour la valeur propre
partir de
φ0
n+1.
a + φn
est
état
On peut donc fabriquer tous les états propres à
par action de (a+)n . L'opérateur
a+ ne conservant pas la norme,
il y
aura une constante de normalisation à ajouter. La phase des états étant quelconque,
On l'impose par les relations commodes
φn
( )
1
=
a+
n!
n
φ0
⇒
On montre facilement (récurrence) :
a + φn = n + 1 φn +1
φn (x ) =
et a
φn = n φn −1
n
⎛ mω
h d ⎞
⎜
⎟ φ0 ( x )
−
x
.
⎜
mω dx ⎟⎠
2 n n! ⎝ h
1
φn (x ) = Pn (x ) ⋅ exp(− mωx 2 / 2h )
Polynôme de degré n, pair/impair, n racines réelles (Hermite)
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Oscillateur harmonique
φn ( x )
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2
E9 = 19hω / 2
V(x)
…
…
Amplitude de l'oscillation classique
hω
E3 = 7 h ω / 2
E2 = 5hω / 2
E1 = 3hω / 2
E 0 = hω / 2
x
17/22
x
Oscillateur harmonique
2
E9 = 19hω / 2
…
φn ( x )
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Probabilité de
présence classique
Amplitude de l'oscillation classique
x
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Oscillateur harmonique vs. puits quantique
Confinement spatial
énergie de confinement
x
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PA101
x
Oscillateur harmonique
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‰ La méthode de Dirac utilisant uniquement le langage des états et des opérateurs a
permis d'obtenir très vite le spectre des énergies stationnaires de l'oscillateur
harmonique.
‰ On peut passer d'un état stationnaire à un autre par action de l'opérateur de
création ou d'annihilation. La même démarche analytique se retrouve dans la
quantification du moment cinétique, et plus généralement dans le formalisme de la
seconde quantification qui permet de décrire les excitations de systèmes multiparticulaires (pour les fanas…).
‰ On retrouve aux nombres quantique élevés une probabilité de présence qui se
rapproche du cas classique. Illustration du Principe de correspondance de Bohr : la
mécanique quantique doit se réduire à la mécanique classique à la limite des grands
nombres quantiques.
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1er contrôle de connaissances
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1er contrôle de connaissances :
‰ mardi 6 novembre
‰ 1H en fin de PC
‰ portera sur toutes les séances jusqu’à aujourd’hui
‰ s’appuiera sur le cours oral (slides) + le poly en relation directe avec les
séances + les PC jusqu’à aujourd’hui
‰ visera à s’assurer de la qualité de vos connaissances sur les bases de la
mécanique quantique, et sur sa mise en œuvre
‰ consistera en un QCM + 2 exercices
Bon travail !
Un élève averti en vaut deux…
21/22
=
PA101
C’est tout pour aujourd’hui !
Pensez à :
‰ Réviser après chaque cours
‰ Préparer le cours suivant
Pour vous aider :
http://www.ensta.fr/~sibille/PA101/
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