python x

A. Hassan@Champollion PCSI-MPSI – 1
Informatique en PCSI et MPSI
Champollion 2013-2014
Méthodes d’Analyse Numériques
Implémentation et Application en Python
A. HASSAN, D. MENEU
5 février 2014

Résolution de f(x) = 0 où
f:I−→ R
A. Hassan@Champollion PCSI-MPSI – 2
•Résolution des équations
f(x) = 0
•Résolution des équations différentielles
y′(x) = f(y(x);x)
•Calcul des intégrales
b
Z
a
f(t)dt

Résolution de f(x) = 0où f:I−→ R
Résolution de f(x) = 0 où
f:I−→ R
Méthodes Numériques de
résolution de f(x) = 0
Dichotomie
Implémentation de la
Dichotomie en Python
Méthode de la tangente
(Méthode de Newton ou
Newton-Raphson)
Illustration Graphique de
la méthode Newton
Autre exemple graphique
Implémentation de la
méthode de Newton en
Python
Analyse de l’algorithme
de Newton-Raphson
Inconvénients et limites de
la méthode de
Newton-Raphson
Le problème de la chèvre
Problème de la chèvre:
Mise en équation
Implémentation en Python
Graphique
Résultats: (1) Dichotomie
Résultats: (2) Newton
Exemple: Calcul des
racines carrées (ou n-ième)
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Méthodes Numériques de résolution de f(x) = 0
A. Hassan@Champollion PCSI-MPSI – 4
Pourquoi ? Certaines équation ne peuvent avoir des solutions exactes (Ex/ :
Équations polynômiales de degré ≥ou tout simplement e−x−2x=0)
Hypothèse :fun application à valeurs réelles, continue sur [a;b]telle que
f(a).f(b)<0.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un réel ctel
que f(c) = 0
Objectif : Calculer une valeur approchée de c.
Méthode : Construire une suite (rn)n∈Ntelle que rn−−−−→
n→+∞c.
Cette méthode ou recette est ce que l’on appelle algorithme.
Problème : Trouver de tel(s) algorithme(s) ?.
Un algorithme est plus efficace qu’un autre si la convergence vers la solution est
plus rapide avec un besoin moindre en mémoire.
Algorithmes étudiés :
•Dichotomie.
•Méthode de la tangente (ou de Newton-Raphson).
•Méthode de la sécante (ou de Lagrange)
(Ind. sera traitée en TP)

Dichotomie
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Hypothèse :fcontinue sur [a;b]telle que f(a).f(b)<0
Principe de l’algorithme :
Entrées :f,a0,b0et ε
Sorties :csolution de f(x) = 0 à εprès
a←a0;b←b0
ecart ← |a−b|
if f(a).f(b)>0then
Afficher : Intervalle non valide
else
while ecart >εdo
c←(a+b)/2
if f(c).f(a)<0then
b←c
else
a←c
err ←ecart/2
Afficher : c
Convergence de l’algorithme :
1. ∀n∈N⇒f(an)f(bn)≤0
2. Par construction :
(an)croissante
(bn)décroissante
et
|an−bn|∼1
2n|a0−b0| −−−−→
n→+∞0
(an)et (bn)adjacentes donc
(an;bn)−→ (c;c)
3. Continuité de fimplique
f(an)f(bn)
|{z }
≤0→f2(c)≥0
⇒0≤f2(c)≤0
Bilan :f(c) = 0