Mesure de la constante de Hubble par lentille gravitationnelle

Evaluation de la constante de Hubble par eet de lentille
gravitationnelle appliquées aux quasars.
Daniel Suchet
14 Mars 2011
Introduction
La constante de Hubble H0 joue un rôle particulier dans la cosmologie. Elle permet en eet de caractériser
l'évolution du facteur d'échelle et apparait systématiquement dès qu'on essaie d'aborder des problèmes à très
grandes dimensions. Sa valeur a été initialement estimée par Edwin Hubble en 1929 entre 60 et 80 km.s−1 .M pc−1 à
partir de données observationnelles. De nombreuses expériences ont depuis été faites pour déterminer cette valeur le
plus précisément possible, jusqu'à la mission W M AP qui a établi la valeur de 70.8 ± 1.6 km.s−1 .M pc−1 à partir de
mesures sur le fond dius cosmologique. Il existe cependant d'autres façons de calculer cette constante, en particulier
en utilisant le phénomène de lentille gravitationnelle : la lumière, déviée et ampliée par la présence d'un corps
massif sur la ligne de visée, présente un décalage temporel qui dépend en eet directement de ce paramètre.
Nous allons tout d'abord décrire quantitativement le phénomène de déviation de la lumière par un corps massif
dans le cas simple de corps ponctuels pour pouvoir expliquer l'eet de lentille gravitationnelle. Nous verrons ensuite
comment cet eet est relié à la constante de Hubble, puis nous présenterons des réalisations expérimentales.
Fig 1 : Exemples de lentille gravitationnelles [13].
1
1 Déviation de la lumière en présence d'un corps massif
La théorie de la relativité générale prédit qu'en présence d'un corps massif, la lumière est déviée car la courbure
de l'espace temps déforme les géodésiques. Cet eet est à la base du phénomène de lentille gravitationnelle et il est
nécessaire de le comprendre pour interpréter l'ensemble des résultats qui nous intéressent.
Fig 2 : déviation des rayons lumineux.
1.1 Solution de Schwarzschild des équations d'Einstein
En 1917, Karl Schwarzschild a proposé une première solution des équations posées par Einstein quelques années
auparavant. Malgré sa simplicité, cette solution permet de décrire au premier ordre le phénomène de déviation des
rayons lumineux.
Hypothèses
1. On suppose que le seul corps présent dans l'espace est une masse M à symétrie sphérique.
2. On suppose le problème statique, indépendant du temps.
Métrique
La présence du corps massif change l'expression de la métrique. Si, dans un espace de Minkowski, la métrique
prend la forme ds2 = −c2 dt2 + dr2 + r2 dΩ2 , on cherche à l'exprimer dans le cas de la solution de Schwarzschild
sous la forme :
ds2 = −eν(r) dt2 + eλ(r) dr2 + r2 dΩ2
Equations d'Einstein
L'espace étant vide en dehors du corps massif, le tenseur énergie-impulsion est nul et les équations d'Einstein
s'écrivent :
Rµν − 21 Rgµν = 0 ⇔ Rµν = 0
Le développement du tenseur de Ricci en fonction de l'expression de la métrique permet d'obtenir :
2 2
2
ds2 = − 1 − 2GM
c dt + 1−dr2GM + r2 dΩ2
c2 r
( c2 r )
1.2 Equation des géodésiques
Symétries et invariances
Les hypothèses de la solution de Schwarzschild permettent d'obtenir deux vecteurs de Killing.
Le problème étant invariant dans le temps, k = ∂t est un vecteur de Killing et par conséquent, le long d'une
géodésique, l'énergie est conservée en dénissant :
ṫ
E = gµν k µ uν = 1 − 2GM
c2 r
Le problème étant invariant par rotation, k 0 = ∂ϕ est un vecteur de Killing et par conséquent, le long d'une
géodésique, le moment cinétique perpendiculaire est conservé en dénissant :
Lz = gµν k 0µ uν = r2 sin2 θϕ̇
On choisit d'orienter les axes de manière à ce que θ = π/2 et θ̇ = 0, ce qui implique Lz = L = r2 ϕ̇.
Equations des géodésiques
La norme de la quadrivitesse d'un photon ||u||2 = 0 est conservée au cours du mouvement le long de la
2 2
2
géodésique. On peut l'exprimer à l'aide de la métrique ||u||2 = gµν uµ uν = − 1 − 2GM
c ṫ + 1−ṙ2GM +r2 ϕ̇2 .
c2 r
( c2 r )
On en déduit l'équation radiale et réintroduisant les expressions des grandeurs conservées.
2
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1.3 Déviation des rayons lumineux
ṙ2 = E 2 −
L2
r2
1−
2GM
c2 r
1.3 Déviation des rayons lumineux
Considérons r0 la distance minimale d'approche du rayon lumineux au corps massif. Par symétrie du problème,
− 21
´ ∞ dϕ dλ
´ ∞ L 2 L2
´∞
2GM
dr.
δϕ = 2 (ϕ(∞) − ϕ(r0 )) = ∆ϕ − π , avec ∆ϕ = 2 r0 dϕ
dr dr = 2 r0 dλ dr dr = 2 r0 r 2 E − r 2 1 − c2 r
En considérant le
m changement de variable u =
d∆ϕ
∆ϕ(0) + M dM
, on trouve :
1
r
et le développement au premier ordre en
GM
c2
ie ∆ϕ(M ) =
M =0
δϕ =
REMARQUE
4GM
r0 c 2
: La théorie Newtonienne permet également de déterminer une déviation lumineuse car l'équation
p
r = 1+ecosθ
ne dépend pas de la masse du mobile. Le calcul donne cependant δϕN R =
du mouvement
1
2GM
r0 c2 = 2 δϕ.
2 Eet de lentille gravitationnelle
Prédit par Zwicky en 1937 et observée pour la première fois en 1979, le phénomène de lentille gravitationnelle
correspond à la déviation de la lumière émise par une source lointaine par la présence d'un corps massif (galaxie ou
étoile) sur la ligne de visée. Ce phénomène peut être caractérisé par trois eets : la déformation et le dédoublement
de l'image de la source, l'augmentation de l'intensité lumineuse et le décalage temporel entre les deux images de la
source.
Fig 3 : Images d'une source ponctuelle S & Fig 4 : Intensité mesurée.
2.1 Déformation de l'image de la source
Cherchons à déterminer l'image d'une source ponctuelle S déformée par un corps massif B telle qu'elle est
perçue par un observateur O situé à une distance x de la projection de SB . Pour mener les calculs, on eectuera
les hypothèses suivantes.
Hypothèses
3
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2.2 Augmentation de l'intensité
1. Les angles sont susamment petits pour être développés au premier ordre.
2. Les rayons se propagent en ligne droite avant et après leur déviation par B
Par des calculs de trigonométrie élémentaire, on peut déterminer les relations suivantes :
r1/2 =
1
2n
x±
p
x2 + 4n2 r02 '
x
2n
1±
α
β
avec
α=
p
α02 + β 2
β=
x
nab
r0 =
q
q
α0 = 2 c4GM
2 na
b
4GM
c2 n ab
n=
as
as −ab
On considérera dans la suite l'approximation α ' α0 .
Analogie avec une lentille classique
Pour une lentille classique, un rayon arrivant avec un paramètre d'impact b se voit dévié d'un angle δϕ =
b
f0 .
c2 r 2
0
Par analogie, on peut donc dénir la distance focale de la lentille gravitationnelle : f 0 = 4GM
. Comme une
lentille optique concentre la lumière, on peut s'attendre à observer le même eet pour lentille gravitationnelle.
C'est eectivement le cas, comme on va le montrer dans la partie suivante.
2.2 Augmentation de l'intensité
A cause de la déviation de la lumière, l'intensité L mesurée est plus importante que l'intensité LN qui serait
observée sans lentille gravitationnelle car la lumière est concentrée dans une surface plus petite.
Le théorème de Thalès permet de démontrer la relation :
i
Li = n2 rxi dr
dx LN
Appliquée au cas précédent avec
dr1/2
dx
=
1
2n
1± √
x
x2 +4n2 r02
'
1
2n
1±
β
α
=
β r1/2
α x ,
cette formule permet de
déterminer les intensités des images 1 et 2 en fonction de l'intensité sans lentille gravitationnelle.
L1 =
1
4
2+
α
β
+
β
α
LN
L2 =
L'intensité totale mesurée LT = L1 + L2 prend alors la forme LT '
α0
2β LN
1
4
−2 +
α
β
+
β
α
LN
pour β 1.
Pour une source étendue
L'ensemble du calcul précédent a été mené pour une source et une lentille ponctuelles. En réalité, les objets
physiques présentent une extension spatiale. En les imaginant parfaitement sphériques, on notera rS et rB
leurs rayons respectifs.
Pour la lentille
La prise en compte de la taille de la lentille impose rS < |r1/2 | sans quoi le rayon passe à l'intérieur
de l'objet, supposé opaque. Cette condition est presque toujours vériée.
Pour la source
Si on note u = arSS le diamètre apparent de la source, on peut montrer que l'intégration sur la
surface de l'objet donne les expressions suivantes :
Pour β = 0, on observe un anneau autour de la lentille d'épaisseur constante et égale à u. La
luminosité est donnée par LT ' αu0 LN
Pour 0 < β < u, on observe
autour de la lentille dont l'épaisseur varie. La luminosité
un anneau
2
α0
1β
est donnée par LT ' u 1 − 4 u2 LN
1 u2
0
Pour β > u, on observe deux images séparées. La luminosité est donnée par LT ' α
2β 1 + 8 β 2 LN
4
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2.3 Diérence de marche
2.3 Diérence de marche
Outre la diérence d'intensité, les deux chemins se diérencient par leurs longueurs, donc par le temps mis par la
lumière pour parvenir à l'observateur depuis le source : l'observateur voit simultanément la lumière émise à l'instant
t passant par le chemin 1 et la lumière émise à l'instant t + ∆t passant par le chemin 2.
Fig 5 : Diérence de chemin et décalage temporel.
En considérant l'angle β 1, on montre qu'en première approximation la diérence entre les deux chemins est
donnée par :
∆t = c−1
´X
0
αdX ' naB α0 βc−1
Par conséquent, le rapport entre les deux intensités est donné par :
L1 (t)
L2 (t+∆t)
=
r12
r22
α21
α22
=
3 Evaluation de la constante de Hubble
Les résultats précédents peuvent être utilisés pour mesurer non seulement la masse de la lentille mais aussi la
constante de Hubble à partir d'observations. Pour ce faire, on cherche à élminer les expressions de ab et de as , qu'on
ne peut mesurer expérimentalement.
On peut tout d'abord déterminer à l'aide de mesures spectroscopiques le décalage spectral de la lumière émise
par la lentille B et par la source S . Avec les approximations de la loi de Hubble, on peut relier ces redshifts à la
distance par la relation linéaire
H=
zb c
ab
=
zs c
as
n=
as
as −ab
=
zs
zs −zb
Si la source est d'intensité variable, on peut également déterminer la diérence de marche entre les deux chemins
0β
(voir le schéma de la partie précédente). On a ainsi accès à ∆t, ce qui permet de déduire le rapport acb = nα
∆t ,
d'où :
H=
zb zs
α1 −α2
zs −zb α0 ∆t
Pour nir, on peut exprimer à l'aide du rapport
L1 (t)
L2 (t+∆t)
l'expression :
5
=
α21
α22
√
L /L −1
la diérence α1 − α2 = α √ 1 2 , d'où
L1 /L2 +1
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H=
√
√L1 /L2 −1
2
zb zs α0
zs −zb ∆t
L1 /L2 +1
On peut noter que de la même manière, on peut extraire des données observationnelles la masse de la lentille
gravitationnelle. Des calculs analogues donnent en eet :
√
3
∆t √L1 /L2 +1
M = c16G
L1 /L2 −1
4 Réalisation expérimentale
4.1 Ordres de grandeurs
Le Soleil comme lentille gravitationnelle
Bien que sa magnitude rende dicile l'observation, le Soleil peut lui même servir de lentille gravitationnelle.
En prenant une lentille de masse M = M située à une distance de aB = 1ua et une source également de
type étoile rS = r située à une distance aS = 100pc, on trouve
r0 = 3.106 m
00
00
00
α0 = 2.10−2
δϕ = 7
u ' 10−5
De façon plus générale, on peut calculer les rapports d'intensité en fonction du rapport
β
α0
10
3
1
0.1
0.01
L1
LN
1.0000
1.0014
1.030
3.04
25.5
L2
LN
0.0000
0.0014
0.030
2.04
24.5
LT = 1000LN
β
α0
:
LT
LN
1
0.0028
1.060
5.08
50
Une galaxie comme lentille gravitationnelle
On peut considérer une galaxie typique de masse M = 1011 M et de diamètre D = 6000pc située à mi-chemin
entre l'observateur et la source lumineuse. Pour qu'une source extragalactique soit visible depuis la terre, elle
doit émettre un rayonnement intense. On considérera dans la suite des sources puissantes mais compactes,
telles que des supernovae de type I ou des noyaux actifs de galaxie, ponctuels aux distances observés.
aS
108 pc
5 108 pc
109 pc
r0
2.4 103 pc
5.4 103 pc
7.6 103 pc
δϕ
00
0.04
00
0.02
00
0.01
α0
00
0.20
00
0.10
00
0.07
L'ensemble de ces paramètres laissent penser qu'il est envisageable d'observer eectivement le phénomène de lentille
gravitationnelle, que ce soit dans le cas d'une étoile ou d'une galaxie.
4.2 Utilisation des noyaux actifs de galaxie
Parmi la zoologie céleste, les noyaux actifs de galaxie en général, et plus particulièrement les quasars, constituent
des candidats intéressants pour la mesure de la constante de Hubble. Il s'agit, d'après les modèles actuels, de trous
noirs supermassifs autour desquels tournent un disque d'accrétion. Les contraintes subies par la matière en rotation
la transforment en plasma et le mouvement de ce gaz ionisé engendre un champ magnétique orthogonal au disque
qui entraine les particules dans un mouvement hélicoïdal, formant deux jets qui s'achèvent dans de gigantesques
lobes. Ces objets rayonnent fortement à la fois dans le domaine optique et dans le domaine radio. Ils sont, pour
la pluspart, situés très loin de nous (z > 0.1), ce qui entraine un décalage spectral important vers le rouge ainsi
qu'une grande stabilité dans leur direction spatiale. On en recense aujourd'hui plusieurs dizaines de milliers (113
666 références dans le Large Quasar Astrometric Catalogue [11], plus de 130 000 prévus pour la seconde release
[12]).
On observe dans leurs émissions de très rapides modications dûes à leur nature active. Ces modications
s'étendent à l'objet en l'espace de quelques jours seulement, à cause de sa petite taille. Cet eet permet de mesurer
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4.3 Résultats obtenus
expérimentalement la diérence de durée ∆t entre les deux chemins d'une lentille gravitationnelle : on peut en eet
déterminer l'instant t1 auquel on perçoit une modication de l'image 1, puis l'instant t2 auquel cette modication
apparait sur l'image 2. Une description détaillée de la méthode de mesure est donnée par A. Eigenbrod et al. [3].
.
.
.
Fig 6 : Modèle unié des Noyaux Actifs de Galaxie & Fig 7 : Résultats de P. Saha et al.
4.3 Résultats obtenus
L'analyse de la constante de Hubble par l'observation des délais temporels des images de quasars par une lentille
gravitationnelle a été menée à de nombreuses reprises. On peut citer en particulier le travail de P. Saha [10], qui
repose sur l'analyse de 10 sources distinctes, ampliées par des lentilles gravitationnelles galactiques. L'article The
Hubble time inferred from 10 time delay lenses met en avant une diculé majeure de la méthode : une analyse ne
montre que le résultat dépend de la distribution de masse de la lentille mais que plusieurs distributions peuvent
donner les mêmes données observationnelles. Pour obtenir leurs résultats, P. Saha et al. ont utilisé 20 simulations
numériques par objet (avec Ωm = 0.3 et ΩΛ = 0.7) et ont déterminé pour chacune d'entre elles la valeur du
−1
paramètre H0 . En recoupant l'ensemble des résultats, l'équipe a pu déterminer la valeur H0 = 72+8
M pc−1
−11 km.s
avec une certitude de 68%.
Récemment, la même technique a été employée par D. Paracz et J. Hjorth [6] en utilisant 18 sources pour
obtenir une mesure encore plus précise. D'autres techniques existent également, en utilisant par exemple des images
quadruples obtenues pour un angle d'observation très faible [1].
Conclusion
Outre leurs beauté visuelle, les lentilles gravitationelles s'avèrent utiles non seulement pour sonder le contenu
de l'Univers, mais aussi pour mesurer de manière indépendante des paramètres cosmologiques fondamentaux. Cette
exploitation met également en avant une utilisation des quasars, également utilisés comme référence spatiale en
astrométrie [11].
7
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5 Références
[1]
[2]
[3]
[4]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
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estimate of H0 from quadruply imaged gravitational lens systems, Astrometry &
Astrophysics.
Deruelle N., 2003, Gravitation
l'École Polytechnique.
et cosmologie relativistes,
the
Département de physique de
Eigenbrod A., Courbin F., Vuissoz C., Meylan G., Saha P., Dye S., 2005, COSMOGRAIL:
The COSmological MOnitoring of GRAvItational Lenses, Astrometry & Astrophysics.
Langlois D., 2011,
Polytechnique.
Géométrie et gravitation,
Paracz D., Hjorth J, 2010,
astrophysical Journal.
Département de physique de l'École
The Hubble Constant Inferred from 18 Time-delay Lenses,
The
Refsdal S., 1964,
The gravitational lens eect,
Royal Astronomical Society.
Refsdal S., 1964,
On the possibility of determining Hubble's paramter and the massees of
galaxies from the gravitational lens eect
Royal Astronomical Society.
Rich J., 2002,
Éditions de l'École Polytechnique.
Principes de la cosmologie,
Saha P., Coles J., Maccio A., Williams L., 2006,
delay lenses, The astrophysical Journal.
The Hubble time inferred from 10 time
Souchay J., Andrei A. H., Barache C., Bouquillon S., Gontier A.-M., Lambert S. B., Le
Poncin-Latte C., Taris F., Arias E. F., Suchet D., Baudin M., 2008, The construction of
the Large Quasar Astrometric Catalogue, Astrometry & Astrophysics.
Souchay J., Andrei A. H., Barache C., Bouquillon S., Suchet D., Taris F., Peralta R., The
second release of the Large Quasar Astrometric Catalogue, Astrometry & Astrophysics, à
paraître.
http://www.slacs.org/ (Sloan Lens ACS Survey)
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6 Annexe
6.1 Démonstration de la déformation par lentille gravitationnelle
Calcul des distances
Dans le triangle 1 : (r − x) = θab
Dans le triangle 2 : r = (δϕ − θ) (as − ab )
r−x
On en déduit r = (as − ab ) 4GM
rc2 − ab
b
b
− rx asa−a
− 4GM
⇔ r2 1 + asa−a
c2 (as − ab ) = 0
b
b
b
⇔ r2 aasb − rx asa−a
−
b
b
⇔ r2 − rx asa−a
s
4GM
c2
(as − ab ) = 0
as −ab
− 4GM
=0
a
2
b
c
as
⇔ r2 − rxn−1 − r02 = 0
car
q pour x = 0, les solutions sont ±r0
−1
± 4GM
c2 ab n
=
Dans le cas général, on trouve donc les solutions
q
p
2
x
1
x ± x2 + 4n2 r02
r1/2 = 2n
± 12 nx2 + 4r02 = 2n
Calcul des angles
Dans les triangles SOE et BOE
β=
x
ab
−
−1 −1
b
= x aass−a
ab =
ab = xn
α1 − α2
x
as
En considérant x r1/2 ,
α1/2 =
|r1/2 |
ab
α = α2 + α1 =
r1 −r2
ab
r
=
x2
n2 a2b
+
α0 =
2r0
ab
r02
a2b
p
=
β 2 + α02
6.2 Démonstration de l'augmentation de l'intensité lumineuse
Par symétrie de rotation du système B − S , l'angle
dθ est le même dans les deux plans.
Calculons la surface dSN = RN dRN dθ, qui serait atteinte en l'absence de déviation lumineuse, en fonction
de ds = rdrdθ. Par application du théorème de Thalès,
RN
RN +dRN
s
= asa−a
= n. On en déduit que
r =
r+dr
b
dSN = n2 ds
D'autre part, on a
dS
dSN
=
dS ds
ds dSN
=
R dR 2
r dr n .
L'intensité lumineuse reçue en x étant proportionnelle
à dS(x), on en déduit la relation
L(x) = n2 Rr dR
dr LN
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6.3 Délai temporel
6.3 Délai temporel
Considérons qu'un observateur situé en x voie les deux rayons arriver à lui avec un délait ∆t. S'il se déplace de
dx, il verra les rayons arriver avec un délai ∆t + dt. On a alors, en considérant D1 et D2 inchangés,
r
q
−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→ −−−−−−→
−−−−−−→ −−−→ 2
O D2 .Ox+dx Ox
Ox+dx D2 = Ox+dx D2 .Ox+dx D2 =
Ox+dx Ox + Ox D2 ' Ox D2 1 + x (O
D )2
x
Ox+dx D1 ' Ox D1 1 +
2
−−−→ −−−−−−→ Ox D1 .Ox+dx Ox
(Ox D1 )2
On a alors
∆t + dt =
=
Ox D2 −Ox D1
c
+
Ox+dx D2 −Ox+dx D1
c
−−−−−−→ −−−→ −−−→ Ox+dx Ox Ox D2
1
. Ox S2 − OOxxD
c
S1
' ∆t + c−1 sinαdx pour β 1
On en déduit, avec ∆tx=0
⇒ dt ' c−1 αdx
´x
´β
= 0, ∆t = c−1 0 αdx = nab c−1 0 αdβ ' nab c−1 α0 β
10
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