Lettre au format pdf

Lundi 4 septembre 1995 à 17 h
lub
Premiers nombres
et
nombres premiers
ath
Centre informatique
pédagogique (CIP)
Rue Théodore-de-Bèze 2
Case Postale 3144
1211 GENÈVE 3
Tél: (022) 318.05.30
Fax: (022) 318.05.35
Directeur:
Raymond Morel
Lettre nº 41
L’activité de compter a très
probablement donné lieu aux
nombres naturels
Les nombres premiers sont
des nombres naturels qui ne
sont les multiples d’aucun
autre nombre naturel, excepté 1
Si un nombre naturel n’est ni
1 ni premier, il est appelé
nombre composé
Savoir décomposer en facteurs
premiers un nombre est une
tâche qui intéresse non seulement les mathématiciens mais
également tous les «pirates
informatiques»
Bernard Vuilleumier
L’activité mentale qui consiste à compter a très probablement donné lieu aux nombres naturels
qui permettent de dénoter les éléments d’un ensemble ainsi que l’ordre dans lequel ils sont
arrangés. Ces nombres présentent à la fois un aspect cardinal – qui se réfère au nombre total
d’objets d’une collection – et un aspect ordinal – premier, second, etc. Si nous saisissons par
exemple une boîte de disquettes sur laquelle est imprimé «12», nous comprenons que cela
signifie qu’il y a 12 disquettes dans la boîte. Si nous en extrayons une qui porte «12» sur
l’étiquette, nous pensons qu’elle est la seule à porter ce numéro et qu’il s’agit de la douzième
de la collection. La prise de conscience de cette distinction est fondamentale dans l’évolution
de la pensée humaine à propos de l’énumération. Elle prépare à concevoir l’activité de compter
comme une relation entre quantités plutôt qu’une simple liste de quantités. Les opérations
arithmétiques élémentaires figurent parmi les relations utilisées. Elles permettent de définir
d’autres ensembles de nombres – entiers relatifs pour la soustraction, rationnels pour la division, etc.
Les nombres premiers sont des nombres naturels qui ne sont les multiples d’aucun
autre nombre naturel, excepté 1. Si un nombre naturel n’est ni 1 ni premier, il est appelé
nombre composé. Un théorème important de la théorie des nombres établit que tout nombre
naturel supérieur à 1 peut être exprimé d’une manière unique à l’aide d’un produit de
nombres premiers. Les nombres premiers sont donc, d’une certaine manière, les «atomes»
avec lesquels il est possible de construire, par multiplication, tous les nombres entiers composés.
Savoir décomposer en facteurs premiers un nombre, aussi grand soit-il, est une tâche qui
intéresse non seulement les mathématiciens mais également tous les «pirates informatiques»
qui cherchent à percer des codes secrets! En effet, depuis le début des années 80, les
nombres premiers jouent un rôle fondamental en cryptographie (voir lettre du Club Math nº 25).
Leur étude débouche, entre autres, sur les questions suivantes:
• Combien y a-t-il de nombres premiers?
• Comment décider si un nombre arbitraire donné est premier ou pas?
• Existe-t-il des fonctions définissant les nombres premiers?
• Comment les nombres premiers sont-ils distribués?
• Y a-t-il différentes catégories de nombres premiers?
• Quel est, à ce jour, le plus grand nombre premier connu?
1
11
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2
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10
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60
Fig. 1: Dans un tableau de n nombres naturels, il est possible d’obtenir ceux qui sont premiers (en relief) sans avoir à effectuer de division.
C’est la méthode du «crible d’Eratosthène» (ca 276 - 194 av. J.-C.), qui est l’un des plus anciens algorithmes connus : on biffe les
multiples de 2 supérieurs à 2, puis ceux du plus petit nombre p restant différent de 1 et supérieur à p ; et ainsi de suite jusqu’à p2 > n.
Au terme du processus, les nombres qui ne sont pas biffés sont, à l’exception de 1, des nombres premiers.
Travaux pratiques
Pour établir qu’il existe une
infinité de nombres premiers
Exercice 1
Démontrez que le nombre de nombres premiers est infini.
Pour trouver les premiers
nombres premiers
Exercice 2
a) Décrivez un algorithme permettant d’extraire les nombres premiers d’une liste de
nombres naturels sans qu’aucune division ne soit effectuée (procédé du crible d’Eratosthène).
b) Ecrivez un programme mettant en œuvre ce procédé et appliquez-le à la liste des 100 premiers
nombres naturels.
c) Combien de nombres premiers les 100 premiers nombres naturels comportent-t-ils?
d) Comparez le temps nécessaire à obtenir ces nombres premiers lorsque vous utilisez:
• le procédé du crible d’Eratosthène;
• le programme que vous avez écrit;
• les possibilités offertes par les commandes prédéfinies de Mathematica.
Pour compter les nombres
premiers inférieurs ou égaux
à un nombre naturel donné
Exercice 3
Pour compter les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre naturel n donné, il est
possible d’utiliser des fonctions. Elles sont en général notées π(n). En voici une donnée par
Willans, C. P. (On formulae for the nth prime. Math. Gaz. 48, 1964, 413-415):
n
(n) = -1 +
∑
F(j)
j=1
où F(j) est définie par:
F(j) = cos2
(j - 1)! + 1
j
et où [x] signifie «plus grand entier inférieur ou égal à x».
En voici une autre qui ne fait intervenir aucune fonction trigonométrique:
n
(n) =
∑
j=2
(j - 1)! + 1 (j - 1)!
j
j
Calculez le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n et indiquez le temps d’exécution:
a) en utilisant les formules ci-dessus;
b) en utilisant la commande PrimePi[n] de Mathematica.
Pour prendre la mesure du
génie précoce de Gauss et
illustrer le théorème des
nombres premiers
Exercice 4
Les fonctions π(x) qui comptent les nombres premiers permettent de remarquer que ces derniers
sont d’autant plus rares qu’ils sont grands. Pour examiner leur distribution, on compare en
général la fonction π(x) à d’autres fonctions. En 1792 – à l’âge de 15 ans (!) – Gauss émet
l’hypothèse que la fonction π(x) et la fonction logarithme intégral Li(x) définie par:
x
dt
log t
Li(x) =
2
sont asymptotiquement égales. Comme Li(x) ~ x/log(x), la conjecture de Gauss peut aussi
s’écrire π(x) ~ x/log(x). Mais il faut attendre 1896 pour que Jacques Adamard et Charles de La
Vallée-Poussin, indépendamment l’un de l’autre, démontrent cette conjecture qui devient dès lors
le théorème des nombres premiers. Illustrez ce théorème en représentant graphiquement
x/log(x), π(x) et la fonction logarithme intégral Li(x) pour 2 < x < 104.
Pour avoir l’occasion d’utiliser le
théorème de Lucas-Lehmer
Exercice 5
Vérifiez, par la méthode de votre choix, que 2859 433-1 est premier.
Prochaine réunion: lundi 2 octobre 1995 à 17 h.