examen 2014 - ESPCI - Catalogue des Cours

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EXAMEN D'ÉLECTRONIQUE
PARTIE A
QCM sans documents ; durée : 45 mn ; barème : 8 points.
PARTIE B
Durée : 2 h 15 ; barème : 12 points.
Documents manuscrits et photocopies de transparents autorisés.
Choix : question II.4. ou questions III.1.2 et III.2
Les trois parties du problème peuvent être traitées de manière indépendante.
REMARQUES PRÉLIMINAIRES : rappelons quelques péchés mortels pour des
ingénieurs :
omettre de vérifier l'homogénéité des formules littérales,
omettre de s'assurer de la vraisemblance des ordres de grandeur (et des signes) des
résultats numériques,
omettre de faire des approximations évidentes,
se lancer dans des calculs abracadabrants sans réfléchir ; comme les années
précédentes, aucune question de ce problème ne nécessite plus de quatre ou cinq
lignes de calcul une fois que les équations sont correctement posées.
On rappelle que, pour tous les calculs littéraux (et notamment dans la présentation du
résultat final), on doit toujours s'efforcer de faire apparaître des grandeurs sans
dimension.
Il sera tenu le plus grand compte de la précision, de la clarté et de l'élégance de la
rédaction ; les "explications" constituées d'une suite d'équations séparées par des signes
⇒ sans commentaires ne sont pas acceptables.
______________
Ce problème examine la réalisation de divers « filtres actifs », c’est-à-dire de filtres
constitués à l’aide de composants actifs.
I.
Filtres actifs et oscillateurs
On considère le circuit représenté sur la Figure 1. G(jω) est le gain complexe d’un
amplificateur d’impédance d’entrée infinie, d’impédance de sortie nulle, de gain
statique G0 (pas nécessairement très grand devant 1) et de pulsation de coupure ω0,
dont le gain décroît de 20 dB par décade en haute fréquence.
I.1.
Exprimer le gain complexe V2 ( jω ) V1 ( jω ) de ce circuit, en fonction de G0, ω0,
ρ = R2/R1.
I.2.
Exprimer le gain statique K et la constante de temps τ de ce circuit en
fonction de G0, ω0, ρ.
I.3.
Indiquer une condition suffisante sur G0 pour que ce circuit soit stable
quelles que soient les valeurs de R1, R2 et ω0.
2
Figure 1
I.4.
Le montage amplificateur inverseur utilisant un amplificateur opérationnel
obéit-il à cette condition ?
I.5.
Si la condition de stabilité n’est pas réalisée, qu’observe-t-on à la sortie de ce
circuit ?
I.6.
I.6.1. On remplace les résistances R1 et R2 du circuit de la Figure 1 par les
dipôles représentés sur la Figure 2(a) et la Figure 2(b) respectivement,
d’impédances Z1 ( jω ) et Z2 ( jω ) . On suppose de plus que le gain de
l’amplificateur peut être considéré comme constant dans le domaine
de fréquences intéressant : G ( jω ) ≈ G0 . Exprimer le gain complexe
V2 ( jω ) V1 ( jω ) de ce circuit en fonction de Z1 ( jω ) , Z2 ( jω ) et G0 .
Figure 2
I.6.2. Exprimer le gain complexe en fonction de R, C, G0, en mettant le
dénominateur sous la forme : 1 + α jω + β ( jω ) .
2
3
I.6.3. On rappelle que l’équation caractéristique d’un modèle d’un
ζ
s2
processus du second ordre est de la forme 1 + 2 s + 2 . Exprimer
ωn
ωn
l’amortissement ζ et la pulsation naturelle ωn du circuit en fonction de
R, C, G0.
I.6.4. À quelle condition doit obéir G0 pour que ce circuit soit stable ?
I.6.5. À quelle condition doit obéir G0 pour que le circuit soit un oscillateur.
Si cette condition est remplie, quelle est la pulsation d’oscillation ?
I.6.6. Quel est le nom donné habituellement à ce circuit ?
II.
Filtres actifs à capacités commutées
Dans toute cette partie, on utilisera le modèle de l’amplificateur opérationnel idéal.
II.1.
La Figure 3 représente les chronogrammes des signaux φ1 et φ2 qui seront
utilisés dans tous les circuits étudiés dans la partie II du problème (k est un
entier positif). Pour ces circuits, les dimensions des transistors MOS et des
condensateurs sont choisies de telle manière que les constantes de temps de
charge et de décharge des condensateurs soient très petites devant T1.
Figure 3
T
1
de telle manière que les tensions d’entrée
=
4 4f
V1(t) des circuits étudiés (Figure 5 à Figure 9) puissent être considérées
comme constantes pendant la durée T1. En déduire une relation entre f et les
spectres de Fourier de V1(t) et de V2(t).
On choisit la durée T1 =
II.2.
On considère le circuit représenté sur la Figure 4. En supposant que
l’impédance de charge est infinie et que les charges initiales des deux
condensateurs sont nulles, exprimer V2(t) en fonction de V1(t).
4
Figure 4
II.3.
Intégrateur inverseur à capacités commutées.
On considère le circuit représenté sur la Figure 5.
Figure 5
II.3.1. Cas particulier : on suppose que la tension V1(t) est un échelon
d’amplitude V1 > 0 à l’instant t = 0. En supposant que les
condensateurs sont déchargés à l’instant initial, tracer le
chronogramme de la tension aux bornes de C1, et de la tension V2(t),
pendant deux périodes (comme indiqué sur la Figure 6) ; pour
simplifier, on prendra C1 = C2.
II.3.2. Cas général : on suppose à présent que la tension V1(t) varie de manière
quelconque, sous réserve que la condition de la question II.1 reste
vérifiée. On désigne par Q1(kT) et Q2(kT) les charges portées par les
condensateurs C1 et C2 (C1≠C2) à l’instant kT.
(
)
(
)
V ( kT ) en fonction de V (( k − 1) T ) , V (( k − 1) T ) , C ,
II.3.2.1. Exprimer Q2 ( kT ) en fonction de Q2 ( k − 1) T et Q1 ( k − 1) T .
II.3.2.2. Exprimer
C2.
2
2
1
1
II.3.3. On considère le circuit de la Figure 7. Établir l’équation différentielle
qui relie V1(t), V2(t), R, C2.
II.3.4. On soumet le circuit de la Figure 7 à la tension « en escalier »
V1(t) = V1(kT) pour kT ≤ t < (k+1)T, ∀k.
5
Figure 6
Figure 7
(
)
(
)
II.3.4.1. Exprimer V2 ( kT ) en fonction de V2 ( k − 1) T , V1 ( k − 1) T , T, R,
C2.
II.3.4.2. On souhaite que le circuit de la Figure 5, soumis à une tension
d’entrée V1(t), fournisse la même séquence de tensions de sortie
{V2(kT)} que le circuit de la Figure 7 si celui-ci était soumis à la
6
tension en escalier définie ci-dessus. Exprimer la période T des
signaux de commande φ1 et φ2 pour que cet objectif soit atteint.
II.3.5. En déduire les avantages que présentent les intégrateurs à capacités
commutées par rapport aux intégrateurs actifs analogiques classiques,
notamment du point de vue de la souplesse d’utilisation et de la
dimension du composant.
Choix : question II.4. ou questions III.1.2 et III.2
II.4.
Amplificateur inverseur à capacités commutées
On se propose à présent de réaliser un amplificateur inverseur à capacités
commutées ; on suggère pour cela deux circuits, représentés sur la Figure 8 et
sur la Figure 9.
Figure 8
Figure 9
II.4.1. Un de ces circuits ne peut pas fonctionner correctement. Lequel ?
7
II.4.2. En supposant que la charge de l'amplificateur est constituée d'une
résistance infinie, exprimer le gain V2(kT)/V1[(k-1)T] du circuit qui
fonctionne, en fonction de C1 et C2.
III.
Filtre biquadratique
On considère le circuit représenté sur la Figure 10, où Z1, Z2, Z3, Z4 sont les
impédances de résistances ou de condensateurs. G1 et G2 sont les gains
(indépendants de la fréquence en première approximation) d'amplificateurs dont on
considérera l'impédance d'entrée comme infinie et l'impédance de sortie comme
nulle ; on suppose que le produit G1G2 est négatif.
Figure 10
III.1. On veut réaliser un filtre passe-bas selon ce schéma, dont les composants
passifs sont trois résistances et un condensateur.
III.1.1. Supposons que le composant d’impédance Z4 soit un condensateur de
capacité C4 ; les autres composants sont donc des résistances de
valeurs R1, R2, R3.
III.1.1.1. Sans calcul, indiquer la limite du gain lorsque la fréquence de
V1(t) tend vers l’infini.
III.1.1.2. Exprimer le gain statique du filtre en fonction de G = G1G2 et de
ρ = R2 / R1.
III.1.1.3. Si G1 est réalisé par un amplificateur opérationnel idéal, que
devient le gain statique calculé à la question précédente ? Ce
résultat était-il prévisible ?
Choix : questions III.1.2 et III.2 ou question II.4.
III.1.2. Supposons que le composant d’impédance Z2 soit un condensateur (le
composant d’impédance Z4 est donc une résistance).
III.1.2.1. Lorsque la fréquence de V1(t) tend vers l’infini, exprimer de
deux manières différentes V’1(t) en fonction de V2. En déduire la
limite du gain (on rappelle que G1 G2 < 0).
III.1.2.2. Exprimer le gain statique en fonction de G1, G2, R3, R4.
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III.1.2.3. Si G1 est réalisé par un amplificateur opérationnel idéal, que
devient le gain statique calculé à la question précédente ?
Expliquer.
III.2. Si les composants d’impédances Z1 et Z4 sont des résistances, et si les
composants d’impédances Z2 et Z3 sont des condensateurs, quelle peut être la
fonction de ce circuit ? Pour répondre à cette question, on ne cherchera pas à
établir l'expression générale du gain complexe du filtre : on considérera
seulement les cas limites des très hautes et des très basses fréquences.