Résumé du cours

Interf´erences R´esum´e
Notion d’interf´erences
Def : on appelle diff´erence de marche, la diff´erence de chemin optique introduite par un dispositif
interf´erentiel entre deux rayons lumineux se superposant au point M:
δ(M)=(SM)1−(SM)2
Conditions d’obtention: deux ondes interf`erent en un point Md’un r´ecepteur sensible `a l’´eclairement
(comme l’oeil ou photor´ecepteur classique) si
- elles sont coh´erentes : ¸c-`a-d mˆeme pulsation, mˆeme phase `a l’´emission : en pratique issues du
mˆeme point source physique et du mˆeme train d’onde.
- la diff´erence de marche δest inf´erieure `a la longueur de coh´erence du train d’onde lc, celle-
ci ´etant reli´ee `a la largeur spectrale `a mi-hauteur de la source. En effet chaque train d’onde se situe `a
[ν−1/2 ∆ν, ν + 1/2 ∆ν] dont la largeur ∆νd´efinit la dur´ee de vie τtelle que τc'1/∆ν.
On a alors lc=cτc.δ < lcest la condition de coh´erence temporelle de la source.
D´efinition de l’´eclairement E=<2s2>=ss∗o`u s est l’amplitude.
Formule de Fresnel
•l’´eclairement obtenu par superposition en Md’ondes coh´erentes s’obtient en ajoutant d’abord les
amplitudes:E= (s1+s2)(s1+s2)∗
- pour deux ondes d’amplitudes diff´erentes E(M) = E1+E2+ 2√E1√E2cos 2π
λvide δ(M)
- pour deux ondes d’amplitudes identiques (E0est l’´eclairement obtenu avec une seule source) :
E(M) = 2E0(1 + cos 2π
λvide δ(M))
•l’´eclairement obtenu par superposition en Mde deux ondes incoh´erentes est la somme de leur
´eclairement : E=E1+E2=s1s∗
1+s2s∗ 2
Figure d’interf´erence
Def : on d´efinit l’ordre d’interf´erence p=δ/λvide.
Pt´e : si pest entier l’´eclairement en Mest maximal, on obtient une frange brillante ; la distance
entre deux franges brillantes est appel´e interfrange.
si pest demi-entier l’´eclairement en Mest minimal, on obtient une frange sombre.
Def: on d´efinit le contraste d’une figure d’interf´erence par :
C=Emax − Emin
Emax +Emin
lorque C= 0, l’´eclairement est uniforme, on parle de brouillage des franges.
Calcul de diff´erences de marche
- il suffit d’´evaluer g´eom´etriquement les chemins optiques sans oublier l’indice des milieux travers´es
- on peut utiliser la relation ϕ=2πδ
λvide (SM ) = ~
k. ~ SM
- on pense aussi au th´eor`eme de Malus : entre la source et un plan d’onde deux rayons lumineux restent
en phase (ou ont le mˆeme trajet optique); idem entre un objet et son image conjugu´ee par un syst`eme
optique.
Physique PC*

Michelson R´esum´e
Michelson en lame d’air
Pt´e : avec une source ponctuelle les franges sont d´elocalis´ees. Les franges brillantes sont alors des
hyperbolo¨ıdes de r´evolution de foyer S1et S2, sources virtuelles sym´etriques de Spar rapport aux deux
miroirs. Les franges observ´ees sont dans les plans sectionnant ces hyperbolo¨ıdes perpendiculairement `a leur
axe de sym´etrie : l’intersection donne alors des anneaux concentriques.
Franges d’´egale inclinaison
Pt´e : avec une source ´etendue les anneaux sont localis´es `a l’infini. On obtient alors des franges dites
d’´egale inclinaison observ´ee `a l’œil sans accommoder ou dans le plan focal image d’une lentille. L’´eclairage
poss`ede ainsi tous les angles d’incidence possibles .
La diff´erence de marche en un point Msitu´e `a l’infini dans la direction i, pour une ´epaisseur de lame e
vaut , avec il’angle d’incidence (et de sortie de l’appareil) :
δ= 2e cos i
Caract´eristiques des franges
- les franges sont des anneaux concentriques
- l’interfrange n’est pas constant et diminue avec i; (les anneaux se resserrent)
- la frange centrale (i= 0) est a priori quelconque (ordre d’interf´erence quelconque)
-l’ordre d’interf´erence est maximal au centre , il d´ecroˆıt avec i.
- les anneaux sont d’autant plus nombreux que eest grand
-les anneaux ”rentrent” quand on diminue e
-e= 0 correspond `a la teinte plate, l’´eclairement `a l’´ecran est uniforme, on ne voit plus de franges
Michelson en coin d’air
Pt´e : avec une source ponctuelle les franges sont d´elocalis´ees. Les franges brillantes sont alors des
hyperbolo¨ıdes de r´evolution de foyer S1et S2, sources virtuelles sym´etriques de Spar rapport aux deux
miroirs. Les franges observ´ees en sortie sont des franges rectilignes.
Franges d’´egale ´epaisseur
Pt´e : avec une source ´etendue ´eclairant les miroirs sous incidence quasi normale, les franges sont
localis´ees sur les miroirs. On obtient alors des franges dites d’´egale ´epaisseur observ´ee `a l’œil en accom-
modant, ou par projection sur un ´ecran `a l’aide d’une lentille (en respectant D > 4f0).
La diff´erence de marche en un point Msitu´e `a l’abscisse xpar rapport `a l’arˆete du coin d’air, pour un
angle du coin d’air αvaut :
δ= 2α x
Caract´eristiques des franges
- les franges sont parall`eles `a l’arˆete des miroirs
- les franges sont rectilignes et ´equidistantes d’interfrange i=λ0/2α
- les franges sont d’autant plus nombreuses `a l’´ecran et serr´ees que αest grand
Doublet du sodium
Chariotage du Michelson en lame d’air : ∆e=λ2
0/2∆λ
Physique PC*

Diffraction R´esum´e
Diffraction de Fraunhofer
Def : On parle de diffraction dans les conditions de Fraunhofer quand la source et le point d’observation
sont `a l’infini.
G´en´eralit´es
- La diffraction est visible si la longueur d’onde est inf´erieure aux dimensions de l’objet diffrac-
tant
- La figure de diffraction est centr´ee sur l’image g´eom´etrique de la source
- Elle a les mˆemes sym´etries que l’´el´ement diffractant : un cercle donne un cercle, un trait donne un trait
- plus les dimensions de l’obstacle diffractant sont r´eduites , plus l’image diffract´ee est grande
- les interf´erences entre motifs r´ep´et´es de l’´el´ement diffractant se traduisent par des franges qui modulent
l’intensit´e diffract´ee; l’´ecart entre ces franges est inversement proportionnel `a la distance entre motifs
Ouverture rectangulaire infiniment fine
- image diffract´ee perpendiculaire `a la fente : une fente horizontale diffracte dans une direction
verticale
- constitu´ee d’une tache centrale lumineuse et de taches lat´erales moins lumineuses et deux fois moins
larges que la tache centrale;
- la tache centrale a la demi-largeur angulaire ´egale `a λvide
largeur totale de la f ente =λvide l
- insensible au d´eplacement de translation de la fente diffractante dans son propre plan
Ouverture circulaire : pour une ouverture circulaire la figure de diffraction est appel´ee tache d’Airy
et l’ouverture angulaire centrale a la demi-largeur angulaire ´egale `a 1,22 λvide
diametre
Objet de phase : un objet de phase est caract´eris´e par sa transparence ou transmittance t(P) qu’il
faut introduire comme facteur pour obtenir l’amplitude de l’onde de sortie : ssortie =t(P)sentree
La d´ecomposition en s´erie de Fourier conduit `a une somme de termes en cos(2πσnx). On remplace le
cosinus par son expression complexe (cos x= 1/2(ejx +e−jx) ; on d´eduit les directions angulaires et les
amplitudes associ´ees. Ainsi :
sin θn=±λ.σn
et les amplitudes Ansont les coefficients devant chaque exponentielle ej2πσnx(ne pas oublier le coefficient
1/2 dˆu `a la d´ecomposition du cosinus en exponentielle).
Cas du r´eseau plan de pas a : sin θn=±nλ/a (σn=n/a)
Cas du r´eseau sinuso¨ıdal : sin θ=±λ/a et sin θ= 0 (σ= 1/a et σ= 0)
Filtrage : on peut filtrer un objet de transparence par un passe-bas ou un passe-haut. Pour cela :
- on forme l’image de l’objet `a filtrer dans le plan conjugu´e d’une lentille.
- on place dans le plan de Fourier (plan focal) le filtre (une fente ou un trou ou son compl´ementaire)
- une fente ou un trou plac´e au centre du plan de Fourier cache toutes les fr´equences spatiales
hautes : c’est un filtre passe-bas. Il permet de garder les ´eclairements uniformes dans l’image filtr´ee ou
de donner du flou en supprimant les fins d´etails.
- le compl´ement de fente ou de trou (¸c-`a-d un cheveu ou un cercle opaque) cache les fr´equences spatiales
z´ero ou basses : c’est un filtre passe-haut. Il permet de faire sortir les d´etails dans l’image filtr´ee.
Physique PC*