Sur la théorie de Monsky et Washnitzer (Bernard Le Stum)

Sur la thŽorie de Monsky et Washnitzer
(Bernard Le Stum)
1. Alg•bres faiblement compl•tes
Comme expliquŽ dans [vdP], la thŽorie dŽveloppŽe dans [M-W] se simplifie
considŽrablement en utilisant le th•or•me d'approximation de [Bos]. On peut
aussi utiliser d'autres rŽsultats postŽrieurs ˆ l'article de Monsky et
Waschnitzer, tels que [Meh] ou [El] pour apporter des complŽments et des
simplifications. Notre but est de revoir rapidement cette thŽorie en essayant de
donner des dŽmonstration aussi compl•tes que possible. Notons pour finir que,
contrairement ˆ Monsky et Washnitzer, nous ne supposons pas que la
valuation est discr•te.
Soit K un corps ultramŽtrique complet, v l'anneau de valuation de K, µ
l'idŽal maximal de v, k son corps rŽsiduel et π un ŽlŽment non nul de µ. On
note
v{ t }: = { œ
m
-≥0 am
- t
m
- , am
- ‘ v, am - @ 0},
avec t = (t1, . . . , tN), le complŽtŽ π-adique de v[ t ] et K{ t }: = v{ t } ¢v K l'alg•bre
des fonctions convergentes sur le polydisque unitŽ. Nous rappelons qu'une
algŽbre affinoide A sur K est un quotient de K{ t } pour un certain N. Une telle
alg•bre est canoniquement munie d'une seminorme Æ-Æ, sa (semi-) norme
spectrale. On peut aussi munir A d'une norme de BanachÆ-Æ' et deux telles
normes sont Žquivalentes.
Si A est une alg•bre affinoide sur K et λ ‘ æKæ| ¢Á › « È, on note
A{ t /¬}: = { œ
m
-≥0 fm
- t
m ‘ A, ¬æm
æÆf m
Æ'@ 0}.
l'alg•bre des fonctions convergentes sur le fibrŽ en polydisques de rayon ¬. Si A
= K{ s /¬}/I avec ¬ > 1, on pose pour tout µ tel que 1 ≤ µ ≤ ¬, Aµ := K{ s /µ}/IK{ s /µ} et
on dit que Aì= Ù
µ>1 Aµ est une K-alg•bre faiblement compl•te. On notera Aì[ t ]ì: =
A{ t /¬}ì. Nous allons maintenant rappeler le thŽor•me d'approximation
d'Artin-Bosch:
ThŽor•me 1.1 (Bosch) Soient, pour i ‘ I, Fi ‘ Aì[ t ]ì et G'
1 , . . . , G ' M ‘ A1 avec ÆG' i Æ
≤ 1, tels que pour tout i ‘ I, on ait Fi(G'
1 , . . . , G ' N ) = 0. Si ⁄ > 0, il existe G1, . . . ,
GN ‘ Aìavec ÆGiÆ ≤ 1, tels que pour tout i ‘ I, on ait Fi(G1, . . . , GN) = 0 et ÆG'
i -

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GiÆ'< ⁄.
Voir [Bo], theorem 2.§
Ce thŽor•me nous permet dŽja de mieux comprendre les K-alg•bres
faiblement compl•tes:
Proposition 1.2. L'anneau K[ t ]ì est noetherien et les K-alg•bres faiblement
complŽtes sont les quotients de K[ t ]ì.
Soit I un idŽal de K[ t ]ì. Puisque K{ t }Êest nÏtherien, l'idŽal IK{ t } est de
type fini. Soient F1, . . . , Fr ‘ I des gŽnŽrateurs de IK{ t }. Si F ‘ I, il existe G'
1 , . . . ,
G'
r ‘ K{ t } avec ÆG' i Æ ≤ 1 et å ‘ K tels que åF = G' 1 F1 + . . . + G' r Fr. Il rŽsulte alors
du thŽor•me 1.1 qu'il existe G1, . . . , Gr ‘ K[ t ]ì tels que åF = G1F1 + . . . + GrFr.
Cela montre que I est de type fini et on voit donc que K[ t ]ìÊest bien un anneau
nÏtherien.
Montrons la seconde assertion: si A = K{ t /¬}/I avec ¬ > 1, il rŽsulte de
l'exactitude des limites inductives filtrantes que Aì= K[ t ]ì/IK[ t ]ì.
RŽciproquement, puisque K[ t ]ìÊest nÏtherien, si I est un idŽal de K[ t ]ì, il
existe ¬ > 1 et un idŽal I¬ dans K{ t /¬} tel que I = I¬K[ t ]ì. On pose alors A =
K{ t /¬}/I¬ et on a K[ t ]ì/I = Aì.§
En fait, nous allons nous intŽresser aux mod•les entiers des K-alg•bres
faiblement compl•tes. Nous app•lerons v-algèbre complète (de présentation
finie) tout quotient de v{ t } par un idŽal de type fini et v-algèbre faiblement
com plète (de prŽsentation finie) tout quotient de v[ t ]ì: = v{ t } ı K[ t ]ì par un
idŽal de type fini. Remarquons que K[ t ]ì = v[ t ]ì ¢v K. Il suit que si A est une
v-alg•bre faiblement compl•te, A ¢v K est une K-alg•bre faiblement compl•te.
RŽciproquement, si I est un idŽal de K[ t ]ì, on peut toujours trouver des
gŽnŽrateurs de I dans v[ t ]ì et Žcrire K[ t ]ì/Isous la forme A ¢v K avec A: =
v[ t ]ì/I.
Notre premier but est de dŽfinir les analogues du produit tensoriel et de
l'anneau des polynomes pour les alg•bres faiblement complŽtes. Si A #@ B est
un morphisme de v-alg•bres (faiblement) compl•tes, nous dirons que B est une
A-alg•bre (faiblement) compl•te.
Proposition 1.3. Soit A une v-alg•bre faiblement compl•te. Alors,

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i) La catŽgorie des A-alg•bres faiblement compl•tes poss•de un produit
tensoriel interne - ¢ì
A - (c'est ˆ dire des coproduits fibrŽs).
ii) Le foncteur B ò@ BN est reprŽsentable par A[ t ]ì: = A ¢ì
v v[ t ]ì dans la
catŽgorie des A-alg•bres faiblement complŽtes.
On note Æ - Ƭ la norme spectrale sur K{ t /¬}. Montrons que si G ‘ v[ s ]ì et
¬ > 1, il existe µ> 1 tel que ÆGƵ ≤ ¬: En effet, il existe ª > 1 tel que G ‘ K{ t /ª}.
Donc, si l'on Žcrit G = fi a i t
i, on a ªæi
ææa i
æ @ 0. Il existe donc N tel que ªæiææa i æ ≤ ¬
pour æiæ > N et il suffit alors de prendre µ = Min(ª, ¬1/N).
Montrons maintenant que si F ‘ v[ t ]ì et G1, . . . , Gn ‘ v[ s ]ì, alors F(G1, . . .
, GN) ‘ v[ s ]ì: Puisque F ‘ v[ t ]ì il existe ¬ > 1 tel que F ‘ K{ t /¬}. D'autre part,
puisque G1, . . . , GN ‘ v[ s ]ì, il existe µ> 1 tel que ÆGiƵ ≤ ¬. On a donc F(G1, . . . ,
GN) ‘ K{ s /µ} « K[ s ]ì. D'autre part, on sait que F(G1, . . . , GN) ‘ v{ s }, et il suit
que F(G1, . . . , GN) ‘ v[ s ]ì.
On en dŽduit que v[ t ]ì reprŽsente bien le foncteur B ò@ BN: Si B est u n
quotient de v[ s ]ì par un idŽal de type fini, et g1, . . . , gN ‘ B, on peut relever les
gi en Gi ‘ v[ s ]ì. Si F ‘ v[ t ]ì, alors F(G1, . . . , GN) ‘ v[ s ]ì et on peut dŽfinir ƒ:
v[ t ]ì #@ BÊÊen envoyant F sur l'image de F(G1, . . . , GN) dans B.
Il est alors clair que si B (resp. C) est un quotient de v[ t ]ì (resp. v[ u ]ì)
par un idŽal de type fini I (resp. J), alors le quotient B ¢ì C de v[ t , u ]ì par Iv[ t ,
u ]ì + Jv[ t , u ]ì satisfait bien la propriŽtŽ universelle du coproduit de B et C.
Le thŽor•me est ainsi dŽmontrŽ dans le cas A = v et on peut poser en
gŽnŽral A[ t ]ì: = A ¢ì v[ t ]ì. De plus, l'exactitude ˆ droite du produit tensoriel
faiblement complŽtŽ implique que toute A-alg•bre faiblement compl•te B est u n
quotient de A[ t ]ì par un idŽal de type fini. On vŽrifie alors que, comme dans le
cas A = v, si F ‘ A[ t ]ì et G1, . . . , GN ‘ A[ u ]ì, on a F(G1, . . . , GN) ‘ A[ u ]ì: On
choisit une prŽsentation v[s
- ]ì #@ AÊpar un idŽal I et un rel•vement P de F
dans v[ t , s
- ]ì. On a alors, P(G1, . . . , GN, s - ) ‘ v[ u , s - ]ì et donc en passant au
quotient, F(G1, . . . , GN) ‘ A[ u ]ì. Le reste de la dŽmonstration suit exactement
celle du cas A = v.§
Nous dirons que B ¢ì
A C est le produit tensoriel faiblement complŽtŽ de B
et C sur A et que A[ t ]ì est l'alg•bre des sŽries surconvergentes sur A.
Dans ce qui suit, le passage au complŽtŽ jouera un r™le primordial. Si M
est un v-module, on munit toujours celui ci de la topologie π-adique. On pose

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M0 := M/µM et si n > 0, Mn := M/πnM. On note ^M = lim
@ Mn le complŽtŽ de M. Si ƒ:
M #@ N est un homomorphisme, on note ƒ: Mn #@ Nn, pour n ≥ 0, et ƒ: ^M
#@ ^Nles homomorphismes induits.
Remarquons que le foncteur A ò@ ^A est exact ˆ droite et transforme donc
le produit tensoriel faiblement complŽtŽ en produit tensoriel complŽtŽ: Le
complŽtŽ de B ¢ì
A C est ^B ^¢^A^C. En particulier, le complŽtŽ de A[ t ]ì est ^A{ t }.
On peut construire des alg•bres faiblement compl•tes ˆ partir d'alg•bres
de prŽsentation finies: Si A est une v-alg•bre faiblement compl•te et B une A-
alg•bre de prŽsentation finie, il existe une A-alg•bre faiblement compl•te Bì
universelle pour les homomorphismes B #@ C ou C est une A-alg•bre
faiblement compl•te: Si A[ t ] #@ B est une prŽsentation, on a Bì = B ¢A[t_ ]
A[ t ]ì. On dit que Bì est le complŽtŽ faible de B. Notons qu'alors, le complŽtŽ de
Bì n'est autre que ^B. On vŽrifie aisŽment que si B est fini (de prŽsentation
finie) sur A, alors Bì = B si bien que B est faiblement compl•te.
Nous allons maintenant dŽduire du thŽor•me d'Artin-Bosch le thŽor•me
d'approximation dont nous aurons besoin pour Žtudier les v-alg•bres
faiblement compl•tes.
ThŽor•me 1.4. Soit A une v-alg•bre faiblement compl•te et F1, . . . , Fr ‘ A[ t ]ì.
S'il existe g'
1 , . . . , g ' N ‘ ^A tels que
F1(g'
1 , . . . , g ' N ) = . . . = Fr(g' 1 , . . . , g ' N )= 0,
alors, il existe g1, . . . , gN ‘ AÊtels que
F1(g1, . . . , gN) = . . . = Fr(g1, . . . , gN)= 0
et pour tout i = 1, . . . , N, g'
i = gimodulo π.
Dans le cas A = v[s
- ]ì, il suffit d'appliquer le thŽor•me 1.1 ˆ K{ s /¬} avec ⁄
= æπæÊet Æ-Æ' = Æ-Æ. En gŽnŽral, on choisit une prŽsentation v[s
- ]ì #@ A de
noyau (H1, . . . , Hs), des rel•vements P1, . . . , Pr de F1, . . . , Fr dans v[s
- , t ]ì et des
rel•vements G'
1 , . . . , G ' N de g' 1 , . . . , g ' N dans v{s - }. Il existe alors pour tout j =
1, . . . , r, Q'
j ,1, . . . , Q' j ,s ‘ v[s - ]ì tels que Fj(G' 1 , . . . , G ' N ) = œ Q' j ,iHi. On en dŽduit
l'existence de Qj,1, . . . , Qj,s, pour tout j = 1, . . . , r et G1, . . . , GN ‘ v[s
- ]ì tels que
Fj(G1, . . . , GN) = œ Qj,iHi et G'
i = Gi modulo π. Il suffit alors de prendre pour g1,
. . . , gN, les images de G1, . . . , GN dans A.§

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Nous allons maintenant Žtudier la catŽgorie des modules cohŽrents sur
une alg•bre faiblement compl•te. En fait, tous les rŽsultats connus sur les
alg•bres compl•tes s'Žtendent dans notre situation. Le rŽsultat fondamental est
le suivant:
Lemme 1.5. Soient A une v-alg•bre faiblement compl•te, L un A-module
libreÊde rang fini et N un sous module strict de L tel que ^N soit de type fini.
Alors N est de type fini et N= L ı^ N.
On note C le conoyau de l'homomorphisme canonique N ¢A ^A #@ ^N.
Puisque le diagramme commutatif
N ¢A ^A #@ ^N #@ C #@ 0
¿π ¿ π ¿π
N ¢A ^A #@ ^N #@ C #@ 0
¿ ¿
N1 = N1
¿ ¿
0 0
a ses lignes et ses colonnes exactes, on voit que π est surjectif sur C. Soit C' le
noyau de l'application canonique C #@ C ¢v K. Par construction, C/C' est
sans torsion et de type fini sur ^A et donc (sŽparŽ) complet par [Meh], 1.4.3 a) et
1.4.5. Puisque π est surjectif sur C, il est aussi surjectif sur C/C', ce qui signifie
que la topologie est la toplogie grossi•re. On a donc nŽcessairement C/C' = 0, ce
qui signifie que C est de torsion. Puisque C est de type fini, il est annulŽ par πn
et donc nul car π est surjectif sur C. On voit donc que l'homomorphisme
canonique N ¢A ^A #@ ^N est surjectif. Puisque ^N est de type fini, ceci signifie
que l'on peut trouver m1, . . . , mn ‘ N qui engendrent ^N comme ^A-module. Si e1,
. . . , es est une base de L, on peut Žcrire pour tout i, mi = œ fi,j ej. Si m ‘ L ı^ N,
on peut Žcrire m = œ giej avec gj ‘ A et aussi m = œ h'
i ,mj = œ h' i fi,j ej avec h' i ,‘
^A. Nous avons donc pour tout j, gj= œ h'
i fi,j . Gr‰ce au thŽor•me 1.4, il existe
donc des hi,‘ A tels que pour tout j, gj= œ hifi,j . On a donc
m = œ hifi,j .ej. = œ himj.
Cela montre que N= L ı^ N et aussi que ce module est engendrŽ par m1, . . . , mn
comme A-module.§
Proposition 1.6. Soit A une v-alg•bre faiblement compl•te. Alors, A est un
anneau cohŽrent et tout A-module de type fini sans torsion est cohŽrent.