Outils pour Biologistes - DidEL

1
Outils pour Biologistes
Mathilde Badoual1 , Samuel Bottani2 , Laurent Ménard1
Laboratoires:
et Modélisation en Neurobiologie (IMNC) - CNRS 8165
Matières et Systèmes Complexes (MSC)- CNRS 7056
Université Paris Diderot
Sorbonne Paris Cité
1 Imagerie
2
2
Semaine dernière : Cours 2
1
Intégration du mouvement
2
Analyse dimensionnelle ; dimensions de fonctions analytiques
3
Cette semaine, Cours 3 : chapître 2
Causes du mouvement
1
Grandeurs multi-dimensionnelles et vecteurs
2
Dynamique, les lois de Newton
3
Revue de forces
4
Rappels vecteurs
Vecteur
Orientation dans l’espace (suivant quelle droite est la force, se fait
l’action, a lieu le déplacement) ?
Sens, le long de la droite d’orientation
Norme, la valeur du vecteur, sa « longueur ».
5
Rappel mathématique les vecteurs
Illustration à 2 dimensions
http://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_fr.html
~ = Rx~i + Ry~j
V
6
Question
~ de norme |R|
~ et faisant un angle θ avec
Soit un vecteur R
l’horizontale.
Quel sont les coordonnées de ce vecteur ?
3
~ , |R|
~ )
( |R|
~ sin(θ) , |R|
~ cos(θ) )
( |R|
~ cos(θ) , |R|
~ sin(θ) )
( |R|
4
( cos(θ) , sin(θ) )
5
Autre chose
1
2
7
Question
~ de norme |R|
~ et faisant un angle θ avec
Soit un vecteur R
l’horizontale.
Quel sont les coordonnées de ce vecteur ?
3
~ , |R|
~ )
( |R|
~ sin(θ) , |R|
~ cos(θ) )
( |R|
~ cos(θ) , |R|
~ sin(θ) )
( |R|
4
( cos(θ) , sin(θ) )
5
Autre chose
1
2
8
Question
~ = (0, 2) et B
~ = (3, 0).
Soit les deux vecteurs A
~ =A
~ +B
~?
Quel sont les coordonnées du vecteur C
1
(3,2)
2
(2,3)
3
(5,2)
4
(3,5)
5
(5,5)
6
Autre chose
9
Question
~ = (0, 2) et B
~ = (3, 0).
Soit les deux vecteurs A
~ =A
~ +B
~?
Quel sont les coordonnées du vecteur C
1
(3,2)
2
(2,3)
3
(5,2)
4
(3,5)
5
(5,5)
6
Autre chose
10
Vecteurs, illustration à 2 dimensions (2)
Addition des vecteurs : les projections sur les axes des coordonnées s’additionnent
http://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/
vector-addition_fr.html
11
Position et « vecteur position »
Ex. 2D : Position d’un point P couple (x , y ) de coordonnées
x et y .
Le couple (x , y ) donne les direction, sens et valeur de
déplacement pour trouver le point P par rapport à l’origine.
x et y appelées : coordonnées suivant chaque axe.
La position du point P de coordonnées (x , y ) correspond au
~
vecteur position OP.
Dans un repère, une collection de variables pour un état
(x , y , . . . ) indique direction, sens et valeurs comment trouver
le point de l’état dans l’espace à partir de l’origine.
12
Vecteurs de mouvement
Vecteurs position, vitesse et accélération.
Un repère. Coordonnées : les normes
des composantes du vecteur le long des
directions du repère.
Le position d’un point est décrit par le
vecteur
−−→
OM = x~i + y~j + z ~k
, où on se trouve par rapport à l’origine
(comment –direction et sens– rejoindre
ce point à partir de l’origine), (x , y , z)
−−→
sont les composantes de OM sur les 3
axes Ox,Oy et Oz.
Le mouvement est décrit par
−−→
OM(t) = (x (t), y (y ), z(t)).
Les vecteurs vitesse et accélération sont définis par :
→
−
V (t) =
→
−
a (t) =
−−→
d OM
dx
~ dy ~ dz ~
dt (t) = dt (t)i + dt (t)j + dt (t)k
−
−
→
2
2
2
d 2 OM
(t) = ddt x2 (t)~i + ddt y2 (t)~j + ddt 2z (t)~k
dt 2
13
Pourquoi les vecteurs sont importants en science ?
État d’un système
Les systèmes naturels sont généralement décrits par plusieurs
grandeurs variables. Variable : càd dont la valeur peut changer
durant l’évolution du système.
Thermique : pression, température, volume
Chimique : les concentrations de tous les réactif ; la pression,
température, volume.
Position : position dans un plan, dans un espace, les
coordonnées spatiales
14
Pourquoi les vecteurs sont importants en science ?
État d’un système
L’état du système est décrit par la combinaison de toutes les
grandeurs qui le décrivent.
Si N grandeurs variables, un état s’écrit
(Variable1 , Variable2 , . . . , VariableN ).
N est la dimension du système. On parle d’un système à N
dimensions.
(Variable1 , Variable2 , . . . , VariableN ) est un vecteur dans
l’espace des états du système, appelé espace des phases.
Un changement dans un système (t1 → t2 ) est décrit par le
vecteur
changement d’état :
V1 (t2 ) − V1 (t1 ), V2 (t2 ) − V2 (t1 ), . . . , (VN (t2 ) − VN (t1 )
15
L’origine du mouvement
Comment les « choses » sont en mouvement ?
Comment les « choses » changent de mouvement ?
La théorie du mouvement de Newton
16
L’origine du mouvement
Comment les « choses » sont en mouvement ?
Comment les « choses » changent de mouvement ?
La théorie du mouvement de Newton
17
Éléments de base pour la théorie de Newton du mouvement
1
Interactions : Les corps agissent les uns sur les autres en
changeant leurs vitesses respectives. Ces interactions sont les
forces.
2
En absence de toute interaction l’état normal d’un corps est
d’avoir une vitesse constante, ce qu’on appelle l’inertie.
3
Les corps répondent instantanément à des interactions au
moment qu’elles s’appliquent sur eux.
4
Les effets des interactions s’additionnent comme des vecteurs
(superposition)
5
Les effets des interactions s’appliquent à toutes les parties
d’un objet (toute sa masse).
6
Quand un objet interagit sur un autre, le second interagit de
manière réciproque sur le premier.
18
Changement de mouvement, interactions et « forces »
Qu’est-ce que c’est qu’une « force » ?
Une force est une interaction qui lorsque qu’elle n’est pas
opposée conduit à un changement de la vitesse d’un objet.
Cette interaction est vectorielle : une force possède
orientation, sens et norme.
On précise l’objet l’objet que l’on considère (A), celui (B) exerçant la
force sur l’objet (A) et notant :
~ B→A
F
Une force est opposée quand une force de sens contraire
s’applique et annule l’effet de la première.
19
Quelques exemples de forces
20
Forces de « Contact »
Force normale
Force exercée par une surface sur en objet en contact avec elle
empêchant ceux-ci de s’interpénétrer.
De nature atomique : les atomes se repoussent lorsque
« très »proches.
Ne peut pas être évaluée directement.
Toujours perpendiculaire à la surface
Force de tension
Force transmise sur un corps déformable
De nature moléculaire (chimique, électrostatique), résultant
de l’attraction de molécules du matériaux (cohésion)
21
LES LOIS DE NEWTON
22
Loi de Newton n.3
Principe des actions réciproques (Action = Réaction )
~ A/B sur un corps B, alors B le corps
Si un corps A exerce une force F
~ B/A = −F
~ A/B sur A.
B exerce une force égale et de sens contraire F
23
Loi de Newton n.2
Relation force et accélération
Relation force et accélération
~ = m~a
ΣF
si m constante !
~ = d(m~v ) (Note : on
En toute généralité, si m non constante : ΣF
dt
appelle m~v la quantité de mouvement.) On ne traitera pas dans ce
cours.
24
Qu’est ce que c’est que la masse ?
Loi de Newton n.2
La masse d’un objet est :
la mesure de l’inertie de l’objet, cad la « résistance »à la mise
~ = m~a
en mouvement du corps ; ΣF
La grandeur qui intervient dans l’attraction gravitationnelle de
l’objet avec d’autres ( Poids = m.g).
Une double nature de la masse !
Précision technique : la 2e loi de Newton est valable dans les systèmes où
la 1re loi de Newton est valable, correspondent aux « référentiels »qui ne
sont pas en accélération par rapport à un autre et qu’on appelle
Galiléens. Concept important pour les physiciens, mais ne vous focalisez
pas dessus.
25
Loi de Newton n.1
Principe d’inertie
Tout corps soumis à aucune force (ou somme des forces qui
s’appliquent nulles) est soit au repos soit animé d’un mouvement
rectiligne à vitesse constante.
26
Illustrations par la simulation
Outils gratuits à télécharger
Application : « Forces et
mouvement : pour débuter »
Application : « Tais-toi et
pousse »
http://phet.colorado.edu/fr/
simulation/
forces-and-motion-basics
http://phet.colorado.edu/fr/
simulation/forces-1d
27
Démonstration
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-and-motion-basics
28
Phet : Tais-toi et pousse
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-1d
Cette application permet de visualiser les graphiques au cours du temps de la
force F (t), accélération a(t), vitesse v (t), et position x (t).
Dans un premier temps, cocher sans frottement.
29
Question
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-1d
Objet de 200 kg (armoire)
Pas de frottement
Force de 100N
t=0s : v (0)=0m.s−1 et x (0)=-10 m
Les questions
Quelle est la valeur de
l’accélération ?
Au bout de combien de secondes
une vitesse de 4 m.s−1 ?
Quelle distance parcourue
jusque’à ce moment ? Tracez v (t)
et x (t).
Quand la vitesse atteint 4 m.s−1 on
arrête la force appliquée.
Tracez la suite du mouvement
v (t) et x (t).
30
Question
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-1d
Objet de 200 kg (armoire)
Pas de frottement
Force de 100N
t=0s : v (0)=0m.s−1 et x (0)=-10 m
Quelle est la valeur de
l’accélération ?
1
0,2 m.s−2
2
0,02 m.s−2
3
2 m.s−2
4
0,002 m.s−2
5
Autre chose
31
Question
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-1d
Objet de 200 kg (armoire)
Pas de frottement
Force de 100N
t=0s : v (0)=0m.s−1 et x (0)=-10 m
Quelle est la valeur de
l’accélération ?
1
0,2 m.s−2
2
0,02 m.s−2
3
2 m.s−2
4
0,002 m.s−2
5
Autre chose
32
Question
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-1d
Objet de 200 kg (armoire)
Pas de frottement
Force de 100N
t=0s : v (0)=0m.s−1 et x (0)=-10 m
Au bout de combien de secondes
une vitesse de 4 m.s−1 ?
1
4s
2
2s
3
8s
4
16 s
5
Autre chose
33
Question
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-1d
Objet de 200 kg (armoire)
Pas de frottement
Force de 100N
t=0s : v (0)=0m.s−1 et x (0)=-10 m
Au bout de combien de secondes
une vitesse de 4 m.s−1 ?
1
4s
2
2s
3
8s
4
16 s
5
Autre chose
34
Question
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-1d
Objet de 200 kg (armoire)
Pas de frottement
Force de 100N
t=0s : v (0)=0m.s−1 et x (0)=-10 m
Quelle distance parcourue
jusque’à ce moment (v (8s)=4
m.s−1 ) ?
1
1m
2
2m
3
3m
4
4m
5
Autre chose
35
Question
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-1d
Objet de 200 kg (armoire)
Pas de frottement
Force de 100N
t=0s : v (0)=0m.s−1 et x (0)=-10 m
Quelle distance parcourue
jusque’à ce moment (v (8s)=4
m.s−1 ) ?
1
1m
2
2m
3
3m
4
4m
5
Autre chose
36
Question
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-1d
Objet de 200 kg (armoire)
Pas de frottement
Force de 100N
t=0s : v (0)=0m.s−1 et x (0)=-10 m
A 8 s on stoppe la force. Que se
passe t’il ? Dessinez v (t) et x (t)
depuis t=0 s jusqu’à 16 s, avec la
force qui s’arrête à 8 s.
37
Question
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-1d
Objet de 200 kg (armoire)
Pas de frottement
Force de 100N
t=0s : v (0)=0m.s−1 et x (0)=-10 m
A 8 s on stoppe la force. Que se passe t’il ?
3.
1.
2.
4.
5. Autre chose
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Question
http://phet.colorado.edu/fr/simulation/forces-1d
Objet de 200 kg (armoire)
Pas de frottement
Force de 100N
t=0s : v (0)=0m.s−1 et x (0)=-10 m
A 8 s on stoppe la force. Que se passe t’il ?
3.
1.
2.
4.
5. Autre chose
39
Cas d’application : choc
Mouvement d’une balle de masse M = 200g et diamètre 3,38 cm
qui rebondit sur une surface horizontale filmé à 100 images / s.
40
Cas d’application : choc
Mouvement d’une balle de masse M = 200g et diamètre 3,38 cm
qui rebondit sur une surface horizontale filmé à 100 images / s.
[cm]
3,96
3,69
3,38
3,38
3,60
0
Le choc a une durée.
Durant le choc : déformation (compression puis extension).
~1 >
Vitesse incidente moyenne < V
~ 2 >.
Vitesse après moyenne < V
Quelle est l’accélération moyenne subie par la balle durant ce
choc ?
41
[cm]
3,96
3,69
3,38
3,38
3,60
0
Le choc a une durée : ∆t = 5.10−2 s
Durant le choc : déformation (compression puis extension).
~ 1 > = - 31 cm.s−1 (entre
Vitesse incidente moyenne< V
images 3 et 2)
~ 2 > = + 22 cm.s−1
Vitesse après moyenne < V
accélération moyenne
< ~a >=
~2 > − < V
~2 >
<V
+53.10−2 m~
=
i = 10, 6m.s−2~i
t2 − t1
5.10−2 s
42
Cas d’application : choc
La force[cm]
3,96
3,69
3,38
3,38
3,60
0
Force moyenne de la surface sur la balle
~ = m~a
F
F = 0,2 kg x 10,6 m.s−2 = 2,1 N
Orientée verticalement vers le haut
Force moyenne ressentie par la surface : FS = - 2,1 N verticale vers
le bas
43
Récapitulatif lois de Newton
44
Les lois de Newton
(Redite)
Les lois de Newton
1
tout corps soumis à aucune force est soit au repos soit animé
d’un movement rectiligne à vitesse constante.
2
la somme des forces sur un objet est égal à la masse fois son
~ = m~a
accélération ΣF
~ A/B sur un corps B alors le
si un corps A exerce une force F
~ B/A sur A de même
corps B exerce également une force F
3
intensité et direction mais de sens contraire.
45
Mouvements et “forces”
Qu’est ce que c’est qu’une force ?
1
un changement du mouvement ?
2
une interaction entre deux corps ?
3
une variation d’énérgie ?
4
une attraction ou une répulsion entre deux corps ?
5
tout ceci ?
6
autre chose ?
46
Question
Si la force totale agit dans la même direction et sens du
mouvement de l’objet alors sa vitesse va ?
1
diminuer
2
augmenter
3
rester la même vitesse
4
diminuer, changer de sens et augmenter dans le sens contraire
à l’initial
5
changer de direction en gardant la même norme
6
autre chose
47
Question
Si la force totale agit dans la même direction du mouvement
mais en sens contraire de l’objet alors sa vitesse va ?
1
diminuer
2
augmenter
3
rester la même vitesse
4
diminuer, changer de sens et augmenter dans le sens contraire
à l’initial
5
garder la même célérité (norme) mais changer de direction
6
autre chose
48
Question
Si la force totale sur le corps est nulle, alors la vitesse du
corps va ?
1
diminuer
2
augmenter
3
rester la même vitesse
4
diminuer, changer de sens et augmenter dans le sens contraire
à l’initial
5
garder la même célérité (norme) mais changer de direction
6
autre chose