Exercices résolus de mathématiques

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Exercices résolus de mathématiques.
GSP 13
EXGSP120 – EXGSP129
http://www.matheux.be.tf
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson
Décembre 08

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EXGSP130 – FACSA, ULG, Liège, Juillet 2009
Dans un triangle , on note respectivement ' et ' les pieds des hauteurs issues des sommets et .
On note le point d'intersection de ces hauteurs.On trace le cercle circonscrit au triangle '
ABC A B A B
HAC ' et,
par les points 'et ', on mène respectivement les tangentes et à ce cercle.
Démontrer que est un diamètre de
On note l'intersection des droites et . Démontrer que le trian
B
A
A
BC
A B d d
a CH
b P AB d
 C
gle ' est isocèle.
En déduire que le point est situé au milieu du côté
En déduire que la droite passe par .
B
PA B
c P AB
d d P
B
A
A’
B’
O
C
dA
dB
PH
1
1
1
1
132 4C
C’

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Les angles ' et ' sont droits car ' et ' sont des hauteurs.
Les points ' ' sont donc cocycliques et [ ] est un diamètre de .
Les angles ' et ' sont droits. Les points ' ' sont c
HB C HA C AA BB
HB CA HC
BB A AA B AB A B
C
11
ocycliques.
Soit ' le cercle circonscrit au quadrilatère définit par ces points. [ ] est un diamètre de '.
Les angles et ' sont égaux car ce sont des angles inscrits dans ' qui interceptent
le m
AB
BA
CC
C
12
12
12
ême arc. Dans , l'angle inscrit ' intercepte le même arc que l'angle tangentiel ' .
Ils sont donc égaux. Il en résulte que ' , c'est-à-dire que le triangle 'est isocèle
et '
' et ' so
AB
B B PBB
PB PB
BB
C
11
1 2 1 1
nt complémentaires puisque ' est une hauteur. et sont complémentaires
puisque ' est un triangle rectangle et comme ' nous avons ' ,
c'est-à-dire que le triangle ' est isocèle et
BB B A
BB A B B B A
APB PA '.
Dès lors, et est le milieu de [ ]. (C'est le centre de ') et [ '] est une médiane
du triangle rectangle ' , donc ' et le triangle ' est isocèle.
Soit le centre de . ' est une ta
PB
PA PB P AB PA
AA B PA PB PA B
O PB
C
Cngente à et le triangle ' est rectangle.
Or les triangles ' et ' sont égaux puisqu'ils ont un côté commun, que '= '
et que '= '. Les angles ' et ' sont égaux et droits. Nous conc
PB O
PB O PA O OA OB
PB PA PA O PB O
C
luons que
' est la tangente à en ' et qu'elle passe par .
B
A P d A PC
Le 16 aout 2009.

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EXGSP131– FACSA, ULG, Liège, Juillet 2009
On note le centre du cercle circonscrit à un triangle , et ' le pied de la médiane issue de de ce
triangle. On note le centre de gravité du triangle ' .
Démontrer que les droites ' et
O ABC A A
G AA B
AA OG sont perpendiculaires si et seulement si le triangle est isocèle
en . :Calculer '.
ABC
B Suggestion AA OG
A
A’
BC
GO
C’ D
Soit ' le milieu de . Joignons ' qui est une médiatrice de .
Pour avoir une condition nécessaire et suffisante, il suffit de vérifier que le produit scalaire '. 0.
Pour allèger l'écr
C AB C O AB
AA OG 
car est le centre de
gravité du triangle '
iture, tous les couples de points ci-dessous désignent des vecteurs. Nous n'indiquons pas
la flèche au dessus de ces couples.
2
' ' ' ' 3
GABA
OG OC C B BG OC C B BD
OC
car car est le
milieu de '
car ' '
2 2 2 2 1
' ' ' ' . '
3 3 3 3 2
2 1 1 1 1
' ' ' ' ' '
3 3 3 3 3
11
'. ' . ' ' '
33
.
BD BA AD DAA
AA AB BA
C B BA AD OC C B BA AA
OC C B BA AB BA OC C B AB BA
AA OG AB BA OC C B AB BA
ABO 2
2 ' 2 '
0 car
11
' '. ' . ' '. ' . '
33
AB C B AB C B
C BA OC AB C B BA C B AB AB BA      1.'
3AB BA
2
2
2 2 2
0 car '
1'
3
41
' ' ' ' 2 ' '. ' ' '
33
'. ' '. ' '. '
AB
BA
BA OA A B BC C B BA C B C B BA
BA OA BA A B BA BC    2 2 ' '. 'C B BA C B
2
22
2 2 2 2 2
'
22
2 2 2 2
41
''
33
2 1 2
' ' ' ' '
3 3 3
La relation est vérifiée si : ' ' 0 ' ' ' ' ' '
et donc le triangle est isocèle;
AB
C B BA
A B C B BA C B A B
C B A B C B A B C B A B C B A B
BA BC ABC
Le 16 aout 2009.

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EXGSP132 – EPL, UCL, Louvain, septembre 2008.
On considère un cercle de rayon . Un hexagone régulier est un hexagone dont tous les côtés ont la même
longueur. On considère deux hexagones réguliers, le premier inscrit dans et l'autre circonscr
RC
C, it à .
1) On demande de calculer les périmètres de ces deux hexagones.
2) On demande ensuite de déduire des résultats du point 1) deux approximations du nombre , l'un
par défaut, l'autre par excès.
C
A
O
A’BB’
C
C’
D
D’ EE’
F
F’
R
Le périmètre de l'hexagone inscrit est simplement égal à 6 .
3 2 3
L'angle ' vaut 30° ' .tan30 ' '
33
Le périmètre de l'hexagone circonscrit est donc : 4 3
La longueur de la circonférence du cercle
R
RR
A OA AA R A F
R
est comprise entre les périmètres des deux hexagones :
6 2 4 3 3 2 3 3.46R R R      
Le 16 aout 2009.