208 Nom : Contrôle de mathématiques Exercice 1 (4 points) : La roue représentée ci-contre est partagée en 6 secteurs. Une expérience aléatoire consiste à faire tourner la roue et à noter le numéro du secteur sur lequel elle s’immobilise. La roue étant bien équilibrée, on associe à chaque issue une probabilité proportionnelle à l’angle du secteur angulaire correspondant. 1°) On note E l’ensemble des issues de cette expérience aléatoire. Compléter le tableau suivant pour définir une loi de probabilité sur E. Issue Total Angle Proba Exercice 3 (4 points) : 1°) Dans un repère (O ; I ; J), tracer sur votre feuille les courbes représentatives des fonctions : 2 7 1 f(x) = -2 x + 3 g(x) = x-1 h(x) = x+ 3 6 3 (on fera apparaître pour chacune deux points appartenant à la courbe) 2°) Déterminer par le calcul l’expression de la fonction affine f telle que : f (-24) = -5 et f (6) = 5. Exercice 4 (2 points) : Compléter le tableau suivant (inscrire vos transformations sur votre copie) : Fonction m p Sens de variation sur IR f(x) = 3 – 2 x g(x) = 5 x−2 7 1 2°) Calculer la probabilité des évènements suivants : A : « le numéro est pair » B : « le numéro est inférieur ou égal à 3 ». 3°) Calculer les probabilités des évènements A ∩ B et A ∪ B. Exercice 2 (4 points) : Un lycée comporte 240 élèves en Seconde, parmi lesquels 130 Demi-Pensionnaires. Les lycéens étudient 3 langues : 66 élèves étudient l’anglais, 30% étudient l’Allemand. Parmi les élèves qui étudient l’Allemand, 40 sont Demi-Pensionnaires. 25% du total des élèves sont des Demi-Pensionnaires qui étudient l’Espagnol. 1°) Compléter le tableau : Anglais (A) Allemand Espagnol Total Demi-Pensionnaire Externe Total 240 2°) On choisit un élève au hasard parmi eux et on note : A : « l’élève étudie l’Anglais » B : « l’élève est externe ». Calculer les probabilités de A, A , A ∩ B et A ∪ B. (donner les résultats sous forme de fractions irréductibles) Exercice 5 (7 points) : Résoudre les inéquations suivantes en utilisant un tableau de signes (factoriser si besoin pour vous ramener à un produit). (2x – 3) (4 – 2x) (- x – 4) ≥ 0 3(1 – 2x)2 – 2 (1 – 2x) < 0 Correction ds 5 : Donc f(x) = Exercice 1 : 1°) 1 x + 3. 3 Exercice 4 : Issue 1 2 3 4 5 6 Total Angle 45 90 45 30 120 30 360 Proba 1/8 1/4 1/8 1/12 1/3 1/12 1 P (1) = 45/360 = 1/8 2°) P (A) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/4 + 1/12 + 1/12 = 5/12 P(B) = P(1) + P(2) + P(3) = 1/8 + 1/4 + 1/8 = 4/8 = 1/2 3°)P( A ∩ B) = P(2) = 1/4 P( A ∪ B) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(6) = 1 – P(5) = 1- 1/3 = 2/3 Anglais (A) Allemand Espagnol Total Demi-Pensionnaire 30 40 60 130 Externe 36 32 42 110 Total 66 72 102 240 30 % de 240 = 0,3 × 240 = 72 240 – 66 – 72 = 102 25 % de 240 = 0,25 × 240 = 60 2°) On choisit un élève au hasard, donc situation d’équiprobabilité. P(A) = 66/240 = 11/40 P( A ) = 1 – P(A) = 1 – 11/40 = 29/40 P( A ∩ B) = 36/240 = 3/20 P( A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 11/40 + 110/240 – 3/20 = 7/12 Exercice 3 : 1°) Cf passe par (0 ; 3) et (1 ; 1). Cg passe par (0 ; -1) et (3 ; 1). Ch passe par (-2 ; -2) et (4 ; 5) à la calculatrice 2°) f est affine, donc de la forme f(x) = m x + p. m= f(6) = 5 ⇔ m p f(x) = 3 – 2 x -2 3 5/7 -2/7 g(x) = 5 x−2 7 g(x) = 5 x−2 = g(x) = 7 Sens de variation sur IR Décroissante car m < 0 Croissante car m > 0 5 2 x− 7 7 Exercice 5 : Exercice 2 : 1°) f (6)−f (−24) 5−(−5) 10 1 = = = 6−(−24 ) 6+24 30 3 Fonction Donc f(x) = 1 ×6+p=5⇔2+p=5⇔p=5–2=3 3 1 x+p 3 (2x – 3) (4 – 2x) (- x – 4) ≥ 0 Zéros : 2x – 3 = 0 4–2x=0 -x – 4 = 0 2x = 3 -2x = -4 -x = 4 x = 1,5 x=2 x = -4 x -∞ -4 1,5 0 2 Signe 2x – 3 – – Signe 4 – 2 x + + + Signe -x – 4 + 0 – – Signe du produit – 0 + 0 + – +∞ + 0 Car 2 > 0 – – 0 S = [-4 ; 1,5] ∪ [2 ; +∞[ 3(1 – 2x)2 – 2 (1 – 2x) < 0 ⇔ (1 – 2x) [3 (1 – 2x) – 2] < 0 ⇔ (1 – 2x) (3 – 6x – 2) < 0 ⇔ (1 – 2x) (1 – 6x ) < 0 Zéros : 1 – 2x = 0 1–6x=0 -2x = -1 -6x = -1 x = 0,5 x = 1/6 + Car -2 < 0 Car -1 < 0 x -∞ 1/6 0,5 Signe -2x + 1 + Signe – 6 x + 1 + 0 – Signe du produit + 0 – S = ]1/6 ; 0,5 [ + 0 0 +∞ – Car -2 < 0 – Car -6 < 0 +