programmation lineaire par l`exemple resume table des

PROGRAMMATION LINEAIRE PAR
L’EXEMPLE
F.DROESBEKE
M.HALLIN
CL.LEFEVRE
RESUME
Les enseignante de Recherche Opérationnelle trouvent place
actuellement dans la formation de tous ceux que leur profession
destine à assumer des responsabilités de gestion et d’organisation:
ingénieurs , économistes, gestionnaires commerciaux, cades
d’entreprises, preneurs de décision au sens le plus large. A l’ère de
l’ordinateur- outil essentiel de la mise en œuvre des techniques de
recherche opérationnelle - Il est indispensable de prendre contact
avec les principales méthodes existantes en identifiant, en «mettant
en équation», en résolvant un certain nombre de problèmes de petite
dimension: on n’utilise bien que ce qu’on connaît bien.
Le but du présent ouvrage est de permettre un telle prise de contact.
Un brève présentation théorique des méthodes décrites est suivie de
la résolution détaillée de quelques problème types et d’un grand
nombre
d’exercice proposés. Le niveau mathématique requis ne dépasse pas celui des années terminales des lycées et collèges, et est
donc parfaitement accessible à un large éventail de lecteurs et d’étudiants.
Ce premier volume, consacré à la Programmation linéaire, accorde bien entendu une large palce à l’algorithme du simplexe et à
ses dérivés (notion de dualité, programmes paramétriques, algorithme dual-simplexe,…). Il couvre également quelques méthodes
moins classique, telles la méthode de Gomory pour la résolution des programmes en nombres entiers et les méthodes de
séparation pour les programmes en nombres entiers et les méthodes de séparation pour les programmes à variables binaires. Un
second volume, consacré aux applications de la théorie des graphes (algorithmes de plus court/plus long chemin, problèmes de
flot optimal, de transport, d’affectation, d’ordonnancement,…) paraîtra sous peu
TABLE DES MATIERES
Chapitre I PROGRAMMATION LINEAIRE RESOLUTION ET PROBLEMES ANNEXES 7
1.1. LA PROGRAMMATION LINEAIRE 7
1.2. PRESENTATION THEORIQUE 9
1.3. RESOLUTION D'UN PROGRAMME LINEAIRE (PL) 11
1.3.1. Résolution graphique 12
1.3.2. Résolution par énumération des solutions de base 15
1.4. L'ALGORITHME DU SIMPLEXE 18
1.4.1. Principe de l'algorithme 18
1.4.2. Le tableau simplexe 18
1.4.3. Organigramme de l'algorithme du simplexe 21
1.4.4. Exemples résolus 23
1.4.5. Interprétation économique de
30
1.5. OBTENTION D'UNE BASE REALISABLE DE DEPART 32
1.5.1. Organigramme de la méthode M et de la méthode en deux phases 32
1.5.2. Exemples résolus 34
1.6. DEGENERESCENCE – CYCLAGE 40
1.6.1. Solution de base dégénérée 40
1.6.2. Dégénérescence et cyclage 41
1.6.3. Méthode de perturbation 42
1.6.4. Organigramme de la méthode de perturbation 44
1.6.5. Exemples résolus 45
1.7. VARIABLES SANS RESTRICTION DE SIGNE 50
1.7.1. Première méthode 50

1.7.1. Première méthode 50
1.7.2. Seconde méthode 51
1.7.3. Exemples résolus 51
1.8. PROGRAMMES LINEAIRES A VARIABLES BORNEES 55
1.8.1. 55
1.8.2. Exemples résolus 56
1.9. EXERCICES PROPOSES 62
1.10. SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 68
Chapitre Il DUALITE EN PROGRAMMATION LINEAIRE 70
2.1. PROGRAMMES PRIMAL ET DUAL 70
2.2. THEOREMES ET PROPRIETES FONDAMENTALES 80
2.2.1. Théorèmes 80
2.2.2. Dualité et théorie de Lagrange 80
2.3. RESOLUTION DU DUAL 83
2.4. PASSAGE DU DERNIER TABLEAU SIMPLEXE DU PRIMAL AU DERNIERT
ABLEAU SIMPLEXE DU DUAL 86
2.4.1. 86
2.4.2. Exemples résolus 87
2.5. INTERPRETATION ECONOMIQUE DU DUAL 88
2.5.1. Analyse aux dimensions des problèmes primai et dual 88
2.5.2. Le programme dual vu comme le problème d'une entreprise concurrente 90
2.5.3. Interprétation économique des YI à l'optimum 90
2.6. EXERCICES PROPOSES 93
2.7. SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 94
Chapitre III L'ALGORITHME DUAL – SIMPLEXE 100
3.1. INTRODUCTION 100
3.1.1. Exemple R.3.1 100
3.1.2. Exemple R.3.2. 101
3.1.3. Présentation intuitive de l'algorithme dual – simplexe 102
3.2. L'ALGORITHME DUAL – SIMPLEXE 104
3.2.1. Conditions d'application 104
3.2.2. Règles de changement de base 105
3.2.3. Evolution et règles d'arrêt 105
3.2.4. Organigramme de l'algorithme dual – simplexe 106
3.3. EXEMPLES RESOLUS 107
3.4. METHODE DE LA CONTRAINTE ARTIFICIELLE 113
3.4.1. Principe de la méthode 114
3.4.2. Organigramme de la méthode de la contrainte artificielle 115
3.4.3. Exemples résolus 117
3.5. EXERCICES PROPOSES 121
3.6. SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 126
Chapitre IV PROGRAMMES LINEAIRES PARAMETRIQUES 130
4.1. PARAMETRISATION DE LA FONCTION ECONOMIQUE 130
4.2. PARAMETRISATION DU SECOND MEMBRE DES CONTRAINTES 132
4.3. REMARQUES 132
4.4. EXEMPLES RESOLUS 133
4.5. EXERCICES PROPOSES 142
4.6. SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 144
Chapitre V PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES ENTIERES PROCEDURES D'OPTIMISATION
PAR COUPE 154
5.1. INTRODUCTION 154
5.2. PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES ENTIERES 156
5.2.1. Définition d'un programme linéaire en variables entières (PLE) 156
5.2.2. Méthodes de résolution d'un programme linéaire en variable entières 157
5.3. METHODE DE COUPE DE GOMORY POUR LES PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES ENTIERES 158
5.3.1. Principe des méthodes de coupe 158
5.3.2. Théorème de base de l'algorithme de Gomory 159
5.3.3. Principe de l'algorithme de Gomory 161
5.3.4. Organigramme de la méthode de Gomory 164
5.4. EXEMPLES RESOLUS 165
5.5. EXERCICES PROPOSES 173
5.6. SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 175
Chapitre VI PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES 0-1 PROCEDURES D'OPTIMISATION
PAR SEPARATION 176

6.1. INTRODUCTION 176
6.2. PROCEDURES D'OPTIMISATION PAR SEPARATION (PS) 177
6.2.1. Principe fondamental des PS - Ensemble sondable de solutions 177
6.2.2. Etapes d'une PS. Représentation sous forme de graphe 178
6.3. PSES POUR LES PL EN VARIABLES 0-1 180
6.3.1. Allure de l'arborescence 180
6.3.2. Hypothèses et notations 181
6.3.3. Organigramme de la PSES 183
6.3.4. Commentaire de l'organigramme 184
6.4. EXEMPLE RESOLU 185
6.5. EXERCICES PROPOSES 188
6.6. SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 191
BIBLIOGRAPHIE 192
LISTE DES ORGANIGRAMMES
ALGORIHME DU SIMPLEXE 21
METHODE M ET METHODE EN DEUX PHASES 33
METHODE DE PERTURBATION 44
ALGORITHME DUAl-SIMPLEXE 106
METHODE DE LA CONTRAINTE ARTIFICIELLE 115
METHODE DE GOMORY 164
ALGORITHME D'UNE PROCEDURE D'OPTIMISATION PAR SEPARATION 177
PROCEDURE D'OPTIMISATION PAR SEPARATION ET EVALUATION SEQUENTIELLE 183
LISTE DES PRINCIPALES
ABREVIATIONS UTILISEES
Pl : programme linéaire
PlE : programme linéaire en variables entières
PLM : programme linéaire mixte
SBR : solution de base réalisable
PS : procédure d’optimisation par séparation
SEP : séparation et évaluation progressiVe
SES : séparation et évaluation séquentielle
s. r. s.: sans restriction de sigle
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