PROGRAMMATION LINEAIRE PAR L’EXEMPLE F.DROESBEKE M.HALLIN CL.LEFEVRE RESUME Les enseignante de Recherche Opérationnelle trouvent place actuellement dans la formation de tous ceux que leur profession destine à assumer des responsabilités de gestion et d’organisation: i ngéni eurs , économistes, gestionnaires commerciaux, cades d’entreprises, preneurs de décision au sens le plus large. A l’ère de l’ordinateur- outil essentiel de la mise en œuvre des techniques de recherche opérationnelle - Il est indispensable de prendre contact avec les principales méthodes existantes en identifiant, en «mettant en équation», en résolvant un certain nombre de problèmes de petite dimension: on n’utilise bien que ce qu’on connaît bien. Le but du présent ouvrage est de permettre un telle prise de contact. Un brève présentation théorique des méthodes décrites est suivie de la résolution détaillée de quelques problème types et d’un grand nombre d’exercice proposés. Le niveau mathématique requis ne dépasse pas celui des années terminales des lycées et collèges, et est donc parfaitement accessible à un large éventail de lecteurs et d’étudiants. Ce premier volume, consacré à la Programmation linéaire, accorde bien entendu une large palce à l’algorithme du simplexe et à ses dérivés (notion de dualité, programmes paramétriques, algorithme dual-simplexe,…). Il couvre également quelques méthodes moins classique, telles la méthode de Gomory pour la résolution des programmes en nombres entiers et les méthodes de séparation pour les programmes en nombres entiers et les méthodes de séparation pour les programmes à variables binaires. Un second volume, consacré aux applications de la théorie des graphes (algorithmes de plus court/plus long chemin, problèmes de flot optimal, de transport, d’affectation, d’ordonnancement,…) paraîtra sous peu TABLE DES MATIERES Chapitre I 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. PROGRAMMATION LINEAIRE RESOLUTION ET PROBLEMES ANNEXES LA PROGRAMMATION LINEAIRE PRESENTATION THEORIQUE RESOLUTION D'UN PROGRAMME LINEAIRE (PL) 1.3.1. Résolution graphique 1.3.2. Résolution par énumération des solutions de base L'ALGORITHME DU SIMPLEXE 1.4.1. Principe de l'algorithme 1.4.2. Le tableau simplexe 1.4.3. Organigramme de l'algorithme du simplexe 1.4.4. Exemples résolus 7 7 9 11 12 15 18 18 18 21 23 30 1.4.5. Interprétation économique de OBTENTION D'UNE BASE REALISABLE DE DEPART 1.5.1. Organigramme de la méthode M et de la méthode en deux phases 1.5.2. Exemples résolus DEGENERESCENCE – CYCLAGE 32 32 34 40 1.6.1. 40 Solution de base dégénérée 1.6.2. Dégénérescence et cyclage 1.6.3. Méthode de perturbation 1.6.4. Organigramme de la méthode de perturbation 1.6.5. Exemples résolus VARIABLES SANS RESTRICTION DE SIGNE 1.7.1. Première méthode 41 42 44 45 50 50 1.8. 1.9. 1.10. 1.7.1. Première méthode 1.7.2. Seconde méthode 1.7.3. Exemples résolus PROGRAMMES LINEAIRES A VARIABLES BORNEES 1.8.1. 1.8.2. Exemples résolus EXERCICES PROPOSES SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES Chapitre Il 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. PROGRAMMES PRIMAL ET DUAL THEOREMES ET PROPRIETES FONDAMENTALES 2.2.1. Théorèmes 2.2.2. Dualité et théorie de Lagrange RESOLUTION DU DUAL PASSAGE DU DERNIER TABLEAU SIMPLEXE DU PRIMAL AU DERNIERT ABLEAU SIMPLEXE DU DUAL 2.4.1. 2.4.2. Exemples résolus INTERPRETATION ECONOMIQUE DU DUAL 2.5.1. Analyse aux dimensions des problèmes primai et dual 2.5.2. Le programme dual vu comme le problème d'une entreprise concurrente 2.5.3. Interprétation économique des Y I à l'optimum EXERCICES PROPOSES SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES Chapitre III 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 70 70 80 80 80 83 86 86 87 88 88 90 90 93 94 100 100 100 101 102 104 104 105 105 106 107 113 114 115 117 121 126 PROGRAMMES LINEAIRES PARAMETRIQUES 130 PARAMETRISATION DE LA FONCTION ECONOMIQUE PARAMETRISATION DU SECOND MEMBRE DES CONTRAINTES REMARQUES EXEMPLES RESOLUS EXERCICES PROPOSES SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 130 132 132 133 142 144 Chapitre V 5.1. 5.2. L'ALGORITHME DUAL – SIMPLEXE INTRODUCTION 3.1.1. Exemple R.3.1 3.1.2. Exemple R.3.2. 3.1.3. Présentation intuitive de l'algorithme dual – simplexe L'ALGORITHME DUAL – SIMPLEXE 3.2.1. Conditions d'application 3.2.2. Règles de changement de base 3.2.3. Evolution et règles d'arrêt 3.2.4. Organigramme de l'algorithme dual – simplexe EXEMPLES RESOLUS METHODE DE LA CONTRAINTE ARTIFICIELLE 3.4.1. Principe de la méthode 3.4.2. Organigramme de la méthode de la contrainte artificielle 3.4.3. Exemples résolus EXERCICES PROPOSES SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES Chapitre IV 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. DUALITE EN PROGRAMMATION LINEAIRE 50 51 51 55 55 56 62 68 PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES ENTIERES PROCEDURES D'OPTIMISATION PAR COUPE 154 INTRODUCTION PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES ENTIERES 5.2.1. Définition d'un programme linéaire en variables entières (PLE) 154 156 156 5.2.2. Méthodes de résolution d'un programme linéaire en variable entières METHODE DE COUPE DE GOMORY POUR LES PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES ENTIERES 5.3.1. Principe des méthodes de coupe 5.3.2. Théorème de base de l'algorithme de Gomory 5.3.3. Principe de l'algorithme de Gomory 5.3.4. Organigramme de la méthode de Gomory EXEMPLES RESOLUS EXERCICES PROPOSES SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 157 158 158 159 161 164 165 173 175 Chapitre VI PROGRAMMES LINEAIRES EN VARIABLES 0-1 PROCEDURES D'OPTIMISATION PAR SEPARATION 176 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. INTRODUCTION PROCEDURES D'OPTIMISATION PAR SEPARATION (PS) 6.2.1. Principe fondamental des PS - Ensemble sondable de solutions 6.2.2. Etapes d'une PS. Représentation sous forme de graphe PSES POUR LES PL EN VARIABLES 0-1 6.3.1. Allure de l'arborescence 6.3.2. Hypothèses et notations 6.3.3. Organigramme de la PSES 6.3.4. Commentaire de l'organigramme EXEMPLE RESOLU EXERCICES PROPOSES SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES BIBLIOGRAPHIE 176 177 177 178 180 180 181 183 184 185 188 191 192 LISTE DES ORGANIGRAMMES ALGORIHME DU SIMPLEXE 21 METHODE M ET METHODE EN DEUX PHASES 33 METHODE DE PERTURBATION 44 ALGORITHME DUAl-SIMPLEXE 106 METHODE DE LA CONTRAINTE ARTIFICIELLE 115 METHODE DE GOMORY 164 ALGORITHME D'UNE PROCEDURE D'OPTIMISATION PAR SEPARATION 177 PROCEDURE D'OPTIMISATION PAR SEPARATION ET EVALUATION SEQUENTIELLE 183 LISTE DES PRINCIPALES ABREVIATIONS UTILISEES Pl : PlE : PLM : SBR : PS : SEP : SES : s. r. s.: TOP programme linéaire programme linéaire en variables entières programme linéaire mixte solution de base réalisable procédure d’optimisation par séparation séparation et évaluation progressiVe séparation et évaluation séquentielle sans restriction de sigle