Symétrie centrale

Maths 5e!
prgm 2006
Symétrie centrale
1. Symétrie par rapport à un point
Définition : La symétrie centrale est un demi-tour autour d’un point fixe appelé centre
de symétrie. Par la symétrie de centre O, le symétrique du point A est le point A’ appelé
image du point A, tel que O soit le milieu du segment [AA’].
Construction : pour construire le symétrique A’ de
A par rapport à O, on trace la demi-droite [AO)
et, au compas, on reporte la mesure AO à partir
de O pour obtenir A’ tel que O soit le milieu de
[AA’] : le cercle de centre O passant par A
recoupe la droite (AO) en A’ (voir figure ci-contre).
2. Propriétés de la symétrie centrale
Théorème : La symétrie centrale conserve les dimensions et les formes, c’est-à-dire les
longueurs et les angles ; de plus, deux droites symétriques sont parallèles.
Conséquences :
- la symétrie centrale conserve l’alignement, le milieu et les aires ;
- l’image d’une droite est une droite parallèle ;
- l’image d’un segment est un segment de même longueur ;
- l’image d’un cercle est un cercle de même rayon ;
- l’image d’un angle est un angle de même mesure (un angle droit reste droit) ;
- l’image d’un polygone est un polygone superposable, donc de même aire.
Exemple : Sur cette figure, par la symétrie de centre I, les images respectives de
A, B, R et M sont A’, B’, R’ et M’ :
- le triangle A’B’R’ est le symétrique
du triangle ABR ;
- les droites ( AB) et ( A’B’) sont
symétriques, donc parallèles ;
- ABR est rectangle en R, donc A’B’R’
est rectangle en R’ ;
- M est le milieu de [AB], donc M’ est
le milieu de [A’B’] ;
- [A’B’] et [AB] symétriques, donc A’B’ = AB ; de même A’M’ = AM = M’B’ = MB ;
- les cercles de diamètres [AB] et [A’B’] sont symétriques, donc ils ont même
diamètre ;
- les triangles ABR et A’B’R’ ont la même aire.
F.Bonomi!
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3. Centre de symétrie d’une figure
Définition : Une figure possède un centre de symétrie si un demi-tour autour de ce
point laisse la figure inchangée.
Exemple : L’intersection des diagonales d’un rectangle est le centre de symétrie de
ce rectangle ; de même pour un parallélogramme, un losange, un carré.
Pour chacune de ces figures, si on effectue un demi-tour autour du point marqué
d’une croix, la figure est inchangée : ces quatre figures ont un centre de symétrie.
Remarque : Ne pas confondre centre de symétrie et axe de symétrie.
- Une figure peut avoir un centre de symétrie et aucun axe de symétrie (cas des
deux figures de droite ci-dessus) ;
- Une figure peut avoir un centre de symétrie et un ou plusieurs axe(s) de
symétrie (cas du rectangle avec 2 axes et du carré avec 4 axes et un centre pour
les deux figures de gauche ci-dessus) ;
- Une figure peut avoir un ou plusieurs axes de symétrie et aucun centre de
symétrie (cas du triangle isocèle avec 1 axe ou du triangle équilatéral avec 3 axes,
mais pas de centre car aucun triangle ne possède de centre de symétrie).
4. Figures à centre de symétrie
Le milieu d’un segment est son centre de symétrie (il a 2 axes de symétrie : sa
médiatrice et la droite à laquelle il appartient).
Tout point d’une droite est un centre de symétrie de cette droite : une droite
possède donc une infinité de centres de symétrie (elle a une infinité d’axes de
symétrie : la droite elle-même et toute perpendiculaire).
Deux droites sécantes forment une figure symétrique par rapport à leur point
d’intersection (il y a 2 axes de symétrie : les bissectrices des angles ainsi formés).
Une droite sécante à deux parallèles forment une figure symétrique par rapport au
milieu des deux intersections : construire la figure et son centre de symétrie.
Deux droites parallèles sécantes à deux autres parallèles constituent une figure
symétrique par rapport à l’intersection des diagonales du quadrilatère formé par
ces quatre droites (ce quadrilatère est un parallélogramme) : construire la figure
et son centre de symétrie.
F.Bonomi!
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