T+-+~=o

Ähnlich haben die Punkte P der Quadrik TIy2: z =•§%j(x+iy)2 = xy (22)
Bahnschmiegebenen a, welche die isotrope Enneper-Fläche n*j2:
z =
2$(x + iy)% (23) umhüllen. Damit ist auch eine einfache Konstruktion
dieser interessanten Enneper-Fläche des isotropen Raumes gewonnen, die der
Konstruktion von Darboux für die euklidische Enneper-Fläche mittels kon-
fokaler Parabeln ebenbürtig ist.
KARLSRUHE, HERTZSTRASZE 16.
UNE CUBIQUE REMARQUABLE
J. H. TUMMERS
Les théorèmes suivants ne sont — à ma connaissance — pas connus.
THéORèME 1. Etant donné le triangle ABC, soit y une conique, tangente
aux côtés BC, CA, AB du triangle, et soit / le point d'intersection des bissec-
trices intérieures du triangle ABC, les points de contact des tangentes, menées de
7 à la conique y sont des points conjugués dans une transformation d' inversion
isogonale par rapport au triangle ABC.
Soit la droite tangente à la conique y.
THéORèME 2. Quand la conique y parcourt le faisceau tangentiel (a, b, c, l)
les points de contact L^, L2(= points inverses) des tangentes, menées du point I
aux coniques du faisceau tangentiel, parcourent une cubique, passant aux
points A, B, C du triangle et aux points A0, B0, C0, qui sont les points de ren-
contre de la droite l avec les côtés BC, CA, AB:
En outre le point / est un point double de la cubique. Cette cubique est
invariante par rapport à la transformation d'inversion isogonale.
Si la droite l a l'équation lx-\-my-\-nz = 0, la cubique — en utilisant des
coordonnées normales et le triangle ABC pour triangle fondamental — aura
l'équation:
| my + nz (m + n)y (m + n)z I
(l + n)x Ix + nz (l + n)z = 0
(l + m)% (l + w)y Ix + my
Remarque'. 1°. Les tangentes à la cubique aux sommets A, B, C du triangle
forment avec les droites A A
0,
BB0, CC0 des couples de droites isogonales.
Ces tangentes en A, B, C coupent les côtés BC, CA, AB en trois points, situés
sur la droite, ayant l'équation:
x y z
T+-+~=o
l m n
2°. Cas special: Au heu de la droite Z nous prenons la droite V, qui coupe
260

les côtés du triangle en Alf Bv Cx de sorte que les angles AIAX — BIBX — CICX
sont droits, en quel cas les points de contact Lx, L2 (= points inverses) sont
vus du point I sous un angle droit.
La droite V a pour équation: (s-—a)x-\- (s — b)y -\- (s — c)z = 0 où
a ~\- b + c
s = • ; a = BC etc.
2
En ce cas nous pouvons ajouter le théorème suivant.
THéORèME 3. Quand la conique y parcourt le faisceau tangentiel (a, b, c,V),
la droite LXL2 enveloppe une conique, tangente aux bissectrices extérieures
du triangle ABC, et aux droites AAlf BBV CCX, et dont le centre coincide
avec le centre du cercle circonscrit.
STEYL (HOLLANDE).
HYPEROSGULATING CIRCLES AT A SURFACE AT ONE POINT,
AND RELATED QUESTIONS
GIUSEPPE VACCARO
I prove the following result: Let P be a simple (ordinary) point of a surface
in a Euclidean S3: there a.re 10 curves through P, having at P an osculating
circle with Uh order contact.
The above theorem is obtained in two different ways, that may easily be
related, and give origin to two kinds of research. The preceeding problem, in
fact, may be reduced to each one of the following questions:
a. to find the number of the tangents with 4-point contact at a surface F
of S3, whose contact point belong to a line of F, simple for F, and having two
(n-l)-unle points for the surface.
b. to find the number of the planes through a non-parabolic point P of
a surface 0 of S4, which have, at P, a contact of the 4th order with 0.
4, VIA A. CARONCINI, ROME (ITALY).
SULLA CARATTERISTICA DEI COMPLESSI SIMPLICIALI
n-DIMENSIONALI x-OMOGENEI
MICHELANGELO VACCARO
La caratteristica di un complesso simpliciale «-dimensionale Cn ammette,
w
oltre l'espressione classica 2^ (—1)V, altre espressioni, sempre combinazioni
o
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