La moyenne arithmético-géométrique

La moyenne arithmético-géométrique : applications et
généralisations.
John Boxall
[email protected]
Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, UFR Sciences,
Université de Caen Basse-Normandie, France.
le 2 avril 2008
John Boxall (LMNO) L’AGM : applications et généralisations. le 2 avril 2008 1 / 320
Résumé.
Résumé.
Cette version est la dernière qui sera affichée avant l’examen. Je ferai
quelques autres modifications et corrections après l’examen avant que le
texte devient complètement définitif.
Voir aussi à http ://math.unicaen.fr/master/Prog0708.html
Rappel : Examen le mercredi 9 avril de 14h à 17h en salle S3 122.
Oraux le jeudi 10 avril à partir de 10h30.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle.
La moyenne arithmético-géométrique réelle.
On note a,bdeux réels strictement positifs.
Leur moyenne arithmético-géométrique (abrégée AGM pour arithmetic-
geometric mean en anglais), notée M(a,b)est, par définition, la limite
commune des deux suites (an)et (bn)définies par
an+1=an+bn
2,bn+1=panbn,
avec les valeurs initiales a0=a,b0=b.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. Propriétés de base.
Propriétés de base.
Vérifions d’abord l’existence de M(a,b). Par symétrie, on peut supposer
que 0 <b≤a. Alors
0<b≤bn≤bn+1≤an+1≤an≤a
pour tout net donc (an)n∈Net (bn)n∈Nconvergent vers des limites `et
mvérifiant m≤`. Enfin (an+bn)/2→(`+m)/2 d’où `=lim(an+1) =
(`+m)/2 et `=m.
On a (toujours sous la condition 0 <b≤a) :
0≤an+1−bn+1=1
2
(an−bn)2
(√an+√bn)2≤1
8b(an−bn)2,
d’où la convergence quadratique vers M(a,b)(voir la fiche 20).
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. Propriétés de base.
Pour tout (a,b)∈(R×
+)2,ona:
M(a,a) = a,
M(a,b) = M(b,a),
M(ac,bc) = cM(a,b),c>0,
M(a,b) = Ma+b
2,√ab.
On pose M(x) = M(1,x)pour tout x>0. On a alors M(1/x) =
M(x)/x.
Proposition. La fonction x7→ M(x)est de classe C(∞)et strictement
croissante sur R×
+. Elle tend vers +∞lorsque x→+∞et vers 0 lorsque
x→0+.
Pour la démonstration, voir l’exercice de la fiche 8.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
La formule de Gauss.
Théorème. Pour tout a>0, b>0, on a :
1
M(a,b)=2 πZπ/2
0
dθ
pa2cos2θ+b2sin2θ
=1
πZ+∞
−∞
dt
p(a2+t2)(b2+t2).
Démonstration. L’égalité des deux intégrales se démontre par le chan-
gement de variable t=btan θ. Désignons la seconde intégrale par T(a,b)
et notons A= (a+b)/2, B=√ab les deux itérés AGM de a,b.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
Dans l’intégrale
Tr1,r2(A,B) = Zr2
−r1
du
p(A2+u2)(B2+u2)
on effectue le changement de variable u=1
2(t−ab/t), où t>0. Alors u
est une fonction strictement croissante de t, de dérivée t7→ 1+ab/t2. On
trouve que
Tr1,r2(A,B) = 2ZR
dt
p(a2+t2)(b2+t2),
où ,R>0 et r1=1
2(−ab/),r2=1 2(R−ab/R). En faisant tendre
→0+et R→+∞, on conclut que
T(A,B) = T(a,b).
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
Par conséquent, T(an,bn)est indépendant de n. En posant m=
M(a,b), on trouve ainsi par un argument de continuité que :
T(a,b) = T(m,m) = Z+∞
−∞
dt
m2+t2=h1
marctan t mi+∞
−∞ =π
m.
Exercice. Vérifier en détail l’ensemble des propriétés de M(a,b)men-
tionnées dans les fiches 4 à 8. (Le fait que M(x)soit de classe C(∞)se
démontre en dérivant sous le signe somme dans la formule de Gauss. De
même, on voit que −M0(x)/M(x)2<0 pour tout x>0 d’où M0(x)>0 et
la croissance stricte de M.)
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
Exercice. Montrer que M(√1−x2) = M(1+x,1−x)pour tout x∈
]0,1[et que
M(x) = 1+x
2M2√x 1+x
pour tout x>0.
Exercice. Montrer que les fonctions x7→ 1/M(x)(x>0) et x7→
1/M(√1−x2)(x∈]0,1[) sont solutions de l’équation différentielle linéaire
(x3−x)f00(x)+(3x2−1)f0(x) + xf (x) = 0.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
Exercice. Soient a,b,ctrois réels vérifiant 0 <c≤b≤a.
(i)On pose A= (a+b+c)/3, B= (√ab+√ac +√bc)/3, C=3
√abc.
Montrer que 0 <C≤B≤A.
(ii)On définit trois suites (an),(bn),(cn)par a0=a,b0=b,c0=c
et par
an+1=an+bn+cn
3,bn+1=√anbn+√ancn+√bncn 3,cn+1=3
panbncn
pour tout n≥0. Montrer que (an)est décroissante et que (cn)est crois-
sante, puis que les suites (an),(bn)et (cn)convergent vers une limite
commune.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
Intégrales elliptiques.
L’intégrale T(a,b)est un exemple d’une intégrale elliptique, c’est-à-
dire d’une intégrale qui fait intervenir les primitives de fonctions rationnelles
en pP(x),Pétant un polynôme de degré trois ou quatre sans racine double.
Puisque la suite AGM converge quadratiquement, elle fournit un moyen de
calcul numérique rapide de certaines intégrales elliptiques.
En réalité, R+∞
−∞
dt
√(a2+t2)(b2+t2)est une période de la courbe de genre
un y2=x4+ (a2+b2)x2+a2b2qui est isomorphe à la courbe elliptique
y2=x(x−(a+b)2)(x−(a−b)2). Des explications détaillées seront données
plus tard.
La convergence quadratique a l’avantage de permettre le calcul de
leurs valeurs numériques très rapidement lorsque une très haute précision
est demandée, ce qui a des applications, par exemple, en cryptographie.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
Voici un très joli résultat qui est une application de la théorie des
intégrales elliptiques et qui date des années 1970.
Théorème (Brent, Salamin).
Soit (an,bn)la suite AGM avec termes initiaux a0=1, b0=1/√2.
Pour tout n≥0, on pose cn=pa2
n−b2 n. Alors :
π=lim
n→+∞
2a2
n+1
1−Pn
k=02kc2
k
,
la convergence étant quadratique.
La démonstration fera intervenir d’autres intégrales elliptiques, que
nous allons maintenant brièvement mentionner. Mais elle sera achevée plus
tard, à l’issue d’une étude plus générale des intégrales et fonctions elliptiques
(voir à partir de la fiche 222).
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
On suppose toujours que a>0 et que b>0. On pose
S(a,b) = 2Zπ/2
0pa2cos2θ+b2sin2θdθ
=b2Z+∞
−∞ sa2+t2
(b2+t2)3dt,
où l’égalité des deux intégrales se démontre encore par le changement de
variable t=btan θ.
La première formule montre que S(a,b) = S(b,a).
On a S(a,a) = πa, et S(ac,bc) = cS(a,b)lorsque c>0.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
Proposition. Soit A= (a+b)/2, B=√ab les itérés AGM de aet de
b. Alors
(i)T(A,B) = T(a,b),
(ii)2S(A,B) = S(a,b) + abT (a,b).
Démonstration. Comme déjà indiqué, le (i)peut être démontré à l’aide
de la substitution u=1
2(t−ab/t). Un argument semblable utilisant l’inté-
grale
S(A,B) = B2Z+∞
−∞ sA2+u2
(B2+u2)3du
donne
S(A,B) = 2ab Z+∞
0p(a2+t2)(b2+t2)
(ab +t2)2dt.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
Posons f(t) = (a2+t2)(b2+t2)afin d’alléger la notation. Alors
2S(A,B)−S(a,b)−abT (a,b)
=Z+∞
−∞ 2abpf(t)
(ab +t2)2−b2sa2+t2 (b2+t2)3−ab
pf(t)dt
=Z+∞
−∞ 2ab f (t)
(ab +t2)2−b2a2+t2 b2+t2−abdt
pf(t),
et il s’agit de montrer que cette intégrale s’annule.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
Or, si on pose
φ(t) = t
ab +t2−t b2+t2pf(t),
alors limt→±∞ φ(t) = 0 et un calcul montre que
φ0(t) = 2ab f (t)
(ab +t2)2−b2a2+t2 b2+t2−ab1
pf(t)
Par conséquent,
Z+∞
−∞ 2ab f (t)
(ab +t2)2−b2a2+t2 b2+t2−abdt
pf(t)=hφ(t)it=+∞
t=−∞ =0.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
Corollaire. Pour tout a,btels que 0 <b≤a,ona:
S(a,b) = a2−∞
X
k=0
2k−1c2
kT(a,b),
où c2
n=a2 n−b2 n,n=0, 1, 2, . . .
Démonstration. On sait que
2S(ak+1,bk+1) = S(ak,bk) + akbkT(ak,bk) = S(ak,bk) + akbkT(a,b),
et donc, si on pose ∆k=2ka2
kT(a,b)−S(ak,bk), alors
∆k+1−∆k=2k+1a2
k+1−2ka2 k−2kakbkT(a,b)
=2k2ak+bk
22−a2
k−akbkT(a,b) = −2k−1c2 kT(a,b).
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
En prenant la somme de k=0 jusqu’à n:
∆n+1= ∆0−n
X
k=0
2k−1c2
kT(a,b)
=−S(a,b) + a2−
n
X
k=0
2k−1c2
kT(a,b).
Enfin, puisque T(a,b) = T(an,bn),ona:
∆n+1=2n+2Zπ/2
0
(a2
n+1−b2 n+1)sin2θ
qan+1cos2θ+bn+1sin2θ
dθ
=2n+2c2
n+1Zπ/2
0
sin2θdθ
qan+1cos2θ+bn+1sin2θ
.
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La moyenne arithmético-géométrique réelle. La formule de Gauss.
Ici, comme sin2θ∈[0,1], l’intégrale est majorée par 1
2T(an+1,bn+1) =
1
2T(a,b).
En outre, cn+1=qa2
n+1−b2 n+1=1
2(an−bn): on en tire que c2
n
converge quadratiquement vers 0 et donc que 2nc2
n→0.
Par conséquent, ∆n→0, ce qui démontre le corollaire.
Remarque. La démonstration montre que ∆n→0 quadratiquement,
et donc que a2−Pn
k=02k−1c2
kT(a,b)converge quadratiquement vers
S(a,b). Puisque l’AGM converge quadratiquement, le théorème de Gauss
implique qu’on peut calculer T(a,b)et S(a,b)à l’aide de suites convergeant
quadratiquement.
Exercice. Montrer que le théorème de Brent-Salamin est équivalent à
la formule
T(a,b)2S(a,b)−T(a,b)=4π,
où a=1+1
2√2, b=1−1 2√2. Cet exercice sera utilisé dans la démonstration
du théorème de Brent-Salamin. On remarquera que a1=1 et b1=1/√2.
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Convergence quadratique.
Convergence quadratique.
Soit (xn)n∈Nune suite à valeurs dans un espace vectoriel normé Eet
soit x∈E. On dit que (xn)n∈Nconverge (au moins) quadratiquement vers
xs’il existe α∈]0,1[et M>0 telles que ||x−xn|| ≤ Mα2npour tout n
assez grand.
Cette terminologie est entrée dans les habitudes, mais elle me semble
mal choisie. Il me paraît plus normal de parler de convergence exponentielle
(en base 2) et d’utiliser le terme convergence quadratique pour les suites
(xn)vérifiant ||x−xn|| ≤ Mαn2pour tout nassez grand.
Il est clair que toute suite convergente possède une suite extraite qui
converge quadratiquement. La notion n’est donc intéressante que pour cer-
taines suites particulières, par exemple celles qui sont définies par récurrence.
John Boxall (LMNO) L’AGM : applications et généralisations. le 2 avril 2008 20 / 320