LA LOI DE HARDY-WEINBERG 1. Cas particulier 2. Généralisation
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LA LOI DE HARDY-WEINBERG Accompagnement personnalisé Terminale S Dans les cas simples, un gène peut prendre deux formes ou allèles A ou a. Chaque gène se trouve en deux exemplaires, un individu peut donc présenter l’un des trois génotypes suivants : AA, Aa, aa. On considère une population dont les proportions respectives de ces génotypes sont p0, q0 et r0 (avec p0 + q0 + r0 = 1). Un enfant lors de sa naissance hérite d’un gène de chacun de ses parents, chacun d’eux étant choisi au hasard. Ainsi, si le père est du type AA et la mère du type Aa alors les enfants peuvent être du type AA ou Aa. On étudie l’évolution des proportions des différents génotypes dans la population à chaque génération. 1. Cas particulier On considère une population dont les proportions des génotypes sont données par le tableau suivant : AA Aa aa p0 = 0,4 q0 = 0,3 r0 = 0,3 1) Si on considère que les couples se forment au hasard quant aux 3 génotypes considérés, calculer la probabilité pour qu’un enfant ait : a) Deux parents de type AA b) Un parent de type AA et un parent de type Aa c) Deux parents de type Aa. 2) Quelle est la probabilité pour que l’enfant soit de type AA sachant que : a) les deux parents sont de type AA ? b) un des deux parents est de type AA et l’autre du type Aa ? c) les deux parents sont de type Aa ? 3) a) Calculer la probabilité p1 pour que l’enfant soit de type AA. b) Calculer de même la probabilité r1 pour que l’enfant soit de type aa. c) En déduire la probabilité q1 pour que l’enfant soit de type Aa. 4) Calculer de même les probabilités p2 , q2 et r2 pour qu’un enfant de seconde génération soit de type AA, Aa et aa. Que remarque-t-on ? 2. Généralisation 2 1 1) a) Montrer que la probabilité pour qu’enfant soit de type AA est p1 = p0 + q0 . 2 b) Sans calcul, donner une expression de r1 . 2) Soit α = p0 − r0 . a) Montrer que p1 = C. Lainé (1 + α )2 . 4 1 b) En déduire les expressions de r1 , puis de q1 , en fonction de α . c) Que peut-on dire de p1 − r1 ? 3) Donner les expressions de p2 , q2 et r2 en fonction de α . 4) a) Calculer q12 q2 , puis 2 . p1r1 p2 r2 b) On a étudié les génotypes de 100 enfants choisis au hasard parmi les enfants de la première génération puis les génotypes de 100 enfants choisis au hasard parmi les enfants de la seconde génération. Les fréquences d’enfants de type AA, Aa, aa étant respectivement ( pˆ 1 , qˆ1 , rˆ1 ) et ( pˆ 2 , qˆ 2 , rˆ2 ) on remarque que : 2 2 qˆ1 qˆ ≈ 3,91 et que 2 ≈ 3,95 . Qu’en pensez-vous ? pˆ 1 rˆ1 pˆ 2 rˆ2 Aide : charger la figure individu.g2w, réalisée avec le logiciel GeoplanW. Vous pouvez l’obtenir avec le QR Code ci-contre : Commandes pour utiliser le fichier : Touche P : pilotage au clavier de p. Touche Q : pilotage au clavier de q. Touche N : pilotage au clavier de N. Touche Z : remise à Zéro des paramètres. Touche S : lance les N Simulations. Conclusion : Ce modèle a été mis en évidence de façon indépendante au début du XXe siècle par Hardy, mathématicien et Weinberg, médecin. Cet équilibre des probabilités dès la première génération suppose réalisées les conditions suivantes : les proportions des génotypes sont les mêmes chez les hommes et les femmes, la population est panmictique (les couples se forment au hasard au sens des gènes et leurs gamètes se rencontrent au hasard), il ne doit avoir ni sélection, ni mutation ni migration et enfin il ne doit pas avoir non plus de croisement entre générations successives. Godfrey Harold Hardy Wilhelm Weinberg (Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Godfrey_Harold_Hardy ) (Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Weinberg ) C. Lainé 2 C. Lainé 3
