LA LOI DE HARDY-WEINBERG 1. Cas particulier 2. Généralisation

C. Lainé
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LA LOI DE HARDY-WEINBERG
Accompagnement personnalisé Terminale S
Dans les cas simples, un gène peut prendre deux formes ou allèles A ou a. Chaque gène se
trouve en deux exemplaires, un individu peut donc présenter l’un des trois génotypes
suivants : AA, Aa, aa.
On considère une population dont les proportions respectives de ces génotypes sont p
0
, q
0
et r
0
(avec
0 0 0
1
+ + =
p q r
).
Un enfant lors de sa naissance hérite d’un gène de chacun de ses parents, chacun d’eux
étant choisi au hasard. Ainsi, si le père est du type AA et la mère du type Aa alors les
enfants peuvent être du type AA ou Aa.
On étudie l’évolution des proportions des différents génotypes dans la population à chaque
génération.
1. Cas particulier
On considère une population dont les proportions des génotypes sont données par le
tableau suivant :
AA
Aa
aa
0
0,4
=
p
0
0,3
=
q
0
0,3
=
r
1) Si on considère que les couples se forment au hasard quant aux 3 génotypes considérés,
calculer la probabilité pour qu’un enfant ait :
a) Deux parents de type AA
b) Un parent de type AA et un parent de type Aa
c) Deux parents de type Aa.
2) Quelle est la probabilité pour que l’enfant soit de type AA sachant que :
a) les deux parents sont de type AA ?
b) un des deux parents est de type AA et l’autre du type Aa ?
c) les deux parents sont de type Aa ?
3) a) Calculer la probabilité
1
p
pour que l’enfant soit de type AA.
b) Calculer de même la probabilité
1
r
pour que l’enfant soit de type aa.
c) En déduire la probabilité
1
q
pour que l’enfant soit de type Aa.
4) Calculer de même les probabilités
2 2 2
, et
p q r
pour qu’un enfant de seconde génération
soit de type AA, Aa et aa. Que remarque-t-on ?
2. Généralisation
1) a) Montrer que la probabilité pour qu’enfant soit de type AA est
2
1 0 0
1
2
= +
p p q
.
b) Sans calcul, donner une expression de
1
r
.
2) Soit
0 0
α
= −
p r
.
a) Montrer que
2
1
(1 )
4
α
+
= p .

C. Lainé
2
b) En déduire les expressions de
1
r, puis de
1
q
, en fonction de
α
.
c) Que peut-on dire de
1 1
− p r
?
3) Donner les expressions de
2 2 2
, et p q r
en fonction de
α
.
4) a) Calculer
2
1
1 1
q
p r
, puis
2
2
2 2
q
p r
.
b) On a étudié les génotypes de 100 enfants choisis au hasard parmi les enfants de la
première génération puis les génotypes de 100 enfants choisis au hasard parmi les
enfants de la seconde génération. Les fréquences d’enfants de type AA, Aa, aa étant
respectivement )
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
(
111
rqp et )
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
(
222
rqp on remarque que :
91,3
ˆˆ
ˆ
11
2
1
≈
rp
q
et que
95,3
ˆˆ
ˆ
22
2
2
≈
rp
q
. Qu’en pensez-vous ?
Aide : charger la figure individu.g2w,
réalisée avec le logiciel GeoplanW. Vous
pouvez l’obtenir avec le QR Code ci-contre :
Commandes pour utiliser le fichier
:
Touche P : pilotage au clavier de p.
Touche Q : pilotage au clavier de q.
Touche N : pilotage au clavier de N.
Touche Z : remise à Zéro des paramètres.
Touche S : lance les N Simulations.
Conclusion : Ce modèle a été mis en évidence de façon indépendante au début du
XXe siècle par Hardy, mathématicien et Weinberg, médecin. Cet équilibre des
probabilités dès la première génération suppose réalisées les conditions suivantes : les
proportions des génotypes sont les mêmes chez les hommes et les femmes, la population
est panmictique (les couples se forment au hasard au sens des gènes et leurs gamètes se
rencontrent au hasard), il ne doit avoir ni sélection, ni mutation ni migration et enfin il
ne doit pas avoir non plus de croisement entre générations successives.
Godfrey Harold Hardy
(Source :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Godfrey_Harold_Hardy )
Wilhelm Weinberg
(Source :
http://en.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Weinberg )

C. Lainé
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