Leçon 13 : Nombres premiers, existence et unicité de la

Leçon 13 : Nombres premiers, existence et unicité de la
décomposition d’un entier en produit de facteurs pre-
miers. Infinitude de l’ensemble des nombres premiers.
Exemples d’algorithmes de recherche de nombres pre-
miers.
Pré-requis :
−Notion de division euclidienne dans Z.
−PGCD et PPCM de deux entiers.
−Notions de diviseur, multiple, ensemble de diviseurs.
−Nombres premiers entre eux, Théorème de Gauβ.
Cadre : Dans toute la suite, un entier naturel premier sera appelé « nombre premier ». On notera P
l’ensemble des nombres premiers. On notera D(n)l’ensemble des diviseurs de n. Par abus de langage,
l’expression « nentier » signifiera « nentier naturel ».
1 Généralités
Définition 1. Un entier n≥2est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1et lui-même, i.e.
si D(n) = {1, n}.
Exemple.
−2est premier. C’est par ailleurs le seul entier pair premier.
−3,5,7sont premiers.
Lemme 2. Tout entier a≥2admet un diviseur premier.
Preuve. Soit aun entier supérieur à 2. Deux cas se présentent :
•Si aest premier, alors aadmet lui-même comme diviseur.
•Si an’est pas premier, apossède un diviseur strictement compris entre 1et a. On note a1,, anles
diviseurs de aque l’on range par ordre croissant, on a alors D(a) = {1, a1, , an, a}. On a a1pre-
mier.
En effet, si a1n’était pas premier, il existerait un diviseur dde a1compris strictement entre 1et
a1, et on aurait d|a1et a1|a, donc d|ace qui est absurde (car d1et a1est le plus petit diviseur
de astrictement plus grand que 1.).
1

Proposition 3. Tout nombre premier pest premier avec tout entier nqu’il ne divise pas.
Preuve. On a D(p) = {1, p}. Si p∤n, alors pD(n)et ainsi D(p)∩D(n) = {1}.
Corollaire 4. Deux nombres premiers distincts pet qsont premiers entre eux.
Preuve.
PGCD(p, q)|pPGCD(p, q)∈D(p) = {1, p}car pest premier.
PGCD(p, q)|qPGCD(p, q)∈D(q) = {1, q}car qest premier.
Ainsi PGCD(p, q)∈D(p)∩D(q) = {1}, et on a donc PGCD(p, q) = 1.
Proposition 5. Soit pun nombre premier, et soit aet bdeux entiers. Alors p|abp|aou p|b.
Preuve. Si pne divise pas a, par la proposition 3., il est premier avec a, donc si p|ab, on a forcément
p|b, par le théorème de Gauβ.
Corollaire 6. Si un nombre premier divise un produit de facteurs premiers, alors il est égal à l’un d’entre
eux.
Preuve. Cela découle de la proposition 5. et du corollaire 4..
Proposition 7. Un entier n≥2est premier si, et seulement s’il n’admet pas de diviseur d01vérifiant
d0> n
√.
Preuve.
Montrons l’implication directe par contraposée : Si nadmet un diviseur d0>1tel que d0
2≤n, alors on
a1< d0< n et nn’est pas premier. Réciproquement, tout entier n≥2non premier admet un diviseur pre-
mier d0différent de 1et lui-même. D’où n=d0×Qavec Q∈Net d0≤Q. Ainsi
d0×Q≥d0
2n≥d0
2d0≤n
√
Exemple. Le crible d’Eratosthène1:
2Section 1

Principe : Pour trouver tous les nombres premiers entre 2et n, on écrit et répertorie tous les entiers
entre 2et ndans un tableau. Ensuite, on procède comme suit :
−On barre tous les entiers pairs (car ils admettent 2comme diviseur) sauf 2.
−On barre ensuite tous les multiples de 3sauf 3.
−Le premier entier non barré n’est multiple ni de 2, ni de 3. Il est donc premier et il s’agit de 5. On
barre donc tous les multiples de 5sauf 5.
−L’entier suivant non barré n’est multiple ni de 2, ni de 3, ni de 5. Il est donc premier et il s’agit de
7. On barre donc tous les multiples de 7sauf 7.
−On itère le procédé de la même manière en barrant tous les multiples des nombres premiers sui-
vants 7 sauf eux-mêmes.
−On s’arrête lorsqu’on a barré tous les multiples des nombres premiers pvérifiant p≤n
√.
Le tableau suivant donne les liste des nombres premiers entre 2et 100 :
2 3 45678910
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Tableau 1. Un exemple du crible d’ératosthène (n=100)
Théorème 8. Pest infini.
Preuve. Supposons que card(P) = k, i.e. P={p1,, pk}. Considérons l’entier n=p1pk+ 1. Aucun
des nombres premiers de Pne divise n(car le reste de la division euclidienne de npar un quelconque élé-
ment de Pvaut 1), et comme 2est un nombre premier, 2est un élément de Pdonc il existe i∈ {1, , k}
tel que pi= 2 et n= 2p1pi−1pi+1 pk+ 1 >2, donc, par le lemme 2., nadmet un diviseur premier q,
impliquant q∈P, ce qui est absurde.
2 Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
1. On reviendra sur le crible, notamment avec une programmation possible à la calculatrice, dans les annexes.
Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers 3

Théorème 9. Tout entier n>2se décompose de manière unique sous la forme
n=Y
i=1
k
pi
αi(1)
où les pisont des nombres premiers tels que p1< p2<< pket où les (αi)i∈{1,,k }sont des entiers
non nuls.
L’écriture (1) définit ce que l’on appelle la décomposition de nen produit de facteurs premiers2.
Preuve.
•Existence :
On montre par récurrence que tout entier n≥2admet une décomposition en produit de fac-
teurs premiers.
Si n= 2,2est premier et il est son seul facteur premier.
On pose P(n)la propriété : « Tout entier ktel que 2≤k≤nadmet une décomposition en pro-
duit de facteurs premiers. »
Pour l’entier n+ 1, deux cas se présentent :
−Si n+ 1 est premier, il est son seul facteur premier et se décompose donc en produit de fac-
teurs premiers.
−Si n+ 1 n’est pas premier, d’après le lemme 2., il admet un diviseur premier q, ainsi n+ 1 =
qlavec l < n + 1 donc l≤net on applique P(n)àl. Donc n+ 1 admet une décomposition en
produit de facteurs premiers.
D’où, pour tout n∈N,nadmet une décomposition en produit de facteurs premiers.
•Unicité :
−Si nest premier, il est son seul et unique facteur premier, donc admet une unique décompo-
sition en produit de facteurs premiers.
−Si nn’est pas premier, alors il existe p1,, pl0avec p1<< pl0,q1,, ql1avec q1<< ql1
des nombres premiers distincts et α1,, αl0, β1,, βl1des entiers non nuls tels que
p1
α1pl0
αl0=n+ 1 = q1
β1ql1
βl1
Supposons que l0< l1. On a p1|q1
β1ql1
βl1, donc il existe i∈ {1,, l1}tel que p1|qi, impli-
quant que p1=qi(par le corollaire 7.) et l’ordre des termes n’intervenant pas, on peut sup-
poser p1=q1, et ainsi, on a,
p1
α1−1pl0
αl0=q1
β1−1ql1
βl1
En raisonnant ainsi, de proche en proche, on obtient que
p1=q1,, pl0=ql0
et ainsi
p1
β1−α1pl0
βl0−αl0×ql0+1
βl0+1 ql1
βl1= 1
impliquant que βi= 0 pour i∈Jl0+ 1, l1Ket que βi−αi= 0 pour i∈J1, l0K. D’où on a
l1=l0
et
αi=βi
pour i∈J1, l0K
On a donc montré que cette décomposition est unique pour tout entier n≥2.
2. Ce théorème est en fait le fait caché que Zest un anneau factoriel. Ce caractère de l’anneau Zsera abordé dans les
annexes.
4Section 2

Une application de ce théorème est le calcul du PGCD et du PPCM de deux entiers.3En effet,
lorsqu’on connait la décomposition de deux entiers net men produits de facteurs premiers, on peut écrire
n=Y
i=1
k
pi
αiet m=Y
j=1
k
pj
βj
où on a p1<< pkdes nombres premiers et α1, , ak, β1, , βkdes entiers non nuls. La condition
n|méquivaut à dire que ∀i∈ {1, , k},αi≤βi. En effet, n|mveut dire qu’il existe c∈Ntel que m=nc.
Notons c=p1
γ1pk
γkla décomposition de c. La décomposition de men produit de facteurs premiers étant
unique, il en résulte que pour tout i∈ {1,, k},βi=αi+γi. Ainsi, d=p1
ν1pk
νkdivise à la fois net msi,
et seulement si les puissances dide dvérifient di≤αiet di≤βi. Donc, dans tous les cas, pour tout i∈
{1,, k},di≤min (αi, βi), donc ddivise p1
min(α1, β1)pk
min(αk, βk)=δ=PGCD(n, m). Un raisonnement
analogue nous donne PPCM(n, m) = µ=p1
max(α1,β1)pk
max(αk,βk). Pour récapituler, on a les formules sui-
vantes :
PGCD(n, m) = Y
i=1
k
pi
min(αi,βi)et PPCM(n, m) = Y
i=1
k
pi
max(αi, βi)
Exemple : On calcule le PGCD et le PPCM de n= 6 et m=512 :
n= 2 ×3et m= 29ainsi PGCD(n, m) = 2 et PPCM(n, m) = 29×3 = 1536
3 Divers résultats utilisant les nombres premiers
Théorème 10. (Petit théorème de Fermat)
Soit pun nombre premier et aun entier non nul. Alors ap≡amod(p)
Preuve. Considérons deux cas :
- Si aest un multiple de p, le résultat se déduit immédiatement du fait que ap−a=kp, avec k
entier.
- Si an’est pas un multiple de p, les restes possibles de la division euclidienne de apar psont les
éléments de l’ensemble Rp(a){1,2, , (p−1)}. Considérons alors la liste Rp
′(a){a, 2a, , (p−1)a}.
Tous ces nombres sont distincts, et non nuls modulo p. En effet, un élément de cette liste est de la forme
ka,k∈J1, p −1K, et on a les conséquences suivantes :
•kan’est pas divisible par p, car, pétant premier, il est premier avec tous les nombres qui lui sont
strictement inférieurs, donc il est premier avec k, et si pdivisait ka, par le lemme de Gauβ,pdivi-
serait a, ce qui est absurde.
•Si ket k′(k, k′∈J1, p −1K) sont distincts modulo p(i.e. k−k′0mod(p)), alors kaet k′ale sont
aussi modulo p. En effet, supposons le contraire, i.e. ka≡k′amod(p), alors a(k−k′)≡0mod(p), ce
qui est impossible par hypothèse (car a0mod(p)et k−k′0mod(p)).
3. On reviendra sur ce résultat avec un résultat fort sympathique présentable à la calculatrice dans les annexes.
Divers résultats utilisant les nombres premiers 5