Cercle - arcs et angles (exercices )

Cercle - arcs et angles (exercices )
1ère série d’exercices :
Exercice 1 :
On pose: AB = d cm
x est un réel de l’intervalle ] 0 ; d [ ; C est un point du segment [ AB] tel que: AC = x cm.
1. Exprimer la longueur du demi-cercle de diamètre [ AB] en fonction de d
2. Exprimer en fonction de x et de d, la longueur des demi-cercles de diamètres [AC ] et
[CB]
3. Démontrer que: La longueur du demi-cercle de diamètre [ AB] est égale à la somme des
longueurs des demi-cercles de diamètres [AC ] et [CB].
Exercice 2 :
Une ficelle fait exactement le tour d’un cercle de rayon r
On allonge la ficelle de 1 m , elle fait alors le tour d’un cercle de rayon (r + x)
Déterminer x . Remarque ?
Exercice 3 :
Convertir en radians les angles dont on donne les amplitudes :
degrés radians
30°
45°
60°
90°
120°
135°
180°
Exercice 4 :
Compléter le tableau:
Mesure en degré:
Mesure en radian:
x
55
y
Exercice 5 :
Si l’on augmente de 3 cm, le rayon d’un disque, alors son aire augmente de 45π cm2 .
Mettre le problème en équation, pour déterminer le rayon initial de ce disque.
1
18
1
Exercice 6 :
1. C désigne le cercle de centre O et de rayon r, D le disque de centre O et de rayon r.
Compléter le tableau:
rayon: r (cm.)
Périmètre de C (cm)
Aire de D (cm2)
1
2
3
x (x ≥ 0)
2x
3x
2. Compléter les phrases: Si l’on multiplie le rayon d’un cercle par k
alors son périmètre est multiplié par:
alors son aire est multipliée par:
Exercice 7 : petits problèmes
1. Déterminez la longueur de l’arc intercepté par un angle au centre de 2 radians dans un
cercle de 6 cm de rayon ainsi que l’aire du secteur circulaire déterminé par cet angle.
2. Déterminez la longueur de l’arc intercepté par un angle au centre de 1,5 radians dans
un cercle de 16 cm de diamètre ainsi que l’aire du secteur circulaire déterminé par cet
angle..
3. Déterminez l’amplitude ( en radians ) de l’angle au centre interceptant un arc dont la
longueur vaut 10 cm sachant que le rayon du cercle est de 4 cm.
4. L’aire d’un secteur circulaire est de 16 cm². Calculez l’amplitude de l’angle au centre
déterminant ce secteur sachant que le rayon du cercle est de 5 cm. Evaluez la longueur
de l’arc intercepté par cet angle.
5. Déterminez la longueur de l’arc intercepté par un angle de 45° dans un cercle de
diamètre 24 cm, ainsi que l’aire du secteur circulaire déterminé par cet angle. Que vaut
l’amplitude d’un angle inscrit au cercle considéré interceptant ce même arc.
6. Déterminez l’amplitude ( en radians ) d’un angle au centre interceptant un arc de
longueur égale 7 cm et délimitant un secteur circulaire dont l’aire vaut 24 cm². Quelle
est la mesure du rayon du cercle considéré ? ( au centième près )
2
kx (k ≥ 0)
Exercice 8 :
r est un réel supérieur à 1.
CO;1 et CO;r sont deux cercles concentriques de centre O et de rayons respectifs 1 et r.
A et B sont deux points de CO;r . Les segments [OA] et [OB] coupent CO;1 en A’ et B’
ˆ B = A’ O
ˆ B’
On note α , la mesure en radian de l’angle: A O
L1 est la longueur de l’arc AB
L2 est la longueur du trajet qui emprunte le segment [AA' ] , l’arc A’B’ puis le segment
[B' B]
1.
i) Exprimer L2-L1 en fonction de α et de r
ii) Factoriser L2-L1
2.
Déterminer suivant la valeur de α, quel est le plus long des deux trajets: L1 ou L2
Exercice 9 :
X et Y sont deux points tels que: XY = 5
ˆ Y = 80°
a) Construire un point Ω équidistant de X et Y tel que: X Ω
b) Construire le cercle C de centre Ω qui passe par X et Y
ˆ Y ? (2 cas)
c) Pour tout point M de C − {X; Y} , combien mesure l’angle X M
2ème série d’exercices :
1) Calculer BOˆ C
2) Calculer HEˆ F , EFˆH et EHˆ F
3
4) On donne ACˆ D = 47° ,
CAˆ B = 28° et
BDˆ A = 62° .
En déduire les mesures des angles ABˆ D , BDˆ C et ACˆ B .
Ensuite calculer ou déduire les mesures des angles DPˆ C , CPˆ B , BPˆ A
APˆ D , DAˆ P et DBˆ C .
ATTENTION les dimensions ne sont pas respectées
4
5
3ème série d’exercices :
1. Soit un cercle de centre O et soient les droites a et b les tangentes au cercle
respectivement en A et en B. Déterminer l’amplitude de l’angle APˆ B si Ĉ = 40°
2. On inscrit un triangle isocèle dans un cercle. Démontrer que le diamètre issu du
sommet du triangle est une bissectrice de l’angle au sommet.
3. Dans un cercle, on donne deux cordes parallèles. On relie leurs extrémités deux à deux
de telle manière que le quadrilatère ainsi formé soit non convexe. Démontrer que les
côtés de ce quadrilatère forment deux triangles isocèles.
4. AB et CD sont deux sécantes au cercle de centre O et se coupent en un point extérieur
au cercle en E. On définit les angles suivants : Eˆ 1 = AEˆ C ; Oˆ 1 = AOˆ C et Oˆ 2 = BOˆ D.
1
Démontrer que Eˆ 1 = Oˆ 1 − Oˆ 2 .
2
(
)
6