04 - Les triangles

Cours 5ème – Chapitre IV
2015
Les triangles
I - INEGALITE TRIANGULAIRE
Propriété 1 : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est plus petite (ou inférieure) que la
somme des longueurs des deux autres côtés.
A
Ex : Dans le triangle ABC, on a :
AB ≤ AC + BC
(8 ≤ 5 + 6)
AC ≤ AB + BC
(5 ≤ 8 + 6)
BC ≤ AC + AB
(6 ≤ 5 + 8)
6 cm
5 cm
B
C
8 cm
Conséquences :
• Pour savoir si on peut construire un triangle connaissant ses trois longueurs, il faut
regarder si la somme des deux côtés les plus courts est supérieure au côté le plus long.
Vérification à faire avant de se lancer dans la construction du triangle.
• En cas d’égalité, par exemple si AB = AC + BC, les points A, B et C seront alignés. On dira
alors que le triangle est APLATI.
A
C
B
Construction :
Construire si possible un triangle ABC tel que AB = 8 cm, AC = 5 cm et BC = 2 cm.
Justifier la réponse.
5 cm
2 cm
A
B
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2015
Ici, on constate que la construction est IMPOSSIBLE.
Rédaction :
On a : AB = 8 cm et AC + BC = 5 + 2 = 7 cm.
Ainsi, on a AB > AC + BC, donc d’après l’inégalité triangulaire, on ne peut pas construire le
triangle ABC.
II - ANGLES D’UN TRIANGLE
Propriété 2 : Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
J
Dans le triangle JKL, on a : JKL + JLK + LJK = 180°
K
L
Exercice : On considère un triangle IJK tel que : IJK = 55° et IKJ = 75°. Calculer le dernier
angle.
Solution :
Dans le triangle IJK, la somme des angles est égale à 180°, d’où :
IJK + KIJ + IKJ = 180°
55° + KIJ + 75° = 180°
(on remplace les mesures d’angles connues)
KIJ + 130° = 180°
Donc : KIJ = 180° – 130° = 50°
Construction :
POLY
ATTENTION : Il faut toujours faire une figure à main levée en codant la figure avant de se
lancer dans la construction en vraie grandeur.
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1 Construire le triangle ABC tel que AB = 2,4 cm, AC = 4 cm et BC = 4,8 cm.
A
B
B
C
1°) On trace le côté le plus long.
B
C
2°) On trace un arc de cercle de centre C
et de rayon 4 cm, car AC = 4 cm.
A
B
C
3°) On trace un arc de cercle de centre B
et de rayon 2,4 cm, car AB = 2,4 cm.
C
4°) On trace le triangle ABC et on vérifie
les trois longueurs en les mesurant.
D'après http://cmonie.club.fr/maths
2 Construire le triangle ABC tel que BAC = 45°, AB = 3,9 cm et AC = 4,5 cm.
B
9
3,
45°
4,5 cm
A
C
1°) On trace un côté, par exemple [AC].
B
cm
9
3,
45°
A
C
2°) On trace avec le rapporteur l’angle
BAC de 45°.
cm
45°
A
C
3°) Sur la demi-droite obtenue on place
B à 3,9 cm de A.
A
4°) On termine le triangle ABC.
C
D'après http://cmonie.club.fr/maths
3 Construire le triangle ABC tel que AB = 3,5 cm, BAC = 40° et ABC = 62°.
C
40°
A
B
1°) On trace le côté [AB].
A
40°
B
2°) On trace un angle, par exemple BAC.
62°
A
B
3°) On trace le deuxième angle.
D'après http://cmonie.club.fr/maths
4 Construire le triangle IJK tel que IJ = 6 cm, KIJ = 43° et IKJ = 72°.
Dans ce cas le deuxième angle permettant de tracer le triangle (ici, l’angle IJK ) n’est pas connu,
on utilise alors la propriété de la somme des angles d’un triangle pour retrouver cet angle :
Solution :
Dans le triangle IJK, la somme des angles est égale à 180°, d’où :
IJK + KIJ + IKJ = 180°
IJK + 43° + 72° = 180°
IJK + 115° = 180°
Donc : IJK = 180° – 115° = 65°
Ainsi, on reprend le même type de construction précédente pour tracer le triangle IJK.
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III - Triangles particuliers
1°) Triangle rectangle
Propriété 3 : Si un triangle est rectangle, alors la somme des angles aigus est égale à 90°.
B
A
C
Le triangle ABC rectangle en A, on a : ABC + BCA = 90°
Application : Soit IJK un triangle rectangle en I avec IKJ = 58°. Calculer IJK .
REDACTION :
Dans le triangle IJK rectangle en I, la somme des angles aigus fait 90°, d’où :
IJK + IKJ = 90°
IJK + 58° = 90°
Donc : IJK = 90° – 58° = 32°.
2°) Triangle isocèle
Propriété 4 : Si un triangle est isocèle, alors les angles à la base sont de même mesure.
Le triangle ABC est isocèle en A, on a
donc : ABC = BCA
A
B
C
Applications :
1 Soit HPK un triangle isocèle en P, avec PHK = 70°.
Calculer l’angle HPK.
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REDACTION :
Le triangle PHK est isocèle en P, donc ses angles à la base sont de même mesure, d’où :
PHK = PKH = 70°.
Dans le triangle PHK, la somme des angles est égale à 180°, d’où :
HPK + PHK + PKH = 180°
HPK + 70° + 70° = 180°
HPK + 140° = 180°
Donc : HPK = 180° – 140° = 40°
2 Soit IJK un triangle isocèle en I, avec JIK = 70°.
Calculer l’angle IJK .
REDACTION :
Dans le triangle IJK, la somme des angles est égale à 180°, d’où :
IJK + IKJ + KIJ = 180°
IJK + IKJ + 70° = 180°
Donc : IJK + IKJ = 180° – 70° = 130°
Or le triangle IJK est isocèle en I, donc ses angles à la base sont de même mesure.
Ainsi : IJK = IKJ = 130° : 2 = 65°.
3°) Triangle équilatéral
Propriété 5 : Les trois angles d’un triangle équilatéral sont égaux.
Donc : IJK = IKJ = KIJ =
I
J
180°
= 60°
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K
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IV - Droites remarquables d’un triangle
C
1. LES MEDIANES
2. LES MEDIATRICES
A’
RAPPEL :
Une médiane d’un triangle est la
droite qui passe par un sommet et
par le milieu du côté opposé.
A
B
G
B’
C’
PROPRIETE :
Les médianes d’un triangle sont
concourantes. Elles se coupent en
un même point appelé centre de
gravité.
A
C
O
PROPRIETE :
Les médiatrices d’un triangle sont
concourantes. Elles se coupent en un
même point appelé centre du cercle
circonscrit au triangle.
B
4. LES BISSECTRICES
3. LES HAUTEURS
B
RAPPEL :
Une hauteur d’un triangle est
une droite passant par un
sommet et perpendiculaire au
côté opposé.
PROPRIETE :
Les hauteurs d’un triangle son
concourantes.
Elles se coupent en un même
point appelé l’orthocentre de
ce triangle.
RAPPEL :
La médiatrice d’un segment est la droite
perpendiculaire à ce segment, passant par
son milieu.
RAPPEL :
La bissectrice d’un angle est la droite qui
partage un angle en deux angles de même
mesure.
H
A
C
C
B
I
PROPRIETE :
Les bissectrices d’un triangle sont
concourantes. Elles se coupent en un
même point appelé centre du cercle
inscrit au triangle.
A
D'après mathadoc.com
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