Algorithme

! !
!
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'informatique avant
Ramsès II
Richard G. TERRAT
Ingénieur A&M
Maître de conférences honoraire en Informatique
Université de Montpellier
8 mars 2016
2/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Sommaire
●Prolégomènes
–informatique
–algorithme
●Périple autour des algorithmes et du codage
–l'Égypte
–Babylone
8 mars 2016
Prolégomènes 3/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Informatique
●Quatre « piliers »
–l'algorithmique
–l'information : représentation, codage
–la programmation (parfois improprement appelée
aussi « codage ») et ses langages
–l'ordinateur
« L'ordinateur est à l'informaticien ce que le télescope est
à l'astronome » (Jacques Arsac, membre de l'Académie
des Sciences)
« L'informatique n'est pas plus la science des ordinateurs
que l'astronomie n'est celle des télescopes. » (Michael R.
Fellows et Ian Parberry - Computing Research News –
Janvier 1993)
8 mars 2016
Prolégomènes 4/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Algorithme
●Etymologie
« XIIIe siècle, augorisme. Altération, sous l'influence du
grec arithmos, « nombre », d'algorisme, qui, par
l'espagnol, remonte à l'arabe Al-Khuwarizmi, surnom d'un
mathématicien »
●Définition
« Méthode de calcul qui indique la démarche à suivre
pour résoudre une série de problèmes équivalents en
appliquant dans un ordre précis une suite finie de règles.
L'algorithme de la multiplication de nombres à plusieurs
chiffres »
Académie française
8 mars 2016Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Bagdad
850 → 1200
Alexandrie
-300 → 600
Thèbes
-1800 → -1500
Babylone
-2500 → -1500
Chine
-1000 →-300
Inde
200 →700
8 mars 2016
Bagdad 6/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
La maison de la sagesse
●Numération décimale positionnelle avec zéro
–issue de l'Inde
–utilisée de nos jours
●Fondation de l'Algèbre par Al Khuwarizmi dont
le nom est à l'origine des mots
–algèbre
–algorithme
et dont les algorithmes sont toujours ceux enseignés
et utilisés aujourd'hui

! !
!
8 mars 2016
Inde 7/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'inde
●Apparition du zéro en tant que
–chiffre
–nombre
●Algorithmes des opérations arithmétiques
(Aryabhata)
–multiplication, division
–racine carrée
●Solutions positives des équations
(Brahmagupta)
–premier degré
–second degré
ces algorithmes ont été à l'origine des travaux d'Al
Khawarizimi
8 mars 2016
Chine 8/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
La chine
●Numération décimale additive puis positionnelle
●Mathématiques constructivistes
●Démonstrations par algorithmes
●Résolution de systèmes d'équations linéaires
–méthode de Gauss utilisée aujourd'hui
●Codage binaire (Yi Jing)
–dont Gottfried Wilhelm Leibniz s'est inspiré
–utilisé aujourd'hui dans tous les codes
informatiques
8 mars 2016
Alexandrie 9/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
La bibliothèque d'Alexandrie
●Numération décimale additive
●Mathématiques axiomatiques
–axiomatique de la géométrie par Euclide
toujours enseignée aujourd'hui
●Algorithmes de calcul
–Pgcd (Euclide)
–Racine carrée (Héron)
qui sont ceux enseignés et utilisés aujourd'hui
8 mars 2016Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Alexandrie
-300 → 600
Thèbes
-1800 → -1500
8 mars 2016Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'Égypte
●Codage
●Le papyrus Rhind
●L'algorithme de multiplication

! !
!
8 mars 2016
Égypte 13/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Le papyrus « Rhind »
●découvert au XIX ème
siècle dans la tombe de
Ramsès II (Thèbes)
●Auteur : Ahmès
●5m de long14 feuilles
●daté du XVIème siècle
av. J. C.
●reprend un papyrus plus
ancien du XIXème siècle
av. J. C.
8 mars 2016
Égypte 14/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Le papyrus « Rhind »
●réthorique
●pas d’abstraction explicite
●pas de logique
●pas de démonstration
●problèmes « concrets »
●calculs arithmétiques
–les 4 opérations
–tables : multiplication, inverse, ...
–opérations sur les fractions (7 à 23)
●équations du 1er degré (24 à 27)
–résolution par la méthode des « fausses suppositions »
8 mars 2016
Égypte 15/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Le papyrus « Rhind »
●Calcul des aires
–carré, rectangle, triangle, trapèze
●Calcul des volumes
–pyramides
●Valeur de π problèmes 48 à 50
–aire d’un cercle de diamètre 9 unités =
aire d’un carré de côté 8 unités
–π.92/4 ≈ 82 π ≈ 4 x(8 /9)2 ≈ 3,16
–c’est la quadrature (approchée) du cercle !
8 mars 2016
Égypte 16/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'algorithme de multiplication
●Calcul de 19 x 35
35 1
35 x 2 = 70 2
70 x 2 = 140 4
140 x 2 = 280 8
280 x 2 = 560 16
----------------------
665 19
19 √
19 ÷ 2 9 √
9 ÷ 2 4
4 ÷ 2 2
2 ÷ 2 1 √
1 ÷ 2 0
√
√
√
8 mars 2016
Égypte 17/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'algorithme de multiplication
●Calcul de 19 x 35
19 = 16 + 2 + 1 = 24 + 21 + 20
décomposition de 19 en … binaire !
1910 = 100112
19 = 2 x 9 + 1
9 = 2 x 4 + 1
4 = 2 x 2 + 0
2 = 2 x 1 + 0
1 = 2 x 0 + 1
8 mars 2016
Égypte 18/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'algorithme de multiplication
35 x 19
35 x 18 + 35
70 x 9 + 35
70 x 8 + 70 + 35
70 x 8 + 105
140 x 4 + 105
280 x 2 + 105
560 x 1 + 105
1120 x 0 + 560 + 105
560 + 105
665
Dite aussi « du paysan russe »

! !
!
8 mars 2016
Égypte 19/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'algorithme de multiplication
Pour multiplier a par b avec r comme résultat
●je pose r = 0
●tant que b n'est pas nul
–si b est impair
●j'ajoute a à r
–je multiplie a par 2
–je divise b par 2 (par défaut)
●maintenant que b est nul, r est le résultat
8 mars 2016
Égypte 20/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'algorithme de multiplication
def ahmès (a,b) :
# données : 2 entiers naturels
# résultat : leur produit selon la méthode d'Ahmès
r = 0
while b != 0 : # invariant : r + a*b
c = b%2
if c != 0 :
r = r+a
a = a*2
b = b//2
return r
Le programme en Python
8 mars 2016Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'algorithme de multiplication
19 x 35
10 x 35 + 9 x 35
10 x 35 + 315
1 x 350 + 315
350 + 315
665
9 x 35
9 x 30 + 9 x 5
9 x 30 + 45
9 x 3 x 10 + 45
27 x 10 + 45
315
selon Pythagore
8 mars 2016Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'algorithme de multiplication
Pour multiplier a par b avec r comme résultat
●je pose r = 0
●tant que b n'est pas nul :
–je prends le dernier chiffre de b
–je multiplie ce dernier chiffre par a
●cf. table de multiplication de Pythagore
–je l'ajoute à r
–je multiplie a par dix
–je divise b par dix (par défaut)
●maintenant que b est nul, r est le résultat
selon Pythagore
8 mars 2016Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'algorithme de multiplication
def pythagore (a,b) :
# données : 2 entiers naturels
# résultat : leur produit selon la méthode de Pythagore
r = 0
while b != 0 : # invariant : r + a*b
c = b%10
if c != 0 :
r = r + produitParUnChiffre (c,a)
a = a*10
b = b//10
return r
Le programme en Python
8 mars 2016Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'algorithme de multiplication
def produitParUnChiffre (a,b) :
# données : a chiffre décimal, b entier naturel
# résultat : le produit de a par b
r = 0
while b != 0 : # invariant : r + a*b
c = b%10
if c != 0 :
r = r + c*a # table de multiplication
a = a*10
b = b//10
return r
Le programme en Python

! !
!
8 mars 2016Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Et dans les ordinateurs ...
●On fait comment ?
–comme les égyptiens ?
–comme Pythagore ?
–autrement ?
●Préférences ?
–beaucoup d'opérations simples
–peu d'opérations complexes
●Un indice :
–les nombres sont codés en binaire !
8 mars 2016Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Thèbes
Babylone
Thèbes
-1800 → -1500
Babylone
-2500 → -1500
8 mars 2016Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Babylone
●Historique
●Codage
●Algorithmes
8 mars 2016
Babylone 28/45
Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
Historique
●Sources
–400 tablettes d'argile mises au jour
depuis les années 1850 datées de -2 500 à -1 500
●Contenus
–calculs arithmétiques : multiplications, divisions,
fractions, racines carrées
–géométrie : calculs d'hypoténuse, triplets
pythagoriciens, théorème de Pythagore
–algèbre : équations du premier, second et troisième
degré
–éléments de trigonométrie